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MAT 1200:

Introduction à l"algèbre linéaire

Saïd EL MORCHID

Département de Mathématiques et de Statistique

Chapitre 7: Les valeurs et les vecteurs propres

Références

Définitions-Exemples

Exemple

Définitions

L"équation caractéristique

Définitions

Polynômes caractéristiques de degré 2

Polynômes caractéristiques de degré 3

Exemple

Valeurs propres d"une matrice triangulaire

Valeur propre d"ordrek2

Diagonalisation d"une matrice

Diagonalisation des matrices réelles symétriques (livre sect. 7.1) Algorithme pour diagonaliser une matrice réelle symétrique:

Exemples

Références:

Notes de cours chapitre 7 page 128 .

Livre: section 5.1., 5.2, 5.3 pages 286-316. Section 7.1.pages 423-429

Définitions-Exemples

Dans cette section, on est à la recherche des vecteurs qui sont transformés par une matriceAen un multiple scalaire d"eux mêmes.Exemple:

Soient

A=32 1 0 ~u=1 1 ~v=2 1 On a A ~u=5 1 ;A~v=4 2 =2~v:

DoncAétire le vecteur~v.Définition

a) Soit Aune matrice carrée d"ordren. Unvecteur propredeAest un vecteur non nul ~xtel queA~x=~x, pour un certain scalaire. b) Un scalaire est appelé unevaleur propredeAsi l"équationA~x=~x admet une solution non triviale ~x; cet~xest appelé le vecteur propre associé à.

Exemple:

Soient

A=1 6 5 2 ~u=6 5 ~v=3 2 a)

Est ce qu e

~uet~vsont des vecteurs propres deA? b) Montre rque 7 est une valeur p roprede Aet chercher des vecteurs propres associés.Remarque-Définition a)est une valeur propre deAsi et seulement si l"équation (AI)x=0() admet une solution non triviale. b) L"espace solution de ()n"est autre que Nul(AI) =Ker(AI). Cet espace est appelé l"espace propredeAassocié à la valeur propre

Exemple:

Soit A=0 @41 6 2 1 6 21 81
A Une valeur propre deAest 2. Déterminez une base de l"espace propre associé.

L"équation caractéristique

Définition

Dire queest une valeur propre deArevient à dire que la matrice(AI) est non inversible. C"est à dire que det(AI) =0 cette équation est appelée l"équation caractéristiquede la matriceAet P() =det(AI)est appelé lepolynôme caractéristiquedeA.Proposition Un scalaireest une valeur propre d"une matrice carréeAsi et seulement si est solution de l"équation caractéristique det(AI) =0: Polynômes caractéristiques de degré 2 et 3

Proposition

SiA=a 11a12 a 21a22
alors son polynôme caractéristique est

P() =2(a11+a22)+det(A):Proposition

SiA=0 @a

11a12a13

a

21a22a23

a

31a32a331

A alors son polynôme caractéristique est

P() =[3(a11+a22+a33)2+ (M11+M22+M33)det(A)]:

oùM11;M22;M33sont respectivement les mineurs des élémentsa11;a22eta33.

Exemple:

Déterminez l"équation caractéristique, puis les valeurs propres de la matrice A=0 B

B@52 61

0 38 0

0 0 5 4

0 0 0 11

C CA

Valeurs propres d"une matrice triangulaire

Théorème:

Les valeurs propres d"une matrice triangulaire sont les éléments de sa diagonale principale.Exemple:

On pose

A=0 @3 68 0 0 6

0 0 21

A ;B=0 @4 0 0 2 1 0

5 3 41

A

Déterminer les valeurs propres deAet deB.

Valeur propre d"ordrek2Définition:

SoitAune matrice carrée de typenn. On dit queest une valeur propre réelle de multiplicitékndeAsiest une racine de multiplicitékde son polynôme caractéristiqueP(X). C"est à dire que

P(X) = (X)kQ(X)avecQ()6=0:Exemple:

Le polynôme caractéristique d"une matriceA2M6;6est

P() =645124:

Déterminez les valeurs propres et leur ordre de multiplicité.

Proposition:

SoitAune matrice carrée de typennetune valeur propre réelle de multiplicitékndeA, la dimension de l"espace propre associé àest au moins 1 et au plusk.Définition: SoitAune matrice carrée de typennetune valeur propre réelle de multiplicitékndeA. Si la dimension de l"espace propre associé àestExemple:

On considère la matrice

A=0 @4 11 2 52

1 1 21

A a) Do nnerLa transfo rmationlinéaire T:R3!R3associée à la matriceA par rapport à la base canonique. b)

T rouverle p olynômeca ractéristiquede A.

c)

T rouverles valeurs p ropresde A.

d) T rouverles vecteurs p ropresasso ciésà chacune des valeurs p ropres. e) Est ce qu "ilsfo rmentune base de R3? Si oui donner la matriceDdeT dans cette base. f)

Déterminer une matrice Ptelle queD=P1AP.

Diagonalisation d"une matrice

Définition:

SoitAune matrice carrée de typenn. On dit qu"elle estdiagonalisables"il existe une matricePinversible telle que la matrice

B=P1AP

soit diagonale.Remarque: SoitTla transformation linéaire associée àAdans la base canonique deRn. Dire queAest diagonalisable revient à trouver une baseBdeRntelle que la matriceBdeTdans cette base soit diagonale.Proposition: SoitAune matrice carrée de typenn.Aest diagonalisable si et seulement si elle possèdenvecteurs propres linéairement indépendants.

Remarque:

SoitAune matrice carrée de typenn. SiAest diagonalisable, on désigne par Pla matrice dont les colonnes sont les vecteurs propres~v1;~v2;;~vnetBla matrice dont la diagonale est formée de valeurs propres correspondantes aux vecteurs propres dans le même ordre. Alors

B=P1AP,A=PBP1:Exemple:

Soit la matrice

A=4 2 31
a)

T rouverle p olynômeca ractéristiquede A.

b)

T rouverles valeurs p ropresde A.

c) T rouverles vecteurs p ropresasso ciésà chacune des valeurs p ropres. d) Est ce q u"ilsfo rmentune base de R2? Si oui donner la matriceDdeT dans cette base. e)

D éterminerune matrice Ptelle queD=P1AP.

Exemple:

Soit la matrice

B=51 1 3 a)

T rouverle p olynômeca ractéristiquede B.

b)

T rouverles valeurs p ropresde B.

c) T rouverles vecteurs p ropresasso ciésà chacune des valeurs p ropres. d)

Est ce q ueBest diagonalisable?

Diagonalisation des matrices réelles symétriques (livre sect.

7.1)Théorème:

SoitAune matrice réelle symétrique. Alors toutes les racines de son polynôme caractéristique sont réelles.Théorème: SoitAune matrice réelle symétrique. Si~u;~vsont deux vecteurs propres deA correspondant à deux valeurs propres distinctes1;2alors~uet~vsont orthogonaux.Théorème: SoitAune matrice réelle symétrique. AlorsAest diagonalisable et il existe une matrice orthogonalePtelle que la matrice

D=P1AP=PtAP

soit diagonale. Algorithme pour diagonaliser une matrice réelle symétrique:

Algorithme

On se donne une matrice symétriqueAà éléments réels. Pour avoirD=PtAP diagonale, on utilise l"algorithme suivant

Étape 1:

Écrire le p olynômeca ractéristiqueP()deA.

Étape 2:

T rouverles solutions de l"équation P() =0, qui sont les valeurs propres deA.

Étape 3:

Const ruirela m atricediagonale Ddes valeurs propres, répétées autant de fois que leur multiplicité.

Étape 4:

Dét erminerune b aseo rthogonalede l"espace p roprede chacune des valeurs propres trouvées à l"étape 2.

Étape 5:

No rmaliserles vecteurs de l"étap e4.

Étape 6:

Écrire la matr iceo rthogonalePdont les colonnes sont les vecteurs unitaires de l"étape 5.

Exemples:

Exemple:

Diagonaliser la matrice

A=22

2 5Exemple:

Soit la matrice

A=0 @118 4 812
4241
A

Le polynôme caractéristique deAest

P() = (+5)2(16):

Diagonaliser la matriceA.

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