Analyse Numérique
1.2 Suite et série de matrices. Définition 1.1. Convergence d'une suite de matrices. On dit qu'une suite de matrices (Am)m?0 converge vers la matrice A si.
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES
convergente si les p suites dont les termes sont les p coefficients de U n. ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les
1 Introduction et rappels
le calcul de la puissance n-i`eme d'une matrice. Comme les él`eves de TES ne notion de convergence des suites de matrices : la suite An de coefficients.
suites de matrices_convergence_tsspé_cours
SUITE DE MATRICES ET CONVERGENCE. Cours. Terminale S. 1. Suite de matrices colonnes. 1) Exemples. ? Exemple 1 : La suite ( )n.
Problème 1 : puissances de matrices
Etablir que la suite (An)n?N est convergente et préciser sa limite. 5. Démontrer que les suites (xn)n?N et (yn)n?N convergent et déterminer les limites de
1.4 Normes et conditionnement dune matrice
ce qui n'est possible que si
MATRICES (Partie 2)
convergente si les suites dont les termes sont les coefficients de ( ) sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les
Agrégation interne Séries enti`eres de matrices Ce probl`eme est l
matrices nilpotentes valeurs propres
Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres
Une méthode de calcul des valeurs propres d'une matrice est Ainsi il existe au moins une sous-suite Dnk convergente vers la matrice diagonale D. Or.
Matrice de Convergence - Voyant lintérêt partagé de mettre en
5Y8P Point 3: "Des mécanismes pluripartites fiables pour répondre aux besoins d'assistance et de protection des migrants en détresse notamment ceux.
suites de matrices convergence tsspé cours
La suite de variables aléatoires (X n) est appelée marche aléatoire sur l'ensemble des issues {H S} Dans une marche aléatoire l'état du processus à l'étape n + 1 ne dépend que de celui à l'état n mais non de ses états antérieurs 3) Matrice de transition On considère la loi de probabilité de X
Des exemples de suites - Univers TI-Nspire
n est la matrice colonne de taille (p;1) décrivant l'état probabiliste à l'étape n A est la matrice de transition de cette marche aléatoire ( A est une matrice carrée d'ordre p) On a donc X n+1 = AX n 8n 2N Dé nition : On dit qu'une marche aléatoire converge (ou est convergente ) si la suite de matrices (X n) converge
Suites 1 Convergence - univ-lillefr
n sont convergentes de mˆeme limite l il en est de mˆeme de (u n) n Exercice 2 Montrer que toute suite convergente est born´ee Exercice 3 Montrer que la suite (u n) n?N d´e?nie par u n = (?1)n + 1 n n’est pas convergente Exercice 4 Montrer qu’une suite d’entiers qui converge est stationnaire a partir d’un certain rang
7 Suites convergentes
John von Neumann Ce chapitre est consacré à la deuxième partie de l’étude des suites réelles Plus précisé- ment on étudie ici la convergence d’une suite réelle et le comportement asymptotique des suites usuelles 7 1 Suites convergentes suites divergentes 7 1 1 Suites convergentes
1 Suites convergentes - univ-amufr
En e et il su t pour ">0 donn e de prendre "0tel que (1 + j j)"0 "pour avoir la conclusion d esir ee Th eor eme Soient (u n) n et (v n) n deux suites de r eels qui convergent vers ‘et ‘0 Alors la suite de terme g en eral (u nv n) n converge vers ‘‘0 Preuve On va prouver le lemme suivant : Lemme Soient (u n) n et (v n)
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Établir que la matrice de l’itération est la matrice B ? = I ??D?1A (I désigne la matrice identité) et montrer que si la suite (x(k)) est convergente sa limite est x? = A?1b I 2) Dans cette question on suppose que la matrice A est à diagonale strictement dominante sur les colonnes c’est-à -dire que a jj > Xn i=1i6= j a
Quelle est la suite de la suite convergente?
Décroissante et minorée, la suite est convergente. Elle converge vers un réel ?, qui est un point fixe de la fonction g. Il reste à résoudre l’équation x g x??? pour déterminer ?.
Quelle est la limite d’une suite convergente ?
La suite ((u_n)) est convergente. 2- Cette limite n’est même pas indéterminée ! En effet, ((v_n)) est la somme de (-3 × 2^n) dont la limite est (-- ?) et de ((-0,1)^n) dont la limite est 0 (voir la page sur les limites des suites de type (u_n = q^n)).
Qu'est-ce que la matrice congruente?
Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes. Lorsque K est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss .
Comment définir une suite de matrices?
SUITES DE MATRICES ET MARCHES ALEATOIRES I. Suites de matrices colonnes 1) Exemples : a) La suite U n)définie pour tout entier naturel npar U n =n 2 3n+1 ? ? ? ? ? ? est une suite de matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques
![MATRICES (Partie 2) MATRICES (Partie 2)](https://pdfprof.com/Listes/18/2397-1820mat2.pdf.pdf.jpg)
MATRICES - Chapitre 2/2
Partie 1 : Écriture matricielle d'un système linéaireExemple :
On considère le système (S) suivant : !
5í µ+2í µ=16
4í µ+3í µ=17
On pose : í µ=í°´
5243
/ et í µ=í°´ 16 17
On a alors : í µÃ—í µ=3
5í µ+2í µ
4í µ+3í µ
4 Ainsi, le système peut s'écrire :í µÃ—í µ=í µPropriété : Soit í µ une matrice carrée inversible de taille í µ et í µ une matrice colonne Ã í µ
lignes.Alors le système linéaire d'écriture matricielle í µÃ—í µ=í µ admet une unique solution
donnée par la matrice colonne í µDémonstration :
í µÃ—í µ=í µ alorsí µ=í µRemarque :
Dans le contexte de la propriété précédente, si í µ n'est pas inversible alors le système
correspondant possède une infinité de solutions ou aucune solution. Méthode : Résoudre un système à l'aide des matricesVidéo https://youtu.be/vhmGn_x7UZ4
Résoudre le système (S) suivant : !
5í µ+2í µ=16
4í µ+3í µ=17
Correction
On a vu plus haut qu'en posant í µ=í°´
5243
/ et í µ=í°´ 16 17 Le système peut s'écrire sous forme matricielle : í µÃ—í µ=í µ. En calculant l'inverse de la matrice í µ, on a : í µ 3 7 -2 7 -4 7 5 7 8.
Ainsi í µ=í µ
3 7 -2 7 -4 7 5 78í°´
16 17 2 3 Le système a donc pour solution le couple (í µ;í µ)=(2;3). 2Partie 2 : Suites de matrices colonnes
1) Exemples :
a) La suite définie pour tout entier naturel í µ par í µ =33í µ+1
4 est une suite de
matrices colonnes dont les coefficients sont les suites numériques et définies pour tout entier naturel í µ par í µ et í µ =3í µ+1. b) Soit deux suites numériques couplées et définies pour tout entier naturel í µ par =2, í µ =4 et ! =2í µ -3í µ +1 +5í µ -4On pose pour tout entier naturel í µ : í µ
On pose encore : í µ=í°´
2-3 -15 / et í µ=í°´ 1 -4On a alors í µ
2 4 / et pour tout entier naturel í µ, la relation matricielle de récurrenceEn effet :
2-3 -15 1 -4 /=32í µ
-3í µ +1 +5í µ -44=í°´
c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : =2, í µ =-1 et í µ =2í µ +3í µOn pose pour tout entier naturel í µ : í µ
On pose encore : í µ=í°´
01 32On a alors í µ
2 -1 / et pour tout entier naturel í µ, la relation matricielle de récurrence :En effet, í µí µ
01 323í µ
+2í µ2) Terme général d'une suite de matrices
Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de taille í µ telle que pour tout entier naturel í µ, on a í µ où í µ est une matrice carrée de taille í µ. Alors, pour tout entier naturel í µ, on a : í µDémonstration :
On démontre cette propriété par récurrence. • Initialisation : í µ car í µ • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier í µ tel que la propriété soit vraie : í µ - Démontrons que : La propriété est vraie au rang í µ+1 : í µ 3 • Conclusion :La propriété est vraie pour í µ=0 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de
récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel í µ, soit : í µ Méthode : Calculer des termes d'une suite à l'aide de matricesVidéo https://youtu.be/62U34Kl4o1I
Soit deux suites numériques couplées
et définies pour tout entier naturel í µ par : =1, í µ =-1 et ! =3í µ =-2í µ +2í µCalculer í µ
et í µCorrection
On pose pour tout entier naturel í µ : í µ
On pose encore : í µ=í°´
3-1 -22On a alors í µ
1 -1 / et pour tout entier naturel í µ, la relation matricielle de récurrence :On alors í µ
et donc en particulier í µSoit en s'aidant de la calculatrice :
3-1 -22 1 -12731-1365
-27301366 1 -1 4096-4096
On en déduit que í µ
=4096 et í µ =-4096.3) Convergence de suites de matrices colonnes
Définitions : On dit qu'une suite de matrices colonnes de taille í µ est convergente si les í µ suites dont les termes sont les í µ coefficients de sont convergentes. La limite de cette suite est la matrice colonne dont les coefficients sont les í µ limites obtenues. Dans tous les autres cas, on dit que la suite est divergente.Exemples :
Vidéo https://youtu.be/dbP7R-9Q2_s
a) La suite définie pour tout entier naturel í µ par í µ =33í µ+1
4 est divergente car
lim =+∞ et lim3í µ+1=+∞.
b) La suite définie pour tout entier naturel n non nul par í µ =I 1 2 +2quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37[PDF] determiner lensemble des matrices qui commutent avec a
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