CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE
On se place ici dans wr(K). 1. Matrices dont on connaît directement les puissances n-ièmes. Puissance n-ième d'une matrice diagonale.
Puissance n-ième dune matrice Limite
Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur sa diagonale principale sont nuls. Exemple. D =.. 1 0 0.
1 Puissances dune matrice
(2) On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont tous égaux à. 0. Exemple : la matrice D =.
les matrices sur Exo7
2.6. Puissance d'une matrice. Dans l'ensemble Mn() des matrices carrées de taille n × n à coefficients dans la multiplication des matrices est.
Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième dune matrice- Limite
28 mai 2014 chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite ... T est une matrice carrée de format (N + 1)×(N + 1). b) Soit un entier i.
Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction
C'est donc la somme des carrées de tous les coefficients de A. Ainsi si cette Exercice 3bis : Calculer les puissances nième des matrices suivantes :.
MATRICES
Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée. Plus généralement la puissance n-ième de A est la matrice
Chapitre 1 - Matrices
On appelle matrice identité d'ordre n et on note In la matrice carrée dont Exemples : Calculer la puissance n-ème de chacune des matrices suivantes :.
Chapitre 8. Matrices
Toutes les puissances d'une matrice carrée A commutent entre elles. que le nième oeuf pondu par une poule soit de calibre A B ou C.
II. Les Matrices
L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs nième puissance matricielle (matrices carrées uniqu.).
PUISSANCES D’UNE MATRICE - Maths-coursfr
3 b) La valeur de a 1 est –1 L'expression de a n + 1 en fonction de a n est 3 c) D'après ce qui précède : an 2 n 1 a n 1 En substituant dans le second membre de cette égalité a n – 1 par 2n 2 a n 2 puis en faisant de même avec a n – 2 et ainsi de suite
Chapitre 8 Matrices - Eric Reynaud
1 Montrer qu'il existe une matrice ligne L et une matrice colonne C tels que A = C:L 2 Montrer que L:C = tr (A ):I1 3 En déduire que A n = ( tr (A ))n 1:A 4 Essayer de deviner sans démonstration les matrices pouvant s'écrire sous la forme CL où C est une matrice colonne et L une matrice ligne 1
Quelle est la puissance d'une matrice?
1 Puissances d'une matrice Dé nitions (1) On appelle diagonale (ou diagonale principale ) d'une matrice les éléments a i;ide la matrice ayant un indice de ligne égal à l'indice de colonne. (2) On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont tous égaux à 0.
Comment calculer la puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3 ?
Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3 Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = . Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer !
Comment calculer la propriété d'une matrice carrée?
Propriété Pour toute matrice carrée A d'ordre n, on a AI. n = I. nA= A. Dé nition A désignant une matrice carrée, on dé nit A 2par A = A A. Et pour un entier naturel p, on dé nit A ppar A = A A A ::: A(p fois). Exemple : Soit A= 1 2 3 4 ! , alors A2 = AA= 1 2 3 4 ! 1 2 3 4 ! = 7 10 15 22 !
Comment calculer le coefficient d'une matrice ?
Le calcul est 1 × 1 + 1 × 1 + 2 × 2 = 6. Maintenant, nous calculons le coefficient dans la première ligne et la deuxième colonne de la matrice la plus à droite : ? 1 1 2 1 0 1 2 1 0 ? ? 1 1 2 1 0 1 2 1 0 ? = ? 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ?. Le calcul est 1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 = 3.
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieIndexobjectif bac page 168 Étude asymptotique d'une marche aléatoire .......................................................... 1
objectif bac page 169 Étude d'une suite de matrices ................................................................................ 5
TP1 page 170 le modèle des urnes d'Ehrenfest ...................................................................................... 8
TP3 page 174 Modèle proies-prédateurs de Lokta-Volterra ......................................................... 16
9 page 176 ............................................................................................................................................... 19
10 page 176 ............................................................................................................................................. 21
48 page 184 Étude asymptotique d'une marche aléatoire. ............................................................ 21
51 page 185 Approximation de nombres réels .................................................................................... 24
Remarque et complément : Suite de Fibonacci .................................................................................. 30
57 page 188 Le modèle de Leslie ........................................................................................................... 32
objectif bac page 168 Étude asymptotique d'une marche aléatoire Un graphe probabiliste : Étant sur une page, le lien est choisiéquitablement.
ou un arbre1) La matrice (pi,j) où les coefficients pi,j désigne la probabilité, étant à la page i, d'aller à la page j. (i et j
sont les entiers 1 ou 2 ou 3).Remarque : pi,j est la probabilité conditionnelle qui pourrait être notée pi(j) avec les notations utilisées en
probabilités dans le programme obligatoire.M = (pi,j) =
(00,50,50,500,5
010).2) Pn en fonction de M et de P0.
Xn est la variable aléatoire donnant la page sur laquelle se trouve le surfeur au n-ième clic.Pn est la matrice ligne donnant dans cet ordre : le surfeur est à la page 1, à la page 2, à la page 3 ;
Pn = (P(Xn = 1) P(Xn = 2) P(Xn = 3))
P0 =(a b c) avec 0 a 1 ; 0 b 1 ; 0 c 1 et a + b + c = 1. État probabiliste initial.
" L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor1/37 chap_5.odt 28/05/14
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie P1 = P0M et Pn+1 = PnM Par récurrence, on montre que : Pn = P0Mn.3) Soit la matrice P =
(112 11-41-24). On admet que P est inversible et que P-1 =
118 (486
8-2-63-30).
a) Q = P-1MP. Q = 118(486
8-2-63-30)(00,50,5
0,500,5
010)(112
11-41-24) =
118 (486
-1-23 -1,51,50)(112 11-41-24) =
118 (1800
0-91800-9).
Q = (1000-0,51
00-0,5) = (100
0-0,50
00-0,5) + (000
001 000)On pose : D =
(1000-0,50
00-0,5) et T = (000
001000), d'où, Q = D + T.
3 b) T² =
(000 001000)(000
001000) = (000
000000) = 03.
DT = (1000-0,50
00-0,5)(000
001000) = (000
00-05000) = -0,5(000
001000) = -0,5T
TD = (000 001000)(100
0-0,50
00-0,5) = (000
00-05000) = -0,5T
Remarquer :
Lorsqu'une ligne i de la matrice à gauche est nulle, la ligne i de la matrice produit est nulle.Lorsqu'une colonne j de la matrice à droite est nulle, la colonne j de la matrice produit est nulle.
Montrons l'égalité : Pour tout n ∈ ℕ*, DnT = (-0,5)nT.Par récurrence :
Initialisation : n = 1. Le calcul précédent initialise la proposition. Hérédité : Soit un entier n 1 tel que DnT = (-0,5)nT. Dn+1T = D. DnT = D((-0,5)nT) = (-0,5)nDT = (-0,5)n(-0,5T) = (-0,5)n+1T . Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, pour tout n ∈ ℕ*, DnT = (-0,5)nT. " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor2/37 chap_5.odt 28/05/14
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie3c) Proposition à démontrer par récurrence: Pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn + n(-0,5)n-1T.
Initialisation : n = 1.
Q = D + T et D + 1×(-0,5)0T = D + T L'égalité est vérifiée. Hérédité : Soit un entier n 1 tel que Qn = Dn + n(-0,5)n-1T.Qn+1 = QnQ = (Dn + n(-0,5)n-1T)(D + T)
= Dn+1 + n(-0,5)n-1TD + DnT + n(-0,5)n-1T²Or, T² = 03, TD = -0,5T et DnT =
(-0,5)nT.On a donc : Qn+1 = Dn+1 +
n(-0,5)n-1(-0,5T) + (-0,5)nT = Dn+1 + n(-0,5)nT + (-0,5)nT = Dn+1 + (n + 1) (-0,5)nT. Conclusion : D'après l'axiome de récurrence, pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn + n(-0,5)n-1T. d) On sait : Q = P-1MP. En multipliant à gauche par P et à droite par P-1, on a : PQP-1 = P(P-1MP)P-1 Par associativité : PQP-1 = (PP-1)M(PP-1) = M puisque PP-1 = PP-1 = I3 . On a : M² = PQP-1PQP-1 = PQ²P-1 (et par récurrence ...)Mn = PQnP-1
3 e) Étude de la limite en +∞ de la suite
(Qn).On sait : pour tout n ∈ ℕ*, Qn = Dn +
n(-0,5)n-1T.Étude de Dn en +
Comme -1 < -0,5 < 1, on sait :
limn→+∞ (-0,5)n = 0 La matrice D étant une matrice diagonale, on a : Dn = (1000(-0,5)n0
00(-0,5)n) et quand n tend vers +∞, (Dn)
tend vers la matrice (100 000 000).Étude de la limite de
n(-0,5)n-1 n(-0,5)n-1 = 2 n2×(-1)n-1×1
2n-1 = (-1)n-1×2×n
2nIl reste à étudier la limite de n
2n Comme 2n = enln2 , posons x = nln2, et, étudions la limite de 1 ln2 x exD'autre part, on sait : limx→+∞ex
x = +∞, d'où, limx→+∞x ex = 0, ( soit : limx→+∞ xe-x = 0.) " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor3/37 chap_5.odt 28/05/14
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'AlexandrieLa limite en +∞ de n
2n est la limite en +∞ (car ln2 > 0) de 1
ln2 x ex, donc, limn→+∞ n2n = 0.
Comme, pour tout n ∈ ℕ*, (-1)n-1 = -1 ou 1, limn→+∞ (-1)n-1×2× n2n = 0
la matrice Qn a donc pour limite en +∞, la matrice (100 000 000). Étude de la limite en +∞ de la suite (Mn). Comme Mn = PQnP-1, on a quand n tend vers +∞, Mn tend vers P (100 000000)P-1.
Calcul de : 1
18 (112 11-41-24)(100
000000) (486
8-2-63-30) =
118 (100
100100)(486
8-2-63-30) =
118 (486
486486) =
(2 9 4 9 3 9 2 9 4 9 3 9 2 9 4 9 3 9On note
M∞ la matrice
(2 9493
9 2 94
93
9 2 94
93
9).
4) P0 =(a b c) avec 0 a 1 ; 0 b 1 ; 0 c 1 et a + b + c = 1. État probabiliste initial.
Pn = P0Mn donc
Pn tend vers la matrice
P∞ = P0M∞ = (a b c)
(2 9493
9 2 94
93
9 2 94
93
9) = (2
9(a+b+c)4
9(a+b+c)3
9(a+b+c))Comme a + b + c = 1, la suite
(Pn) converge vers P∞ = (2 9493
9). la page 2 est celle qui est la plus probable après de nombreux clics. " L'essence des mathématiques réside précisément dans leur liberté " Georg Cantor
4/37 chap_5.odt 28/05/14
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Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve. Euclide d'Alexandrie objectif bac page 169 Étude d'une suite de matricesXn = (pn
qn rn ) avec X0 = (12 1610) et Xn+1 = AXn + C où A = (0,50,250,25
0,250,50,25
0,250,250,5) et C = (0
3 -3).1 a) Soit X =
(16 2012). AX + C = (0,50,250,25
0,250,50,25
0,250,250,5)(16
2012) + (0
3 -3) = (8+5+34+10+3
4+5+6) + (0
3 -3) = (16 2012) = X
Remarques et point-méthode :
1) recherche et existence de X
On cherche s'il existe une matrice constante X vérifiant AX + C = X. Si cette matrice existe, elle vérifie (I3 - A)X = C.On pose B = I3 - A.
Lorsque B est inversible X =
B-1C.2) Dans l'étude des suites arithmético-géométriques, l'étude est semblable.
Soit un+1 = aun + b.
On résout : ax + b = x. si a
≠ 1, il existe un réel = bquotesdbs_dbs30.pdfusesText_36[PDF] ami de maupassant
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