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F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

Fiche Méthode 12 :

Trouver les valeurs propres deA(ou def)

On commence par rappeler les définitions du cours. On donne ensuite les principales techniques pour

attraper les valeurs propres : •la méthode pour les matrices triangulaires (il suffit de savoir lire); •la méthode du pivot de Gauss, qui "marche tout le temps" mais est un peu lourde; •les méthodes à utiliser quand il faut juste faire des vérifications; •l"utilisation d"un polynôme annulateur; •enfin, le cas "particulier" de la valeur propre0, et l"astuce des matrices stochastiques.

1 Rappel des définitions

Dans la suite,Edésigne un espace vectoriel de dimension finie;fdésigne un endomorphisme deE etAdésigne une matrice carrée. •Un réelest une valeur propre def(resp. deA) s"il existe un vecteur~x2Enon nul(resp. une matrice colonneXnon nulle) tel quef(~x) =~x(resp.AX=X). Autrement ditest une valeur propre defsi l"équationf(x) =xa au-moins une solution non nulle, c"est-à-dire sifIn"est pas injective. De même,est une valeur propre deAsi l"équationAX=Xa au-moins une solution non nulle, c"est-à-dire siAIn"est pas inversible. •Un vecteur~xdeE(resp. un vecteur colonneX) est un vecteur propre def(resp. deA) s"ilest non nulet si il existe un réeltel quef(~x) =~x(resp.AX=X).

•Le sous-espace propre associé à la valeur propreest l"ensemble des vecteurs~x(resp. l"ensemble

des matrices colonnesX) tels quef(~x) =~x(resp.AX=X). Il est donc formé des vecteurs propres et du vecteur nul! •SiAest la matrice defdans une base deE, les valeurs propres deAsont les mêmes que celles def, et les vecteurs propres deAsont les vecteurs colonnes dont les composantes sont celles des vecteurs propres def. •On appellespectre def(ou deA) l"ensemble des valeurs propres def(ou deA). Rappelons qu"une matrice carrée d"ordrena au maximumnvaleurs propres distinctes, et que la somme des dimensions des espaces propres ne peut pas excédern.

Sur cette fiche, je ne m"intéresse qu"aux valeurs propres. Suivront une fiche sur les vecteurs propres

et une sur la diagonalisabilité.

2 Un cas particulier : valeurs propres d"une matrice triangulaire.

•SiAest une matrice triangulaire (qu"elle soit triangulaire inférieure, triangulaire supérieure, ou

même diagonale), les valeurs propres deAsont ses coefficients diagonaux. Exemple 1 :(D"après Écricome 2009) Donner les valeurs propres deA:=0 @1 1 1 0 2 2

0 0 31

A Solution :Aest triangulaire supérieure. Ses valeurs propres sont donc ses coefficients diagonaux.

Ainsi, le spectre deAestf1;2;3g.

1/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

3 Le cas général : utilisation d"une réduction de Gauss.

En règle général, pour déterminer les valeurs propres d"une matriceA, on procède ainsi :

1.

Écrire la matrice B:=AI;

2.

Effectuer des op érationsde Gauss sur les ligne sde Bpour la rendre triangulaire (généralement

triangulaire supérieure). pour mémoire, les opérations de Gauss sont : (a)

Éc hangerdeu xlignes ( Li$Lj);

(b) Multiplier une li gnepar une constan tenon nulle(Li kLiaveck6= 0); (c) Ajouter à une ligne un m ultiple(év entuellementn ul)d"une autre ligne : ( Li Li+kLj aveck2R). 3. Prendre c hacundes c oefficientsdiagon auxet trouv erp ourquel(s) il vaut0. 4. Les v aleurspro presson ttoutes les v aleursde obtenues.

En pratique :

•La première étape consiste (presque) toujours à échanger deux lignes (pour pouvoir ensuite utiliser

la première ligne pour annuler les autres coefficients de la première colonne).

•Attention à ne pas remplacer une ligne par elle-même multipliée par une fonction de(même

en ajoutant autre chose). Typiquement, faireL2 (1 +)L2+L1est interdit! Mais faireL2 L

2+ (1 +)L1est autorisé (j"espère que vous voyez la nuance.

•Dans le même ordre d"idée, attention à ne pas diviser par une fonction de: faireL2 L2+11+L1

est interdit, car a priori rien ne dit que1 +6= 0. si vous voulez vraiment le faire, il faut distinguer

des cas (c"est généralement inutile dans les sujets.

Exemple 2 :(D"après ÉM Lyon 2013)

On considère la matriceA:=0

B

B@0 0 0 2

0 0 1 0

0 1 0 0

2 0 0 01

C

CA. Déterminer les valeurs propres deA.

Solution :On procède comme annoncé :

•B:=AI=0 B

B@0 0 2

01 0 0 10

2 0 01

C CA.

•On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On amène en haut à gauche un élément non

nul ne dépendant pas de(et au passage, idem pour la deuxième ligne - deuxième colonne) : on fait

L

1$L4etL2$L3ce qui transformeBen0

B

B@2 0 0

0 10 01 0

0 0 21

C

CA. Comme je n"aime pas le2, je

fais (je ne suis pas obligé)L1 12

L1pour obtenir0

B

B@1 0 02

0 10 01 0

0 0 21

C

CA. Je cherche à obtenir une

première colonne nulle (à l"exception du1). Il suffit ici de faireL4 L4+L1. Je peux même, ici,

annuler la deuxième colonne (à l"exception du1) en faisantL3 L3+L2. Avec ces deux opérations,

2/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 on obtient : 0 B

B@1 0 02

0 10

0 0 120

0 0 0 222

1 C CA. Cette matrice étant triangulaire, on a terminé la réduction de

Gauss.

•On regarde pour quelle(s) valeurs deil y a au-moins un zéro sur la diagonale de la matrice obte-

nue. Évidemment,1ne s"annule pas, il s"agit donc de résoudre (séparément)12= 0et222 = 0. Or12= 0()(1)(1 +) = 0()= 1ou=1. (Car un produit de facteur est nul si et seulement si un des facteurs est nul.) [On pouvait aussi dire que les solutions dex2= 1sont1et

1(celles dex2=aaveca >0sontpaetpa).] Ainsi,1et1sont valeurs propres. L"équation

222
= 0équivaut à42= 0, dont les solutions sont2et2(pour les mêmes raisons que précédemment).

Finalement, les valeurs propres deAsont1,1,2et2.

Exemple 3 :(D"après Écricome 2010)

SoitEun espace vectoriel etB:= (e1;e2;e3)une base deE. Pour tout réela, on considère l"endomor-

phismefadeEdont la matrice dans la baseBest donnée parMa:=0 @a+ 2(2a+ 1)a 1 0 0

0 1 01

A , ainsi que la fonction polynomialeQqui à tout réelxassocie le réelQ(x) :=x3(a+2)x2+(2a+1)xa. Montrer que le réelest valeur propre defasi et seulement siest racine du polynômeQ.

Solution!ici aussi, on utilise la méthode générale. Tout d"abord, commeMaest la matrice defa

dans une base deE, les valeurs propres defasont les mêmes que celles deMa. Cherchons donc celles deMa. •MaI=0 @a+ 2(2a+ 1)a 10 0 11 A

•On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On remonte les "1" de façon à les utiliser comme

pivot. On permute les lignes (L1$L2puisL2$L3) pour se ramener à0 @10 0 1 a+ 2(2a+ 1)a1 A

Il reste à annuler les deux premiers coefficients de la troisième ligne de cette matrice. On annule le pre-

mier en faisantL3 L3(a+2)L1, ce qui transforme la matrice en0 @10 0 1

02+(a+ 2)(2a+ 1)a1

A Enfin, on fait l"opérationL3 L3(2+(a+ 2)(2a+ 1))L2qui, commea(2+(a+

2)(2a+ 1))() =3+ (a+ 2)2(2a+ 1)+adonne la réduite de Gauss deMaI:0

@10 0 1

0 03+ (a+ 2)2(2a+ 1)+a1

A

•On regarde à présent pour quelles valeurs deles coefficients diagonaux de cette matrice s"annulent.

Comme1ne s"annule pas, les valeurs propres deMasont exactement les solutions de3+(a+2)2 (2a+ 1)+a= 0. Compte-tenu de la définition deQ, et du fait que les valeurs propres deMasont celles defa, le réelest valeur propre defasi et seulement siest racine du polynômeQ. 3/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

Exemple 4 :(D"après ÉM Lyon 2007)

On considère la matrice carrée d"ordre3:A=12 0 @0 1 1 1 0 1

1 1 01

A . Déterminer les valeurs propres deA. Solution :Encore une fois, on utilise la méthode générale. •AI=12 0 @21 1 121
1 121 A

•On va faire une réduction de Gauss de cette matrice. On peut déjà multiplier toutes les lignes par2,

ce qui supprime le 12 . On permute alors les lignesL1etL2pour obtenir0 @121 21 1
1 121 A . Les opé- rationsL2 L2+2L1etL3 L3L1la transforment en0 @121

0 1421 + 2

0 1 + 2121

A . On échange les deux dernières lignes et on remarque que142= (12)(1+2):0 @121

0 1 + 212

0 (12)(1 + 2) 1 + 21

A puis on effectueL3 L3(12)L2pour obtenir la réduite de Gauss : 0 @121

0 1 + 212

0 0 (1 + 2)(12)(12)1

A =0 @121

0 1 + 2(1 + 2)

0 0 (1 + 2)[1 + (12)]1

A 0 @121

0 1 + 2(1 + 2)

0 0 (1 + 2)(22)1

A

•On regarde à présent pour quelles valeurs deles coefficients diagonaux de cette matrice s"annulent.

C"est le cas quand1 + 2= 0donc=12

, et quand(1 + 2)(22) = 0. Comme un produit

est nul si et seulement si l"un (au-moins) des facteurs est nul, cette quantité s"annule pour= 1et

=12 . Finalement, les valeurs propres deAsont12 et1.

4 Le cas fréquent : les valeurs propres sont données, il faut "juste"

vérifier

Si on vous demande de vérifier qu"undonné est valeur propre def(resp. deA), il suffit de résoudre

l"équation (le système)f(x) =x(resp.AX=X) et de vérifier qu"il y a au-moins une solution autre que le vecteur nul.

On a également besoin de la variante : est-ce qu"undonné est valeur propre def(resp. deA). Dans

ce cas, on procède de la même façon. Si l"équation a au-moins une solution autre que le vecteur nul,

alorsest bien valeur propre, et si seul le vecteur nul est solution,n"est pas valeur propre!

Exemple 5 :(D"après ÉM Lyon 2011)

SoitA=0

@1 1 1 1 1 1

1 1 31

A . Montrer que0;1et4sont les trois valeurs propres deA.

Solution :

4/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015 •Montrons que0est valeur propre deA. SoitX:=0 @x y z1 A . Alors

AX= 0X()AX= 0()(

x+y+z= 0 x+y+ 3z= 0()( x+y+z= 0 x=y3z y3z+y+z= 0 x=y3z()( z= 0 x=y:

Ainsi, l"ensemble des solutions deAX= 0est8

:0 @y y 01 A ;y2R9 =Vect0 @0 @1 1 01 A1 A . Il n"est pas réduit au vecteur nul, donc0est valeur propre deA. (On a même l"espace propre!) •Montrons que1est valeur propre deA. SoitX:=0 @x y z1 A . Alors

AX= 1X()AX=X()8

:x+y+z=x x+y+z=y x+y+ 3z=z()8 :y+z= 0 x=y

2y+ 2z= 0

z=y x=y:

Ainsi, l"ensemble des solutions deAX=Xest8

:0 @y y y1 A ;y2R9 =Vect0 @0 @1 1 11 A1 A . Il n"est pas réduit au vecteur nul, donc1est valeur propre deA. (On a même l"espace propre!) •Montrons que4est valeur propre deA. SoitX:=0 @x y z1 A . Alors

AX= 4X()AX= 4X()8

:x+y+z= 4x x+y+z= 4y x+y+ 3z= 4z()8 :y+z= 3x x+z= 3y x+y=z ()8 :2y+x= 3x

2x+y= 3y

z=x+y()( x=y z= 2x:

Ainsi, l"ensemble des solutions deAX= 4Xest8

:0 @x x 2x1 A ;x2R9 =Vect0 @0 @1 1 21
A1 A . Il n"est pas réduit au vecteur nul, donc2est valeur propre deA. (On a même l"espace propre!) •Finalement,0;1;4sont trois valeurs propres deA. CommeAa au-plus trois valeurs propres (car Aest d"ordre3), on en déduit que0,1et4sont les trois valeurs propres deA. 5/8 F. HECHNER, ÉCÉ 2, Collège Épiscopal Saint Étienne Année 2014-2015

Exemple 6 :(D"après Écricome 2012)

SoitA=16

0 @0 3 3 4 6 4

2 3 51

A . On noteP=0 @1 1 0 1 01

1 1 11

A

Montrer que la matricePpeut être considérée comme la matrice de passage de la base canonique de

R

3à une base de vecteurs propres deA.

Solution :Il faut déjà remarquer qu"il s"agit de montrer que chaque vecteur colonne dePest vecteur

propre deA, et, au choix, que les trois vecteurs colonne forment une famille libre (car comme ils

sont3et que l"on travaille dansR3, s"il forment une famille libre, ils forment une base), soit que la

matricePest inversible (ce qui prouve quePest une matrice de passage...).

Ici, je me contente de vérifier que chaque vecteur colonne est vecteur propre deA(ce qui revient à

déterminer les valeurs propres deA). •A:1 1 1=0 @1 1 11 A = 10 @1 1 11 A , donc0 @1 1 11 A est vecteur propre deApour la valeur propre1. •A:1 0 1=0 @12 0 12 1 A =12 0 @1 0 11 A , donc0 @1 0 11 A est vecteur propre deApour la valeur propre12. •A:01 1=0 @0 13 13 1 A =13 0 @0 1 11 A , donc0 @0 1 11 A est vecteur propre deApour la valeur propre13. •Finalement,1,12 et13 sont trois valeurs propres deA, donc, commeAest d"ordreAet a au maxi- mum trois valeurs propres, les valeurs propres deAsont1,12 et13.

Pour raconter quand même la fin de l"histoire,Aa trois valeurs propres distinctes, donc est diagonalisable, ce qui montre quePest bien la matrice

de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres (des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une

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