[PDF] Chapitre 8 Matrices Matrices. 1 Points importants. 3

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Chapitre 8

Matrices

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

1

Chap 8Matrices

Et s"il ne fallait retenir que quatre points?1.Opérations sur les matrices.Savoir additionner et multiplier deux matrices, multiplier une

matrice par un réel. Savoir également quand ces opérations sont possibles. Enn connaître les

structures qui découlent de ces opérations :(Mpq;+;:)est unR-espace vectoriel et(Mn;+;×;:) est uneR-algèbre.

2.Connaître les matrices particulières suivantes et leurs principales propriétés :

Les matrices inversibles.

Les matrices in versiblesson texactemen tles matrices carrées Atelle qu"il existe une matrice carréeBvériantAB=IOUBA=I. Dans ce casB=A1. En p articulierles matrices non carrées ne son tjamais in versibles. Si AetBsont inversibles alorsABest aussi inversible et(AB)1=B1:A1.

Les matrices diagonales.

Dn(R)est stable par les loi + et×.

Elev erune matrice diago naleà puissance nrevient à élever chaque coecient à la puissance

n. Une matrice diagonale est in versiblesi et seuleme ntsi elle ne con tientaucu nréel n ulsu rla diagonale.

Les matrices symétriques/antisymétriques.

Sn(R)etAn(R)sont stables par la loi + (mais pas par×). Les co ecientsdiago nauxdes matrices an tisymétriquesson tn uls. Les matrices triangulaires supérieures (resp. inférieures). Le pro duitet la somme de deux mat ricestriang ulairessupé rieures(resp .inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp. inférieure).

Une matrice triangulaire supérieure ( resp.inférieu re)est in versiblesi et seuleme ntsi ell ene

contient aucun réel nul sur la diagonale.

Les matrices élémentaires.

La m atriceEij×Eklest nulle sij6=ket vautEilsij=k.

3.Avoir quelques idées sur les façons de pouvoir calculer la puissance d"un matriceA.

Voici les principales :

a) Si c"es tune matrice diagonale, il su td"élev erles co ecientde la matric eà cette pui ssance. b) On calcule le spremières puissances : A2,A3, ...On conjecture une formule et on la démontre par récurrence. Attention, la conjecture peut s"avérer dicile. c) On déc omposeAenD+NavecDN=NDet oøDest une matrice diagonale etNune matrice dont les puissances sont vite toutes nulles. On utilise ensuite le binôme de Newton. d) On décomp oseAsous la formeP1DPoøDest une matrice dont l"élévation à une puissance ne pose pas de problème, typiquement une matrice diagonale. AlorsAn=P1DnP. e) Si les col onnesde la matrice son tprop ortionnelles,alors An=trn1(A):A(Il faut le redé- montrer à chaque fois). 1

4.Eviter les erreurs de débutants :

a) " AB=BA" est faux en général. SiAetBvériant cela, on dit queAetBcommutent. b) " AB= 0 =)(A= 0ouB= 0)"est faux en général. Pour pouvoir l"utiliser, il faut vérier queAouBest inversible. c)"AB=AC=)B=C"est faux en général. Pour pouvoir l"utiliser, il faut vérier queAest inversible. d) P ourutiliser le binôm ede Newton, ne pas oublier de v érierque les matrices AetBcom- mutent. e) N"emplo yerle sym boleA1que si vous OEtes sßr queAest inversible. f) N"emplo yerle sym bole(AB)n=AnBnque si vousAetBcommutent. g)

La fraction

AB de deux matrices n"a aucun sens. Remplacez-la parAB1ouB1A. 2

Chap 8Matrices

Plan du coursI. Opérations sur les matrices............................................................ 2

1/ Dénition et premiers exemples...................................................2

2/ Somme de deux matrices.......................................................... 3

3/ Multiplication d"une matrice par un réel.........................................3

4/ Produit de deux matrices.......................................................... 3

5/ Puissance de matrices.............................................................. 4

II. Matrices particulières..................................................................4

1/ Matrices inversibles.................................................................4

2/ Matrices élémentaires.............................................................. 4

3/ Matrices triangulaires/diagonales................................................. 4

4/ Matrices symétriques/antisymétriques............................................5

5/ Matrices diviseurs de 0.............................................................5

6/ Matrices nilpotentes................................................................5

III. Calcul avec des matrices............................................................. 5

1/ Autour de AB=0....................................................................5

2/ Pourquoi ne peut-on pas diviser par une matrices?.............................6

3/ Formule de(AB)n...................................................................6

4/ Formule de Newton.................................................................6

5/ Polynôme de matrices.............................................................. 6

IV. Des outils matriciels.................................................................. 6

1/ La transposée........................................................................6

2/ La trace..............................................................................7

3/ Déterminants....................................................................... 7

1

Chap 8Matrices

Questions de cours1. Donner les coecients du produit de matriceABen fonction des coecients deA et deB.(I)

2. SoitEijetEkldes matrices élémentaires deMn(R). Déterminer le produitEijEkl.

Vous montrerez votre résultat.(II)

3. Donner la dénition d"une matrice symétrique, anti-symétrique, triangulaire su-

périeure, triangulaire inférieure, matrice diagonale. Les ensemblesSn(R),An(R), T +n(R),Tn(R)etDn(R)sont-ils stables par +,et combinaisons linéaires?(II)

4. Montrer que les matrices diviseurs de 0 puis que les matrices nilpotentes ne sont

jamais inversibles.(II)

5. SoientAetBdes matrices inversibles deMn(R),

1.

Mon trerque

tAest inversible. Que vaut(tA)1 2.

Mon trerque ABest inversible. Que vaut(AB)1

3. En d éduireque (Gln(R);)est un groupe non commutatif.(II-IV)

6. Les implications suivantes sont-elles vraies dansMn(R):

AB= 0 =)A= 0ouB= 0AB=AC=)B=C

Si ce n"est pas le cas, donner une condition susante pour qu"elles soient vraies.(III) 1

Chap 8Matrices

Exercices typesExercice 1 - Puissance d"une matrice - Technique 1 : par intuition.

On noteM=(

(1 1 0 0 1 1

0 0 1)

1.

Calculer M2,M3,M4.

2. Conjecturer la v aleurdes co ecientsde Mn, puis montrer votre résultat par récurrence. Exercice 2 - Puissance d"une matrice - Technique 2 : avec Newton.On noteM=( (1 1 0 0 1 1

0 0 1)

,N=( (0 1 0 0 0 1

0 0 0)

1. Énoncer la form uledu binôme de Newton dans Mn(R). 2.

Calculer N2etN3. En déduireNnpour toutndeN.

3. Exprimer Men fonction deNetI. En déduireMnpour toutndeN. 4.

Calculer (I+N)(IN+N2). En déduireM1.

Exercice 3 - Puissance d"une matrice - Technique 3 : par diagonalisation.Considérons les matrices :

A=( (1 -8 -11

0 -13 -20

0 12 18)

P=( (1 2 3 0 4 5

0 3 4)

Q=( (1 1 -2

0 4 -5

0 -3 4)

1. Calculer le pro duitPQ. En déduire quePest inversible et donnerP1. 2. Mon trerque A=P1DPoøDest une matrice diagonale que vous précisez. 3.

En déduire An

Exercice 4 - Puissance d"une matrice - Technique 4 : le cas des matrices de rang 1Considérons la matrice :

A=( (1 2 5

2 4 10

3 6 15)

1. Mon trerqu"i lexiste une matrice ligne Let une matrice colonneCtels queA=C:L 2.

Mon trerque L:C=tr(A):I1.

3.

En déduire que An= (tr(A))n1:A

4. Essa yerde devi nersans démonstration le smatrices p ouvants"écrire sous la forme CLoøCest une matrice colonne etLune matrice ligne. 1

Chap 8Matrices

ExercicesSi les miroirs rééchissaient vraiment, ils ne reèteraient pas n"importe qui!Vrai - Faux

Exercice 1.

SoientA= (aij),B= (bij)dansMn(R). Déterminer si les armations suivantes sont vraies ou fausses.

1.tr(AB) =tr(BA).

2.Aest diagonale si et seulement siaii6= 0pour toutidef1;:::;ng.

3. t(AB) =tA:tB

4.tr(AB) =tr(A):tr(B).

5.tr(A+B) =tr(A) +tr(B).

6.

Si AetBsont inversibles, alorsA:Best inversible.

7.

Si AetBsont inversibles, alors(A+B)2=A2+B2+ 2AB.

8.

Si AetBsont inversibles, alorsA+Best inversible.

Rep :3 vraies / 5 fausses (VFFFVVFF)Niveau 1

Exercice 2.

SoitA=(

((1 1 1 1

1 1-1-1

1-1-1 1

1-1 1-1)

)). CalculerA2. En déduire queAest inversible et calculerA-1. 1

Exercice 3.

Calculer les produits de matrices :

1. ?0 1 1 0?? 1 1 0 1?

2.?1 1

0 0?? 1 0 1 0? 3. ?1 1 0 1?? 0 1 1 0?

4.?1 0

1 0?? 1 1 0 0? 5. ?3 6 -1 -2?? -2 2 1 -1?

6.?2 0

1 3?? 4 -1 2 1? 7. ?1 -1 -2 -2?? 7 2?

8.?3 4??1 -1

-2 2? 9. (1 -1 3 -2 -2 2 -1 -3 1) (1 -1 -2 2 -2 2)

10.?3 4 5?(

(1 -2 3) 11. (1 -2 3) ?3 4 5?12.?4 5 6 2?? 1 0 0 1? Exercice 4.SoitAetBdes matrices carrées de taillen. 1.

Simplier les expr essionssuiv antes:

1=?A:B:A-1?32=?A+A-1?23= A2?A-1+ 2I?2-I

4= A:A-1:C+A:B:A-1-C-B5=(A+B)2-A2-B2

2.

En supp osantque A3= 0, simplier(A+ 2I)5.

3.

En supp osantque A2= 2A, simplier(A+I)5.

Exercice 5.On considère la matriceM=(

(2 1 1 1 2 1

1 1 2)

Le but de l"exercice est de calculerMn.

1.

Mon trerque M2= 5M-4I

2. Mon trerpar récurrence que, p ourtout en tiernaturel n, il existe deux entiersnetntels que M n=n:M+n:I3 En déduire une relation de récurrence des suites(n)n?Net(n)n?Net les valeurs de0et0. 3.

Calculer 4et4. En déduireM4.

2

Exercice 6.

SoitA=12

3-1 -1 3? 1.

Déterminer des réel settels queA2=A+I:

2. En déduire qu"il existe p ourtout en tierndes réelsnetntels queAn=nA+nI

Exercice 7.Soient(un)n?N,(vn)n?Net(wn)n?Nles suites réelles dénies paru0= 0; v0= 1etw0= 2et pour tout

entiern: ?u n+1=un+vn+wn v n+1=vn+wn w n+1=wn

On noteCn=(

(u n v n w n) 1. Déterminer une matr iceAtelle que pour tout entiern,Cn+1=ACn: 2. Soit B=A-I:CalculerB2,B3puis pour tout entiern3 :Bn(est-ce valable pourn= 0;1;2?) 3. En déduire Anpuisun; vnetwnen fonction denen fonction den

Exercice 8.SoitA=(

(1 1-1 0 2 0 -1 1 1) etB=( (0 +1-1 0 1 0 -1 1 0) 1. Calculer A2en déduire la valeur deAnpour tout entiernnon nul. Est-ce valable pourn= 0? 2. Déterminer aetbtels queB=aA+bI:En déduire la valeur deBnen fonction den:(est-ce valables pourn= 0?)Niveau 2

Exercice 9.

ConsidéronsBetCdes matrices carrées de taillentelle queC3=CetB2-3B+ 2I= 0. 1.

Mon trerque si C26=IalorsCn"est pas inversible.

2.

Mon trerque Best inversible.

3.

Généraliser ce rés ultat.

3

Exercice 10.

SoitAetBdansMn(K)vériantAB=A+B.

1.

Calculer (I-A)(I-B)

2.

Mon trerque AB=BA.

RExercice 11.1.Partie I.Considérons les matrices A=( (1 3 0 0 1 0

0 0 -1)

D=( (1 0 0 0 1 0

0 0 -1)

Posons égalementN=A-D.

a)

Calculer N,N2. En déduireNnpour toutndeN

b)

En déduire les v aleursde Anpour toutndeN.

2.Partie II.Notons à présent les matrices

B=12 (5 2 5 3 0 1 -3-2-3) P=( (1 1 0 1 0 1

0 1 1)

Q=( (1 1-1 1-1 1 -1 1 1) a) Calculer le pro duitPQ. En déduire quePest inversible et calculerP-1. b)

Mon trerque B=P-1A P

c)

En déduire que : Bn=12

(3n+ 2 1-(-1)n3n+ 1-(-1)n

3n1 + (-1)n3n-1 + (-1)n

-3n-1 + (-1)n-3n+ 1 + (-1)n) pour toutndeN.

3.Partie III.Dénissons les suites(un)n?N,(vn)n?Net(wn)n?Npar :

?u n+1=5un+2vn+5wn v n+1=3un+wn w n+1=-3un-2vn-3wnPosons égalementCn=( (u n v n w n) Les valeurs initiales sont données paru0=w0= 1etv0=-1. a)

T rouverune matrice Dtelle queCn+1=DCn

b) En déduire les expressions de un,vnetwnen fonction deu0,v0,w0etn.

Exercice 12.On noteE1=(

(0 0 1 0 1 0

1 0 0)

,E2=( (1 0 1 0 1 0

0 0 1)

,E3=( (1 2 3 0 2 3

0 0 3)

,A=( (a 1b1c1 a 2b2c2 a

3b3c3)

1.

Calculer : A:E1,A:E2,A:E3,E1:A,E2:A,E3:A.

2. T rouverles matrices d eM3(R)qui commutent avecE1,E2,E3. 4

Exercice 13.

SoitAdansMn(k)vérianttr(AM) = 0pour toute matriceMdeMn(k). Montrer queA= 0. On pourra essayer de remplacerMpar les matrices élémentaires.Niveau 3

Exercice 14.

Le but de l"exercice est de chercher l"ensemble des matrices deMn(R)qui commutent avec toutes les autres. Cet ensemble est appelé le centre deMn(R). Considérons une matricesAdont les coecients sont notés par les réels(aij). De plus pour toutietjdef1;:::;ng, on note parEijla matrice élémentaire contenant des 0 partout sauf à la ligneiet la colonnejoø elle contient un 1. 1. Calculer E11:AetA:E11. En conclure des conditions sur les coecients deApour que cette matrice commute. 2. Soit ietjquelconques. CalculerEij:AetA:Eij. En conclure des conditions sur les coecients deApour que cette matrice commute. 3. En déduire les matrices que comm utenta vectoutes l esautres matrices.

Exercice 15.SoitA=?a b

c d? une matrice quelconque deM2(R). Le déterminant deAest déni comme étant : det(A) =ad-bc 1. Mon trerque : A2-tr(A):A+det(A):I= 0(Cayley-Halmilton en taille 2). 2. Nous allons mon trerque Aest inversible si et seulement sidet(A)6= 0. a) Mon trerque si det(A)est non nul alorsAest inversible. b) Mon trerpar l"absurde que si Aest inversible alorsdet(A)6= 0. 3. Nous allons mon trerqu"il n"ex istepas de matrice Ade taille (2,2) telle queA26= 0etA3= 0. Pour cela raisonnons par l"absurde en supposant queAsoit une matrice telle queA26= 0et A 3= 0. a)

Mon trerque Ane peut pas OEtre inversible.

b)

Mon trerque A2= 0. Conclure.

5

Application à d"autres disciplines.

Exercice 16 - Cryptographie - Chirement de Hill..

Partie I. L'anneauZ=pZ.

L"anneauZ=nZest l"ensemblef0;1;2;:::;p-1gsur lequel on a mis les opérations+et. Pour eectuer une somme ou un produit, on eectue l"opération dansZ, puis on retranchepsusamment de fois pour que le résultat soit dansf0;1;2;:::;p-1g. Par exemple, dansZ=5Z, on a :3 + 4 = 2et

34 = 2. Déterminer les tables d"addition et de multiplication deZ=7Z.

Partie II. Inversibilité d'une matrice dansZ=26Z.Considérons les matrices suivantes à coe- cients dansZ=26Z: A=( (1 3 5 0 1 7

1 4 13)

B=( (11 7 16

7 8 19

25 25 1)

Montrer que ces matrices sont inverses l"une de l"autre. Partie III. Chirement de Hill.Pour eectuer un chirement de Hill, on procède comme suit : 1. On c hoisitun en tierndeN?et une matriceAinversible deMn(Z=26Z) 2. On prend le texte et on enlèv ela p onctuation,les espaces et le saccen tset les min usculesson t transformées en majuscule. A présent le texte ne contient que les lettres de A à Z. 3. A c haquelettre, on asso ciesa p ositiondans l"alphab et: "A" ->0,"B"->0, "C"->2, . ..Onobti ent

donc une liste deZ=26Zque l"on découpe en groupe denéléments. Le dernier groupe, si nécessaire,

est complété par des éléments deZ=26Zaléatoires. 4. On cons idèrec haquegroup ede néléments comme une matrice colonneC, puis on eectue le produitA:C. 5.quotesdbs_dbs26.pdfusesText_32

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