[PDF] MATRICES Définition : Une matrice de





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CALCUL DES PUISSANCES N-IÈME DUNE MATRICE CARRÉE

On se place ici dans wr(K). 1. Matrices dont on connaît directement les puissances n-ièmes. Puissance n-ième d'une matrice diagonale.



Puissance n-ième dune matrice Limite

Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur sa diagonale principale sont nuls. Exemple. D =.. 1 0 0.



1 Puissances dune matrice

(2) On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont tous égaux à. 0. Exemple : la matrice D =.



les matrices sur Exo7

2.6. Puissance d'une matrice. Dans l'ensemble Mn() des matrices carrées de taille n × n à coefficients dans la multiplication des matrices est.



Classe: TSspé chapitre5 : Puissance n-ième dune matrice- Limite

28 mai 2014 chapitre5 : Puissance n-ième d'une matrice- Limite ... T est une matrice carrée de format (N + 1)×(N + 1). b) Soit un entier i.



Séance de soutien PCSI2 numéro 7 : Calcul matriciel - Correction

C'est donc la somme des carrées de tous les coefficients de A. Ainsi si cette Exercice 3bis : Calculer les puissances nième des matrices suivantes :.



MATRICES

Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée. Plus généralement la puissance n-ième de A est la matrice



Chapitre 1 - Matrices

On appelle matrice identité d'ordre n et on note In la matrice carrée dont Exemples : Calculer la puissance n-ème de chacune des matrices suivantes :.



Chapitre 8. Matrices

Toutes les puissances d'une matrice carrée A commutent entre elles. que le nième oeuf pondu par une poule soit de calibre A B ou C.



II. Les Matrices

L'élément de base de Matlab est une matrice de dimension n x m composée de valeurs nième puissance matricielle (matrices carrées uniqu.).



PUISSANCES D’UNE MATRICE - Maths-coursfr

3 b) La valeur de a 1 est –1 L'expression de a n + 1 en fonction de a n est 3 c) D'après ce qui précède : an 2 n 1 a n 1 En substituant dans le second membre de cette égalité a n – 1 par 2n 2 a n 2 puis en faisant de même avec a n – 2 et ainsi de suite



Chapitre 8 Matrices - Eric Reynaud

1 Montrer qu'il existe une matrice ligne L et une matrice colonne C tels que A = C:L 2 Montrer que L:C = tr (A ):I1 3 En déduire que A n = ( tr (A ))n 1:A 4 Essayer de deviner sans démonstration les matrices pouvant s'écrire sous la forme CL où C est une matrice colonne et L une matrice ligne 1



Quelle est la puissance d'une matrice?

1 Puissances d'une matrice Dénitions (1) On appelle diagonale (ou diagonale principale ) d'une matrice les éléments a i;ide la matrice ayant un indice de ligne égal à l'indice de colonne. (2) On appelle matrice diagonale une matrice carrée dont les éléments non diagonaux sont tous égaux à 0.

Comment calculer la puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3 ?

Puissance n-ième d'une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3 Si T est une matrice triangulaire supérieure stricte d'ordre 3, alors pour tout entier naturel supérieur ou égal à 3, on a T3 = . Remarque : C'est la raison pour laquelle il est utile de les repérer !

Comment calculer la propriété d'une matrice carrée?

Propriété Pour toute matrice carrée A d'ordre n, on a AI. n = I. nA= A. Dénition A désignant une matrice carrée, on dénit A 2par A = A A. Et pour un entier naturel p, on dénit A ppar A = A A A ::: A(p fois). Exemple : Soit A= 1 2 3 4 ! , alors A2 = AA= 1 2 3 4 ! 1 2 3 4 ! = 7 10 15 22 !

Comment calculer le coefficient d'une matrice ?

Le calcul est 1 × 1 + 1 × 1 + 2 × 2 = 6. Maintenant, nous calculons le coefficient dans la première ligne et la deuxième colonne de la matrice la plus à droite : ? 1 1 2 1 0 1 2 1 0 ? ? 1 1 2 1 0 1 2 1 0 ? = ? 6 3 ? ? ? ? ? ? ? ?. Le calcul est 1 × 1 + 1 × 0 + 2 × 1 = 3.

MATRICES

1 sur 9

MATRICES

Le mot " matrice » vient du latin " mater » (mère). Comme on enregistrait les enfants à la naissance dans des registres, le mot désigna ces registres. Cela explique les mots " matricule » ou " immatriculation ». Avec les mathématiciens Augustin Louis Cauchy (ci-contre) et Arthur Cayley, vers 1845, le mot prend naturellement le sens mathématique qu'on lui connaît aujourd'hui.

I. Généralités sur les matrices

Définition : Une matrice de taille m x n est un tableau de nombres formé de m lignes et n colonnes.

Une telle matrice s'écrit sous la forme :

Les nombres sont appelés les coefficients de la matrice.

Exemple :

est une matrice de taille 2 x 3. Définition : Une matrice de taille n x n est appelée une matrice carrée.

Exemple :

est une matrice carrée de taille 2. Définition : Une matrice de taille n x 1 est appelée une matrice colonne. Une matrice de taille 1 x m est appelée une matrice ligne.

Exemple :

Les coordonnées d'un vecteur du plan est une matrice colonne de dimension 2 x 1. a 11 a 12 a 13 ...a 1n a 21
a 22
a 23
...a 2n a m1 a m2 a m3 ...a mn a ij A= 3-24 15-1 B= -23 67

2 sur 9

Propriété : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont la même taille et ont les coefficients égaux placés aux mêmes positions.

II. Opérations sur les matrices

1) Somme de matrices

Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. La somme de A et B est la matrice, notée A + B, dont les coefficients sont obtenus en additionnant deux à deux des coefficients qui ont la même position dans A et B.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/MMBfOom_mac

et alors

Remarque :

Cette définition montre qu'il n'est possible d'additionner que des matrices de même taille. Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille. a) Commutativité : A + B = B + A b) Associativité : (A + B) + C = A + (B + C)

2) Produit d'une matrice par un réel

Définition : Soit A une matrice et k un nombre réel. La produit de A par le réel k est la matrice, notée kA, dont les coefficients sont obtenus en multipliant tous les coefficients de A par k.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/B3NAaW1Ap_I

alors Propriétés : Soit A et B deux matrices carrées de même taille et deux réels k et k'. a) (k + k')A = kA + k'A b) k(A + B) = kA + kB c) (kk')A = k(k'A) d) (kA)B = A(kB) = k(A x B) A= 23
4-1 B= 5-3 -310

C=A+B=

2+53-3

4-3-1+10

70
19 A= -25,5 2-4 B=2A=

2×-2

2×5,5

2×22×-4

-411 4-8

3 sur 9

3) Produit d'une matrice carrée par une matrice colonne

Définition : Soit A une matrice carrée de taille n et B une matrice colonne à n lignes telles que : et Le produit de la matrice carrée A par la matrice colonne B est la matrice colonne à n lignes, notée A x B et égale à :

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/nW8XRIhlq0Q

et alors

4) Produit de deux matrices carrées

Définition : Soit A et B deux matrices de même taille. La produit de A et B est la matrice, notée A x B, dont les colonnes correspondent au produit de la matrice A par chaque colonne de la matrice B.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/ZOtgQxB5NXI

et alors : et

Remarque :

La multiplication de matrices n'est pas commutative : A= a 11 a 12 ...a 1n a 21
a 22
...a 2n a n1 a n2 ...a nn B= b 1 b 2 b n

A×B=

a 11 ×b 1 +a 12 ×b 2 +...+a 1n ×b n a 21
×b 1 +a 22
×b 2 +...+a 2n ×b n a n1 ×b 1 +a n2 ×b 2 +...+a nn ×b n A= 25
-31 B= 3 4

A×B=

2×3+5×4

-3×3+1×4 26
-5 A= -23 12 B= 3-3 41

A×B=

-23 12 3-3 41
-2×3+3×4-2×-3 +3×1

1×3+2×41×-3

+2×1 69
11-1

B×A=

3-3 41
-23 12

3×-2

+-3

×13×3+-3

×2

4×-2

+1×14×3+1×2 -93 -714

A×B≠B×A

4 sur 9

Propriétés : Soit A, B et C trois matrices carrées de même taille et un réel k. a) Associativité : (A x B) x C = A x (B x C) = A x B x C b) Distributivité : A x (B + C) = A x B + A x C et (A + B) x C = A x C + B x C c) (kA)B = A(kB) = k(A x B)

5) Puissance d'une matrice carrée

Définition : Soit A une matrice carrée et n un entier naturel.

Le carré de A est la matrice, noté A

2 , égale à A x A.

Le cube de A est la matrice, noté A

3 , égale à A x A x A. Plus généralement, la puissance n-ième de A est la matrice, notée A n , égale au produit de n facteurs A.

Exemple :

Vidéo https://youtu.be/r81z2eLd07w

Soit une matrice diagonale.

Alors En effet, on constate après calcul que tous les coefficients qui ne se trouvent pas sur la diagonale s'annulent et que sur la diagonale, les coefficients de A 2 sont égaux aux carrées des coefficients de A. On peut généraliser cette règle à une puissance quelconque.

Ainsi par exemple,.

Méthode : Utiliser la calculatrice pour effectuer des calculs matriciels

Vidéo TI https://youtu.be/8c4WDe1PSZk

Vidéo Casio https://youtu.be/zq5OHgdTw34

Vidéo HP https://youtu.be/9a_rRHabIF8

On veut calculer le carré de la matrice.

Avec une TI :

Entrer dans le mode "Matrice" (MATRIX) puis "EDIT". Saisir la taille de la matrice puis ses coefficients. A= 200
010 004 A 2 200
010 004 200
010 004

2×200

01×10

004×4

2 2 00 01 2 0 004 2 A 5 2 5 00 01 5 0 004 5 3200
010

001024

A= 23-3
245
-15-5

5 sur 9

Quittez (QUIT) puis entrer à nouveau dans le mode "Matrice" et sélectionner la matrice A et compléter la formule pour élever A au carré.

Avec une CASIO:

Entrer dans le menu "RUN.MAT" puis choisir "MAT" (Touche F1). Choisir une matrice et saisir sa taille dans la fenêtre qui s'ouvre.

Saisir ensuite les coefficients de la matrice.

Quitter le mode d'édition (QUIT) et taper sur la touche "Mat" puis saisir le calcul.

On obtient le résultat :

6 sur 9

III. Matrice inverse

1) Matrice unité

Définition : On appelle matrice unité de taille n la matrice carrée formée de n lignes et

n colonnes : Propriété : Pour toute matrice carrée A de taille n, on a :

Exemple :

alors :quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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