[PDF] [PDF] Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Introduction





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Valeurs propres vecteurs propres

? est dite valeur propre de la matrice A s'il existe un vecteur non nul X Comment trouver les valeurs propres d'une matrice parmi tous les éléments de ?



Trouver les valeurs propres de A (ou de f) 1 Rappel des définitions 2

des matrices colonnes X) tels que f( x) = ? x (resp. AX = ?X). Il est donc formé des vecteurs propres et du vecteur nul ! • Si A est la matrice de f dans 



Chapitre 11 – Valeurs propres – Vecteurs propres 1 Introduction

pour la valeur propre ?. 2. Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres ? On suppose que A est une matrice carrée d'ordre p.



Rappel. Le polynôme caractéristique dune matrice carrée A est det

17 dic 2012 Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de ... ?3 = -1. Pour trouver les vecteurs propres correspondants ...



Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

qui converge vers une matrice R pour laquelle il est facile de calculer ses valeurs propres. Par exemple il peut s'agir d'une matrice diagonale ou d'une 



Valeurs propres et vecteurs propres

Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n Si on connaît une valeur propre ? de A. On trouve les vecteurs propres de A en.



Chapitre V Valeurs et Vecteurs Propres

Ces propri?t?s restent vraies pour des matrices g?n?rales (sans d?monstration). V.7 Exercices. 1. Calculer les valeurs propres de la matrice tridiagonale ( 



Valeurs propres et vecteurs propres

L'objectif de ce chapitre est d'introduire les notions de valeur propre et de vecteur propre d'une matrice et de présenter des méthodes permettant de déterminer 



Un algorithme performant pour le calcul des valeurs propres et des

L'algorithme proposé est un algorithme très performant pour calculer les valeurs propres et les vecteurs propres d'une matrice carrée symétrique. Le sous- 



6 Algorithmes pour les valeurs propres

Trouver les valeurs propres d'une matrice est équivalent à trouver les racines de son polynôme. Pour les matrices de taille n ? 5 il n'existe en général pas d 



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Comment trouver les valeurs propres d'une matrice parmi tous les éléments de ? 2 1 Caractérisation des valeurs propres Voici le résultat fondamental pour 



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Théor`eme : Soient A une matrice diagonalisable ? une valeur propre de A et m(?) sa multiplicité • Il y a m(?) coefficients diagonaux de D égaux `a ? • Il y 



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Défintion : valeur propre et vecteur propre ? Un vecteur x est un vecteur propre de la matrice A carrée de taille n × n si Ax = ?x pour un certain réel ?



[PDF] Fiche Méthode 12 : Trouver les valeurs propres de A (ou de f)

Un réel ? est une valeur propre de f (resp de A) s'il existe un vecteur x ? E non nul (resp une matrice colonne X non nulle) tel que f( x) = ? x (resp



Diagonalisation dune matrice carrée [Calcul matriciel]

Déterminer les vecteurs propres associés aux valeurs propres de la matrice A = ( 5 ? 3 6 ? 4 ) Les vecteurs propres obtenus forment-ils une base de R 



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Ce sont les valeurs propres de l'endomorphisme dont la matrice est A dans la Autrement dit ? est diagonalisable si et seulement si on peut trouver une 



[PDF] Chapitre 5 Calcul des valeurs propres et des vecteurs propres

qui converge vers une matrice R pour laquelle il est facile de calculer ses valeurs propres Par exemple il peut s'agir d'une matrice diagonale ou d'une 



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c) Trouver les vecteurs propres associés à chacune des valeurs propres d) Est ce que B est diagonalisable? Page 17 Diagonalisation des matrices réelles 



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17 déc 2012 · Les valeurs propre d'une matrice carrée sont les racines de ?3 = -1 Pour trouver les vecteurs propres correspondants 



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dans la matrice diagonale ? et les vecteurs propres comme les Trouver les valeurs et vecteurs propres de A 1 Former la matrice A ? ?I et calculer 

:
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MVA101 Analyse et calcul matriciel - Cours n

13 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 11 - Valeurs propres - Vecteurs propres

1 Introduction

1.Probl`eme: SoitA= 4 1

2 1! . CalculerAnavec 06n65 : A

0= 1 0

0 1! A

1= 4 1

2 1! A

2= 14 5

101!
A

3= 46 19

3811!
A

4= 146 65

13049!

A

5= 454 211

422179!

Et combien vautAn?

A n=0

BBBBBBBBBBB@2n+23n2n+3n

22n23n22n3n1

CCCCCCCCCCCA

2. Ce qui est compliqu

´e dans le calcul des puissances d"une matrice, c"est que tous les coecients sedispersentau cours des multiplications :

M= a b

c d! M 2=0

BBBBBB@a

2+bc ab+db

ac+dc d2+bc1

CCCCCCAM3=0

BBBBBBBBB@a

3+2bca+bcd ba2+bda+bd2+b2c

ca

2+cda+bc2+cd2d3+2bcd+abc1

CCCCCCCCCA

Il y a un cas o

`u c"est facile :

Th´eor`emeD=0

BBBBBBBBBBBBB@

100
020 0 0m1

CCCCCCCCCCCCCA)Dn=0

BBBBBBBBBBBBB@

n 100
0n 20

0 0nm1

CCCCCCCCCCCCCA

Remarque: Sii,0 pour touti, la formule vaut pour toutn2Z.

3.Th´eor`eme: SoitPune matrice inversible. SiA1,A2, ...,Ansont des matrices quelconques et :

B

1=PA1P1B2=PA2P1:::Bn=PAnP1

alors :B1B2Bn=PA1A2AnP1

En particulier :B=PAP1)Bn=PAnP1

D´emonstration:B1B2B3Bn=PA

1P1PA 2P1PA 3P1PA nP1 =PA1P1PA 2P1PA

3(P1P)AnP1

=PA1IA2IA3AnP1 =PA1A2A3AnP1 1

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13 Jacques V´elu (CNAM)4.M´ethodepour calculerAnconnaissant unematrice inversibleP et unematrice diagonaleD telles

queA=PDP1: on calculeDnpuisAn=PDnP1Exemple: 4 1 2 1! | {z } A= 11 1 2! | {z } P 3 0 0 2! | {z } D 2 1 1 1! | {z } P 4 1 2 1! n = 2n+23n2n+3n

22n23n22n3n!

2 Valeurs propres - Vecteurs propres

1. Quand il existePetDtelles queA=PDP1ont dit queAestdiagonalisable.

Une matriceA´etant donn´ee, on cherche ce que pourraitˆetre la matricePsiA´etait diagonalisable :

A=PDP1()AP=PD=APDP

AP c k c kk Ac k c kk Conclusion: Les colonnes dePdoivent forc´ement v´erifier une´egalit´e du type : Ac=cavecun nombre etcune matrice colonne non nulle.

Quand on a une telle

´egalit´e, on dit queest unevaleur propredeAet quecest unvecteur propre pour la valeur propre.

2. Comment trouver des valeurs propres et des vecteurs propres?

On suppose queAest unematrice carr´ee d"ordre p. On notei;jses coecients etXiceux de la colonnec. 2

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13 Jacques V´elu (CNAM)L"

´egalit´eAc=c´equivaut au syst`eme :

8>>>>>>><>>>>>>>:

1;1X1+1;2X2++1;pXp=X1

2;1X1+2;2X2++2;pXp=X2

p;1X1+p;2X2++p;pXp=Xp Parce que les inconnues sontX1,X2, ...,Xpet, ce n"est pas un syst`eme lin´eaire!

Si les inconnues´etaient seulementX1,X2, ...,Xp, ce serait un syst`eme lin´eaire dont on trouverait

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