Géométrie projective.
En géométrie le procédé qui correspond à la perspective centrale est la projection conique ; vérifions que les projections coniques possèdent les propriétés
GÉOMÉTRIE PROJECTIVE par Nicolas Jacon
—. Dans un plan projectif toutes les droites jouent le même rôle et n'importe quelle droite. Page 7. GÉOMÉTRIE PROJECTIVE. 7 peut donc etre choisie comme
UN BREF APERÇU DE LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
programme de géométrie projective de l'agrégation s'est réduit au cours de la rédaction de ce livre à la dimension 1; ce choix permettra au can-.
Géométrie Projective : autour du programme de l agrégation
un plan projectif). Exercice 3 Un hyperplan projectif H et une droite projective D non contenue dans H ont un et un seul point d'intersection. En
Géométrie projective.
VII] et [FGN Exercice 2.17 p. 55]. 2.2 Birapport. Si D et D sont deux droites projectives d'un espace projectif P(E)
Exercices de géométrie projective Exercice 1 Le but de lexercice est
Exercices de géométrie projective. Exercice 1. Le but de l'exercice est de démontrer le théor`eme de Pappus affine : Soit d et d deux droites d'un plan.
Géométrie affine et projective
9 févr. 2010 3. Par définition la dimension d'un espace affine est celle de l'espace vectoriel sous-jacent. Exercice : Soit (p1p2
Géométrie projective
Exercice : Soient K un corps fini à q éléments P un K-espace projectif de dimension n. Montrer que card P = 1. 1. 1. ?. ?.
UNE INTRODUCTION À LA GÉOMÉTRIE PROJECTIVE
La démonstration pour le plan projectif induit par un corps est un bon exercice : s'inspirer de la démonstration du théorème de Pappus. Indication : se placer
Contributions à lhistoire de la géométrie projective au 19e siècle
12 nov. 2014 5La grande di érence de statut du cours de géométrie projective réside surtout dans le fait que Cremona présente son cours comme une ...
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première définition de la géométrie projective : il s'agit de la géométrie des projections coniques ou plus exactement de la géométrie qui étudie
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La géométrie projective prend pour objet l'ensemble des droites passant par un point donné En termes plus formels un espace projectif est l'ensemble des
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Introduction La géométrie projective peut être vue comme une complétion de la géométrie affine L'idée est ici de modéliser les notions de perspectives et
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Introduction à la géométrie projective Isabelle Bloch http://www tsi enst fr/~bloch Ecole Nationale Sup´erieure des T´el´ecommunications - CNRS UMR 5141
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14 sept 2012 · Une partie de ce cours est inspirée de notes de Pierre Pansu et Laurent Clozel 5 3 Le théor`eme fondamental de la géométrie projective
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Au cours des années 1960 la géométrie a été détrônée au profit de l'algèbre et de l'analyse et les géométries descriptive et projective furent les
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Dans ce cours nous nous contenterons des équations de degré 1 (hyperplans) ou de degré 2 (quadriques) Ceci correspond dans le plan aux droites et aux coniques
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Géométrie projective Préparation `a l'Agrégation ENS de Cachan Claire Renard Janvier 2013 Dans tout ce qui suit K est un corps commutatif (typiquement
:
Geometrie projective.
Preparation a l'Agregation, ENS de Cachan. ClaireRenard.Janvier 2013
Dans tout ce qui suit,Kest un corps commutatif (typiquement,K=RouCouFqun corps ni). On a deni la notion deK-espace vectoriel et deK-espace ane. Probleme :En geometrie ane, il faut souvent distinguer les cas. Par exemple, dans le planane reel, deux droites distinctes sont soit secantes en un unique point, soit paralleles. Existe-t-il
une maniere de1 Espace projectif.
1.1 Denition.
Denition 1.SoitEunK-espace vectoriel. L'espace projectif deduit deEet noteP(E)est l'ensemble des droites vectorielles deE. En d'autres termes, siRest la relation d'equivalence surEnf0gdenie parxRysi, et seulement s'il existe2Ktel quey=x, alorsP(E)'(En f0g)=R. Unespace projectifest un espace projectif deduit d'un certain espace vectorielE. LorsqueEest de dimension nie egale an+ 1, on dit queP(E)estdimension nie egale an. On note alorsdimP(E) =n= dimE1.SiE=Kn+1, on noteP(Kn+1) =Pn(K) =KPn.
FExercice :Calculer le cardinal dePn(Fq). (Reponse :(qn+11)=(q1) =qn+:::+q+1).Exemples :
Si dimE= 0, il n'y a aucune droite dansEetP(f0g) =;. Si dimE= 1,Econtient une unique droite etP(E) est un singleton. Si dimE= 2,P(E) est appeleedroite projective. Par exemple siK=R,P1(R)' S1=(xx)'S1.
Une facon de visualiserP1(K) est de considerer que c'est l'ensemble des droites d'equation y=axouq2K(donc en bijection avecK) auquel il faut rajouter la droite2Lorsque dimE= 3, on parle deplan projectif. En particulier, le plan projectif reelP2(R)'
S2=(xx)est une variete dierentielle analytique reelle de dimension 2, non orientable, qui peut
se plonger dansR4mais pas dansR3. C'est un ruban de Mobius recolle a un disque le long de leur bord. Nous y reviendrons. De facon generale, lorsqueK=R,Pn(R)'Sn=(xx): c'est le quotient de la sphere de R n+1par la relation d'antipodie. En particulier, on peut munir cet espace d'une structure de variete analytique reelle de dimensionncompacte. xx S1pp(x)
P1(R)1.2 Lien projectif-ane et cartes anes.
Il est relativement dicile au debut de se representer abstraitementPn(K), un espace projectif de dimensionn. Pour cela, il peut ^etre utile de trouver dansPn(K) un sous-ensemble mieux connu : c'est precisement ce que permet la notion de carte ane. SiEest unK-espace vectoriel de dimensionn+1>0 etFun sous-espace vectoriel deE, alors toute droite vectorielle deEpassant par un element deFest tout entiere contenue dansF. Ainsi,Fn f0gest stable par la relationR.
En notant:En f0g !P(E) la projection, l'espace projectifP(F) est ainsi isomorphe a (Fn f0g)P(E). Il y a donc une inclusion naturelleP(F)P(E). Denition 2.Un sous-ensembleVP(E)est appelesous-espace projectifd'il existe un sous- espace vectorielFdeEtel queV=P(F).En particulier, ladimensiondeVestdimV= dimF1.
La remarque precedente montre qu'il y a une bijection naturelle entre l'ensemble des sous- espaces vectoriels deEet l'ensemble des sous-espaces projectifs deP(E). Exemples :Si dimV= 0, on parle depoint.Vcorrespond a une droite deE. Si dimV= 1,Vest appeleedroiteet correspond a un plan deE. Si dimV= dimP(E)1, Vcorrespond a un hyperplan deEet est appelehyperplan (projectif). Exemple des points et des droites deP2(R) : ce sont les projetes respectivement des droites et des plans vectoriels deR3. Les hyperplans projectifs sont exactement les droites projectives de P2(R), comme pour un plan ane ou vectoriel.
SoitHun hyperplan deE. L'espace vectorielEpeut ^etre muni d'une structure deK-espace ane. Pour cette structure, on peut construire dansEun hyperplan aneHde directionHet ne contenant pas l'origine 0 (donc distinct deH). 2 SoitDune droite vectorielle deE. SiDn'est pas contenue dansH,E=HDetDintersecte Hen un unique point. Sinon,DH, etDne rencontre pasH. Ainsi,Hest en bijection avecP(E)nP(H).H0DHD
0D00SiH0est un autre hyperplan ane de directionHet ne contenant pas l'origine, le raisonnement
precedent fournit une seconde bijectionP(E)nP(H)! H0. La bijection induiteH ! H0est une homothetie (une application du Theoreme de Thales!), donc en particulier elle conserve la structure ane.HHH 00D ++D 0++D00Proposition et Denition 3.SiHest un hyperplan deE, le sous-ensembleP(E)nP(H)est
naturellement muni d'une structure d'espace aneHde directionH. L'applicationP(E)nP(H)!Hest appelee unecarte anedeP(E).
Ainsi,P(E) =H tP(H). Un espace projectif de dimensionncontient un espace ane de dimensionn:du projectif a l'ane. Reciproquement, il est egalement possible de passerde l'ane au projectif. SoitEun espace ane de dimensionnet de directionE. SoitbEson espace universel : via deux injectionietj,E(respectivementE) s'identie a un sous-espace vectoriel (respectivement sous-espace ane) de bEet il existe2(bE)n f0gtelle que E= keretE=1(f1g). AlorsEest en bijection avecP(bE)nP(E) etP(bE) =EtP(E). L'espace P(bE) est appele lacompletion projectivede l'espace aneE. Exemples :P1(K) =K[ f1g. On a rajouteP0(K) qui est le point a l'inni. P2(R) =R2[P1(R). La plan projectif est compose de tous les points du plan aneR2, auxquels on a rajoute toutes les directions des droites vectorielles deR2: ce sont les points a l'inni. Les droites deP2(R) sont soit une droite aneDdeR2a laquelle on rajoute la classe de!D (le point a l'inni qui correspond a la direction deD), soit la droite tout entiere contenue dans P1(R) : c'est la droite des points a l'inni.
En iterant le procede, on obtient par recurrence quePn(K) =KntKn1t:::tKt f1g.On retrouve par exemple quejPn(Fq)j=qn+:::+q+ 1.
31.3 Atlas de cartes et coordonnees homogenes.
SoitH0;:::;Hnune famille d'hyperplans deEavec\i=0;:::;nHi=f0g. Alors\i=0;:::;nP(Hi) =; etP(E) =[i=0;:::;n(P(E)nP(Hi)). Ainsi, il existe un recouvrement deP(E) par des cartes anes, et il en faut au minimumn+ 1. LorsqueK=RouC, une carte ane est une bijection entreP(E)nP(H) etH 'KnunR- ouC-espace vectoriel. On obtient donc unatlas de cartes. Pour denir une structure de variete dierentielle surPn(K), il reste a considerer les changements de carte. Proposition 4.SiK=RouC,Pn(K)est uneK-variete analytique compacte de dimensionn, et la structure dierentiable est donnee par les cartes anes. Demonstration.Soit comme precedemmentH0;:::;Hnune famille d'hyperplans deKn+1avec\i=0;:::;nHi= f0g. On choisit un systeme (x0;:::;xn) de coordonnees deKn+1telles que pour touti= 0;:::;n, H i=f(x0;:::;xn)2Kn+1; xi= 0g. Six= (x0;:::;xn) ety= (y0;:::;yn)2Kn+1n f0gsont tel que(x) =(y)2Pn(K) si, et seulement s'il existe2Ktel que pour touti= 0;:::;n,yi=xi. Denition 5.Six= (x0;:::;xn)2Kn+1n f0g, on note[x0:::::xn]lescoordonnees homo- genesde(x)2Pn(K). Par denition, pour tout2K,[x0:::::xn] = [x0:::::xn]. Pour touti, notonsHi=f(x0;:::;xn)2Kn+1; xi= 1g. C'est un hyperplan ane de direction H ine passant pas par l'origine. Six= [x0:::::xn]2P(E)nP(Hi),xi6= 0. Si on note'i:P(E)nP(Hi)! Hila carte ane associee, elle s'ecrit en coordonnees homogenes'i([x0:::::xn]) = (x0x i;:::;xi1x i;1;xi+1x i;:::;xnx i).Son inverse est'1
i(x0;:::;xi1;1;xi+1;::::xn) = [x0:::::xi1: 1 :xi+1:::::xn]. Sii < j, etx2P(E)n(P(Hi)[P(Hj)), en coordonnees homogenes,xi6= 0 etxj6= 0. Ainsi, i(P(E)n(P(Hi)[P(Hj))) =Hi\ fxj6= 0g=Ui;jest un ouvert deKn.L'application de changement de carte est donc'j'1
i:Ui;j Hi!Uj;i Hjqui a (x0;:::;xi1;1;xi+1;:::;xn) avecxj6= 0 associe (y0;:::;yj1;1;yj+1;:::;yn) tel que [x0::::: x i1: 1 :xi+1:::::xn] = [y0:::::yj1: 1 :yj+1:::::yn].Ainsi,'j'1
i(x0;:::;xi1;1;xi+1;:::;xn) = (x0x j;:::;xix j=1x j;:::;xj1x j;1;xj+1x j;:::;xnx j). Les changements de carte sont donc des dieomorphismes analytiques.La compacite est laissee en exercice.Exemples :Il faut deux cartes pour recouvrirP1(R) =f[x:y];(x;y)6= (0;0)g. La premiere
poury6= 0 qui peut ^etre parametree parx7![x: 1] et en bijection avecR. La deuxieme s'obtient en echangeant les r^oles dexety. Pour obtenir toutP1(R) en partant de la premiere carte, il faut rajouter le point [1 : 0] =1, le point a l'inni. On retrouveP1(R) =R[ f1g. On a le m^eme resultat pourP1(C) et bien s^ur de facon generaleP1(K) pour tout corpsK. De m^eme, la bijection (x;y)7![x:y: 1]2P2(R) permet d'identierP2(R)nP1(R) avec le plan ane reel. L'hyperplan projectif a l'inniP1(R)P2(R) est l'ensemble des coordonnees homogenes de la forme [x:y: 0] avec (x;y)6= (0;0) : c'est la droite des points a l'inni.1.4 Repere projectif.
Si (e0;:::;en) est une base deE, on obtient par la projection:En f0g !P(E) un (n+ 1)- uplet (p0;:::;pn) de points deP(E). Si les coordonnees dex2Edans la base (e0;:::;en) sont (x0;:::;xn), alors les coordonnees homogenes de(x) associees a cette base sont [x0:::::xn]. Dans la denition des coordonnees homogenes, on a donc besoin de la donnee d'une base deE. Mais en realite, toute base de la forme (e0;:::;en) avec2Kfournit le m^eme systeme de coordonnees homogenes. On voudrait trouver un moyen plus intrinseque de determiner le systeme de coordonnees homogenes sans revenir aux vecteurs deE, mais en prenant directement des points deP(E). Si l'on se donne (p0;:::;pn) un (n+ 1)-uplet de points deP(E) tels que les (n+ 1) droites1(pi)[f0gengendrentEtout entier, cela ne sut pas a denir les coordonnees homogenes d'un
point deP(E). En eet, si pour touti2[[0;n]] on choisit un releveei6= 0 depi, ces (n+ 1) 4 vecteurs forment une base (e0;:::;en) deEdont on pourrait se servir pour denir des coordonnees homogenes. Mais pour tout (n+ 1)-uplet (0;:::;n)2(K)n+1, (0e0;:::;nen) est encore une base deEet fournit des coordonnees homogenes dierentes des que deux scalairesisont distincts. Pour resoudre ce probleme, il faut introduire un (n+2)-ieme pointpn+1=(e0+:::+en). En eet, si pour touti2[[0;n]],ieiest un releve non nul depiet(e0+:::+en) est un releve non nul egalement depn+1, alors(e0+:::+en) =0e0+:::+nenet comme (e0;:::;en) est une base deE, pour touti,i=et le systeme de coordonnees homogenes ainsi deni par cet autre choix de vecteurs est le m^eme.Ceci conduit donc a la denition suivante.
Denition 6.Unrepere projectifdeP(E)est un systeme de(n+ 2)points(p0;:::;pn;pn+1) deP(E)tels qu'il existe une base(e0;:::;en)deEveriant(ei) =pipour touti2[[0;n]]et (e0+:::+en) =pn+1. Si (e00;:::;e0n) est une autre base deEveriant les conditions de la denition, alors le raison- nement precedent montre qu'il existe2Ktel que pour touti2[[0;n+ 1]],e0i=ei. Ainsi, etant donne un repere projectif (p0;:::;pn+1) deP(E), les coordonnees homogenes de tout pointpdeP(E) sont uniquement determinees. On les appelle lescoordonnees projectives depdans le repere(p0;:::;pn+1).1.5 Sous-espaces projectifs.
SoitEunK-espace vectoriel. Rappelons que l'applicationPde l'ensemble des sous-espaces vectoriels deEdans l'ensemble des sous-espaces projectifs deP(E), qui aFassocieP(F) vu comme un sous-espace deP(E), est une bijection. De plus, elle est compatible avec l'intersection : siFetGsont deux sous-espaces vectoriels deE,P(F\G) =P(F)\P(G). Ainsi, l'intersection d'une famille de sous-espaces projectifs deP(E) est encore un sous-espace projectif deP(E). SiSest une partie deP(E), il existe un plus petit sous-espace projectif contenantS: c'est l'intersection de tous les sous-espaces projectifs deP(E) contenantS. Il est appele lesous-espace projectif engendre parS, noteProj(S). Denition 7.Des pointsp0;:::;pkdeP(E)sont ditsprojectivement independantssi la di- mension du sous-espace projectifProj(p0;:::;pk)est egale ak. Par exemple, deux points distincts sont projectivement independants, et denissent une droite projective. Trois points non alignes sont aussi projectivement independants et denissent un plan projectif. Etc... Proposition 8.Un(n+ 2)-uplet(p0;:::;pn+1)de points deP(E)forme un repere projectif si, et seulement si pour touti2[[0;n+ 1]], les pointsp0;:::;pi1;pi+1;:::;pn+1sont projectivement independants.Demonstration.Le sens direct est immediat.
Pour la reciproque, soiente0;:::;en+1des vecteurs deEn f0grelevant les pointsp0;:::;pn+1. Comme les pointsp0;:::;pnsont projectivement independants, la famille (e0;:::;en) forme une base deE. Il existe donc (0;:::;n)2Kn+1tels queen+1=0e0+:::+nen. Pour touti2[[0;n]], la famille (e0;:::;ei1;ei+1;:::;en+1) est libre, donci6= 0. Ainsi, en posante0i=iei, ce sont des vecteurs non nuls tels que(e0i) =pi, eten+1=e00+:::+e0n. Lafamille (p0;:::;pn+1) est donc bien un repere projectif.Proposition 9.SoientVetWdeux sous-espaces projectifs deP(E). Alors
dim(Proj(V[W)) + dim(V\W) = dimV+ dimW: Demonstration.Il existe deux sous-espaces vectorielsFetGdeEtels queV=P(F) etW=P(G). Alors V\W=P(F\G) etProj(V[W) =P(F+G). Comme dim(F+G)+dim(F\G) = dimF+dimG, la formule reste vraie en projectif en retranchant 1 a toutes les dimensions.5 Corollaire 10.(1)SidimV+ dimWdimP(E), alorsV\W6=;. (2)Sin= dimP(E), alorsnhyperplans deP(E)ont toujours un point commun. (3)En particulier, deux droites distinctes d'un plan projectif ont toujours un et un unique point d'intersection. (4)SiHest un hyperplan deP(E)etp =2Hun point, toute droite deP(E)passant parp intersecteHen un unique point. Exemple du plan projectif en carte ane :Dans une carte ane du plan projectif, qui est un plan ane, deux droites anesDetD0s'intersectent ou sont paralleles. Dans le premier cas, leurs directions sont distinctes et elles ne s'intersectent pas a l'inni. Dans le second cas, ces deux droites ne s'intersectent pas dans le plan ane mais ont la m^eme direction vectorielle. Le point d'intersection commun est alors la droite vectorielle qui est la direction commune des deux droites anes, comme element de la droite projective a l'inni. On dit alors que les deux droitess'intersectent a l'inni. Manque un dernier cas, ou l'une des droites est la droite projective a l'inni.
L'autre droite coupe alors le plan ane en une droite aneDet intersecte la droite a l'inni en un unique point, correspondant encore a la direction vectorielle de la droiteD.2 Homographies.
2.1 Morphismes et homographies.
SiEetFsont desK-espaces vectoriels etf:E!Fune application lineaire,fenvoie les droites de (Enkerf)[ f0gsur des droites deF. Ainsi,finduite une applicationP(f) : P(E)nP(kerf)!P(F) telle que le diagramme suivant commute.Enkerf
f //Fn f0gP(E)nP(kerf)P(f)//P(F)
On remarque de plus que lorsque cela a un sens,Pcommute avec la composition :P(fg) =P(f)P(g).
Denition 11.SoientP(E)etP(F)deuxK-espaces projectifs. Unmorphismed'espaces pro- jectifs est une application':P(E)nV!P(F)ouV=P(G)est un sous-espace projectif de P(E)telle qu'il existe une applicationf2 L(E;F)aveckerf=Get'=P(f). Si de plusF=Eetf2GL(E), une telle application est appeleeisomorphismed'espaces projectifs ouhomographie. L'ensemble des homographies deP(E)forme un groupe, notePGL(E), ouPGLn(K)lorsque l'espace estPn1(K). (ATTENTION auDemonstration.Le sens indirect est immediat.
Pour le sens direct, sifetgdenissent le m^eme morphisme d'espaces projectifs, cela implique deja que kerg= kerf. SoitGun supplementaire de kerfdansE. CommeP(f) =P(g), l'image defet l'image degdansFsont egales etfjG,gjG:G!Imfsont des isomorphismes. CommeP(f) =P(g),P(f1
jGgjG) =idP(G). Ainsi,f1 jGgjG:G!Gest un automorphisme lineaire laissant globalement invariante toute droite deG. Il existe donc2Ktel quef1 jGgjG=idG. CommegjG=fjGet kerf= kergest un supplementaire deG,f=g, ce qui demontre le sens direct de la proposition.6 Corollaire 13.On a l'isomorphismePGL(E)'GL(E)=(KidE). Exemple :PGL2(K)'GL2(K)=(Kid).D'ou le decalage precedent dans les dimensions.Sif2GL2(K),f=a b
c d avecadbc6= 0. En coordonnees homogenes, on ecritP(f)([x:y]) = [ax+by:cx+dy]. Sic= 0,ad6= 0 et en divisant pard, on peut supposer qued= 1 etP(f)([x:y]) = [ax+by:y]. Ainsi, dans la carte ane donnee pary= 1,P(f)([x: 1]) = [ax+b: 1] et on retrouve une application ane. Manque l'image du point a l'inni :P(f)([1 : 0]) = [a: 0] = [1 : 0] cara6= 0. DoncP(f) xe le point a l'inni. C'est un prolongement aP1(K) d'une application ane de la droiteK. Sic6= 0, dans la carte ane,P(f)([x: 1]) = [ax+b:cx+d]. Lorsquex6=d=c,P(f)([x: 1]) = [ax+bcx+d: 1], l'expression0:::01
C CA, ouA2GLn(K),b2Knet6= 0. On peut en divisant partrouver un representant de cette forme avec de plus= 1. En coordonnees homogenes, cela donneh([X:1]) = [AX+b: 1]. Ainsi, dans la carte ane correspondant aP(E)nP(H) qui est un espace
ane de directionH,h=P(f) est un element du groupe ane, de directionA2GL(H). De plus, tout element du groupe ane provient par ce procede d'une unique homographie deP(E), laissant l'hyperplan a l'inni globalement invariant. Theoreme 14(fondamental de la geometrie projective.).Si(p0;:::;pn+1)et(p00;:::;p0n+1)sont deux reperes d'un espace projectifP(E), alors il existe une unique homographieh2PGL(E)telle que pour touti2[[0;n+ 1]],h(pi) =p0i.Demonstration.La demonstration est immediate avec le formalisme vectoriel : si (e0;:::;en) et (e00;:::;e0n) sont
des bases deEtelles que pour touti2[[0;n]],(ei) =piet(e0i) =p0i, avec(e0+:::+en) =pn+1 et(e00+:::+e0n) =p0n+1, alors il existe une applicationf2GL(E) telle que pour touti2[[0;n]], f(ei) =e0i. L'homographieP(f) convient. Sifetg2GL(E) sont telles queP(f) etP(g) conviennent, l'homographieP(f1g) xe le repere projectif (p0;:::;pn+1). Comme precedemment, il existe donc des scalaires non nuls0;:::;n;tels que pour touti2[[0;n]],f1g(ei) =ieietf1g(e0+:::+en) =(e0+:::+en)
et donc pour touti,i=. Ainsi,g=f, ce qui implique queP(f) =P(g). En particulier, la demonstration montre qu'une homographie xant un repere projectif n'estautre que l'identite.Corollaire 15.Le groupe des homographiesPGL(E)est transitif surP(E)et simplement transitif
sur l'ensemble des reperes projectifs deP(E). On remarque que sif2GL(E), il y a une bijection entre les droites propres defet les points xes deP(f)2PGL(E). Ainsi, on a la proposition suivante. Proposition 16.Lorsque le corpsKest algebriquement clos (par exempleK=C), toute homo- graphie dePGLn(K)admet au moins un point xe. Il en va de m^eme pour les homographies de PGL2n+1(R).
7 Denition 17.On notePSLn(K)l'image du groupe special lineaireSLn(K)par la projection GLquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43
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