Puissance de Matrices - Spé Maths Exercices Corrigés en vidéo
Exercices. Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. Puissance d'une matrice diagonale. Soient a b et c trois réels. On consid`ere la matrice D =.
Chapitre 8 Matrices
Matrices. 1 Points importants. 3 Questions de cours. 6 Exercices corrigés Exercice 2 - Puissance d'une matrice - Technique 2 : avec Newton.
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
CORRECTION DU TD 3 Exercice 1
Pour trouver une base dans laquelle s'exprime sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure nous commençons par calculer les puissances de où.
Exercices Corrigés Matrices Exercice 1 – Considérons les matrices
Exercice 12 – Soit A et B deux matrices carrées de même ordre on suppose que la matrice. AB est inversible d'inverse la matrice C. Montrer alors que B est
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 5. Soit A la matrice suivante. A = (1 1. 2 1. ) 1. Calculer le polynôme caractéristique et déterminer les valeurs propres de A.
ANALYSE MATRICIELLE ET ALGÈBRE LINÉAIRE APPLIQUÉE
La diagonalisation des matrices et des endomorphismes . . . . . . . . . 8 Exercice 1. ... On définit les puissances de x par récurrence pour tout.
Exercices de mathématiques - Exo7
Montrer que A et B n'ont pas de valeurs propres communes si et seulement si la matrice ?A(B) est inversible. Correction ?. [005678]. Exercice 29 **. Soit f un
Calculs sur les matrices
Exercice 4. Que peut-on dire d'une matrice A ? Mn(R) qui vérifie tr(A tA) = 0? Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [001064]. 2 Inverse.
Série dexercices no4/6 Recherche de valeurs propres Résolution
b) Que donne la méthode de la puissance pour la matrice A en partant de x0 = (2 1)T ? c) Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres v1 et v2 de.
Comment Utiliser La Racine Carrée Dans Matlab? - Desquestions
Puissances de matrices Corrigés d’exercices Lycée Fénelon Sainte-Marie 1/19 M Lichtenberg 2012-2013 Version de Mai 2013 Les exercices du livre corrigés dans ce document sont les suivants : Page 519 : N°9 Page 536 : N°76 Page 532 : N°63 67 Page 542 : N°92 Page 533 : N°69 70 Page 535 : N°74 N°9 page 519 1
Matrices - Licence de mathématiques Lyon 1
Exercice 2 Soit ????=(1 0 2 1) 1 Exprimer ???? á en fonction de Pour tout ?? 2 Si ???? est inversible calculer ?????1 et ???? á pour tout ?? Allez à : Correction exercice2 Exercice 3 Soit ????=(1 2 3 0 0 1 ?1 0 ?2) 1 3Calculer ????2 et ???? Calculer ????3+????2+???? 2 Exprimer ?????1 en fonction de ????2 ???? et
Calculs sur les matrices - Exo7
La trace étant la somme des coef?cients sur la diagonale on a : tr(A tA)=tr(C)= n å i=1 c ii = n i=1 n k=1 a2 ik = 16i;k6n a2 ik: Si on change l’indice k en j on obtient tr(A tA)= å 16i;j6n a2 ij: Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coef?cients Conséquence : si tr(A tA) = 0 alors la somme des carrés å 16i;j6na 2
Comment calculer la puissance d’une matrice ?
Lorsque vous élevez un scalaire à la puissance d’une matrice, Matlab utilise les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice pour calculer la puissance de la matrice. Si [v, d] = eig (a), alors 2 a = v 2 d v – 1.
Quels sont les exercices corrigés sur les matrices ?
Exercices java Exercices langage c Exercices python récursivité Tableaux Complexité analyse des algorithmes C'est la deuxième série d'exercices corrigés sur les matrices, nous continuons à effectuer des opérations intéressantes de calcul matriciel.
Comment calculer la puissance d'une matrice carrée?
c) (kA)B= A(kB) = k(Ax B) 5) Puissance d'une matrice carrée Définition : Soit Aune matrice carrée et nun entier naturel. Le carré de Aest la matrice, noté A2, égale à Ax A. Le cube de Aest la matrice, noté A3, égale à Ax Ax A. Plus généralement, la puissance n-ième de Aest la matrice, notée An, égale au produit de nfacteurs A. Exemple :
Comment calculer la matrice élémentaire ?
Appliquant ceci avec $X=(A-B)^T$, on peut utiliser le résultat de la première question et en déduire que $A-B=0$. On peut aussi donner une preuve directe. Calculons d'abord $AE_{i,j}$ où $E_{i,j}$ est la matrice élémentaire avec des 0 partout sauf le coefficient à la $i$-ème ligne et $j$-ième colonne qui est égal à 1.
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Exercices Corriges
Matrices
Exercice 1{Considerons les matrices a coecients reels :A= 2 1
2 1! ; B= 1 2 24!C=0 B @1 1 2 1 0 1 11 01 C
A; D=0
B @11 1 1 0 10 1 01
CA; E= 11 1
1 0 1!
Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,CD,DC,AE,CE.Exercice 2{(extrait partiel novembre 2011)
On considere les matrices a coecients reels :
A= 1 1
1 1!B= 431
2 1 1!
C= 1 2
12! Calculer, s'ils ont un sens, les produitsAB;BA;AC;CA;B2. Exercice 3{On considere les matrices a coecients reels :A= 1 3
2 4!B= 431
2 1 1!
C= 43 2 1!1) Calculer s'ils ont un sens les produitsAB;BA;AC;CA;BC;CB;B2.
2) En deduire, sans plus de calcul, queAetCsont inversibles et preciser leurs inverses.
Exercice 4{SoitAla matrice deM2(R) etBla matrice deM2;3(R) denies par :A= 4 3
1 1! ; B= 1 0 2 1 11! Si elles ont un sens, calculer les matricesAB,BA,A2,B2etA+ 2Id2.Exercice 5{SoitA;B;Cles matrices :
A= 22 0
4 22!2M2;3(R); B=0
B @1 1 1 2 131C
A2M3;2(R); C= 11
1 2!2M2;2(R)
Determiner les produits denis 2 a 2 de ces trois matrices. Exercice 6{Ti;j() etant la matrice elementaire qui correspond a ajouter a la ligneile produit parde la ligne j, preciser la matriceT2;1(12 ) deM2;2(R), puis la matriceT1;2(2)T2;1(12 1 Exercice 7{1) Preciser les matrices elementaires deM3;3(R) : D2(2); T3;2(3); T2;1(2):
2) Calculer la matriceA=T3;2(3)D2(2)T2;1(2).
3) DonnerA1sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculerA1.
Exercice 8{Appliquer avec precision aux matricesMetNsuivantes l'algorithme du cours qui determine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 23 11!2M2;2(R)et N= 23
46!2M2;2(R):
Exercice 9{(extrait partiel novembre 2011)
1) En utilisant l'algorithme du cours, montrer que la matrice suivante est inversible et preciser
son inverse :A= 1 2
3 4!2) Puis, donner une expression deA1et deAcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 10{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M= 11 23!2M2;2(R):
2 ) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
Exercice 11{) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice :M= 2 1
3 2!2M2;2(R):
Preciser une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires. Exercice 12{SoitAetBdeux matrices carrees de m^eme ordre, on suppose que la matrice ABest inversible d'inverse la matriceC. Montrer alors queBest inversible et preciserA1.Exercice 13{(extrait partiel novembre 2011)
SoitXetYdeux matrices carrees non nulles de m^eme taille a coecients reels, montrer que siXY= 0, les matricesXetYne sont pas inversibles.Exercice 14{SoitM=0
B @2 4 1 2 5 11 2 11
C A.1) Montrer en appliquant les algorithmes du cours queMest inversible. Preciser la matrice
M1ainsi que la decomposition deM1comme produit de matrices elementaires.
22) En deduire une decomposition deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Montrer que nous avons aussiM=T2;3(1)T1;3(1)T3;1(1)T2;1(1)T1;2(2).
4) En deduire une deuxieme expression deM1comme produit de matrices elementaires.
5) Calculer det(M) et retrouver la valeur deM1en utilisant la formule d'inversion donnee
dans le cours.Exercice 15{(extrait partiel novembre 2009)
1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverseM1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 20 4 61
CA2M3;3(R):
Quelle est la valeur deM1?
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Deduire de la question 1 une matriceXdeM3;3(R)telle que :
2XM=0 B @1 0 0 0 1 0 02 11 C A: Exercice 16{1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour determiner l'inverse M1de la matrice :
M=0 B @1 2 3 0 1 10 2 31
CA2M3;3(R):
2) Donner une expression deM1, puis deMcomme produit de matrices elementaires.
3) Verier le calcul en eectuant les calculs des matricesMM1etM1M.
Exercice 17{SoitMla matrice deM3(R) denie par :
M=0 B @1 01 2 3 40 1 11
C A:1) Calculer le determinant deM, sa comatrice et l'inverse deM.
2) Determiner l'inverse deMsous forme de produit de matrices elementaires. EcrireMcomme
produit de matrices elementaires.3) Resoudre a l'aide de l'inverse deMle systeme suivant oumest un reel xe :
(m)2 6 4x 1x3=m2x1+ 3x2+ 4x3= 1
+x2+x3= 2m: 3Correction de l'exercice ?? :
Le lecteur veriera que :
AB= 0 0
0 0! ; BA= 6 3 126!CD=0 B @0 1 2 1 0 1 21 01
C
A; DC=0
B @123 2 0 21 0 11
CA; AE= 12 3
12 3! Le produitCEn'a pas de sens car la taille des colonnes (a savoir 2) deEest dierent de la taille des lignes (a savoir 3) deC.Correction de l'exercice ?? :
On trouve :
AB= 22 0
22 0!AC= 0 0
2 0!CA= 3 3
33!Les deux autres produitsB2etBAn'ont pas de sens.
Correction de l'exercice ?? :
1)AB= 2 0 2
02 2! BAn'a pas de sens car la taille des lignes deBn'est pas egale a celle des colonnes deA.AC= 2 0
02! =2Id2:CA= 2 0
02! =2Id2:CB= 22157
10 7 3!
BCn'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deC. B2n'a pas de sens car la taille des lignes de deBn'est pas egale a celle des colonnes deB.
2) Nous avons :AC=CA=2Id2, nous en deduisons :
A(12C) = (12
C)A= Id2:
Il en resulte que la matriceAest inversible, d'inverse : A 1=12C= 232
1124
De m^eme :
(12A)C=C(12
A) = Id2:
Il en resulte que la matriceCest inversible, d'inverse : C 1=12 A= 12 3212!
Correction de l'exercice ?? :
AB= 7 311
2 13!La matriceBAn'a pas de sens.
A2=AA= 139
32!La matriceB2n'a pas de sens.
A+ 2Id2= 4 3
1 1! + 2 1 0 0 1! = 2 3 1 3!Correction de l'exercice ?? :
AB= 02
4 14! ; BA=0 B @6 02 10 24108 61
CA; CA= 24 2
10 24!
BC=0 B @2 1 3 3 271C
A; C2= 03
3 3!Les matricesAC,CB,A2etB2ne sont pas denis.
Correction de l'exercice ?? :
T2;1(12
) =T2;1(12 )I2=T2;1(12 ) 1 0 0 1! = 1 0 12 1! De m^eme, en utilisant les proprietes des actions a gauche par les matrices elementaires, on obtient : T1;2(2)T2;1(12
) =T1;2(2) 1 0 12 1! = 02 12 1!Correction de l'exercice ?? :
1.1) 5 D2(2) =D2(2)I3=D2(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 02 00 0 11
C A: T3;2(3) =T3;2(3)I3=T3;2(3)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 0 1 00 3 11
C A: T2;1(2) =T2;1(2)I3=T2;1(2)0
B @1 0 0 0 1 00 0 11
C A=0 B @1 0 0 2 1 00 0 11
C A: 1.2)A=T3;2(3)D2(2)T2;1(2) =T3;2(3)D2(2)0
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