[PDF] Géométrie affine et projective

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G eometrie affine et projective

Francois Labourie

9 fevrier 2010

Table des matieres

1 Geometrie ane

3

1.1 Points et vecteurs

3

1.1.1 Espace ane

3

1.1.2 Repere d'un espace ane

4

1.1.3 Barycentre

4

1.1.4 Coordonnees barycentriques

5

1.2 Sous-espaces anes

5

1.3 Applications anes

6

1.3.1 Homotheties et theoreme de Thales

6

1.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane

7

2 Perspective8

2.0.1 Vues

8

2.0.2 Calcul de la vue en perspective

9

2.0.3 Applications projectives

10

2.0.4 Vues en perspective d'objets

10

3 La droite projective

11

3.1 La droite projective et le birapport

11

3.1.1 Homographies

11

3.1.2 Congurations de trois droites

12

3.1.3 Quadruplets de droites et birapport

12

3.1.4 Classication des homographies reelles

13

4 Geometrie projective

14

4.1 Espace projectif

14

4.2 Lien entre geometrie ane et projective

14

4.2.1 Carte ane

14

4.2.2 Completion projective d'un espace ane

15

4.3 Sous-espaces projectifs

15

4.3.1 Intersection de sous espaces projectifs

15

4.3.2 Sous-espaces projectifs et cartes anes

15

4.4 Coordonnees homogenes

16

4.5 Reperes projectifs

16

4.6 Applications projectives

18

4.6.1 Le groupe des homographies

19

4.6.2 Sous-groupes du groupe projectif : les transformations anes

19

4.7 Dualite

19

4.7.1 Dualite dans le plan projectif

20 1

TABLE DES MATI

ERES2

5 Les grands theoremes

22

5.1 Le theoreme de Desargues

22

5.2 Le theoreme de Pappus

23

5.3 Le theoreme fondamental de la geometrie projective

24

5.3.1 Geometrie d'incidence

24

6 Coniques et quadriques

25

6.1 Coniques et quadriques

25

6.2 Plan tangent

26

6.3 Polarite

27

6.4 Groupes et coniques

27

6.5 Parametrisation unicursale des coniques

28

6.6 L'hexagramme mystique de Pascal

30

6.7 Le groupe projectif orthogonal

31

6.8 Division harmonique

33

7 Topologie de l'espace projectif

35

7.1 Rappels de topologie

35

7.2 Un premier point de vue sur la topologie de l'espace projectif

35

7.3 Cartes anes, droites projectives, application

36

7.4 Deux lemmes utiles de topologie generale

36

Chapitre 1

Geometrie ane

1.1 Points et vecteurs

1.1.1 Espace ane

Denition 1.1.1[Espace affine]Unespace ane modele sur un espace vectorielEdeni sur un corpsK{ oud'espace tangentE{ est un ensembleEdont les elements sont appelespointset de deux applications denies : 1. la somme d'un point et d'un vecteurqui est une application deE EdansE,(p;u)!p+u, 2. la dierence de deux pointsqui est une application deE EdansE(p;q)!qp telles que pour tous pointspetqdeEetuetvdeE, on ait les relations d'associativite suivantes p+ (qp) =q;(1.1) (p+u) +v=p+ (u+v);(1.2) (pq) +u= (p+u)q:(1.3) Remarques: On verie alors qu'on a les relations suivantes pp= 0(1.4) p+ 0 =p(1.5) qp=mpsi et sulement sip=m;(1.6) p+u=p+vsi et seulement siu=v:(1.7) En eet, (pp)+(qp) = (p+(qp))p=qp. Doncpp= 0. Ainsip+0 =p+(pp) =p. Si maintenantp+u=p+v, alors (p+u)p= (p+v)painso (pp)+u= (pp)+vetu=v.

Enn, si (qp) = (mp) alorsq=p+ (qp) =p+ (mp) =m.

On utilise aussi la notation~pq=qp. Avec ces notations, on a alors larelation de Chasles: Proposition 1.1.2Pour tous pointsp,qetmd'un espace aneE ~pq=~pm+~mq:(1.8)

Exemple:

1. Un espace v ectorielEest en particulier un espace ane modele sur lui-m^eme. 2. Ainsi, Rnadmet une structure d'espace ane canonique. les somme et diference corres- pondent alors aux calculs en coordonnees. 3

CHAPITRE 1. G

EOMETRIE AFFINE4

3. P ard enitionla dimension d'un espace aneest celle de l'espace vectoriel sous-jacent. Exercice: Soit (p1;p2;:::;pn+1) des points d'un espace ane modele surEtels quefpip1gi6=1 forme une base deE. Montrez que pour touti0,fpipi0gi6=i0est une base deE.

1.1.2 Repere d'un espace ane

Denition 1.1.3Unrepered'un espace ane de dimensionnmodele surEest la donnee d'un upletR= (M;e1;:::;en)ouMest un point deE{appeleorigine{ et(e1;:::;en)une base deE.

Dans ce cas, l'applicationRdeKndansEdenie par

(1;n)!M+i=nX i=1 iei; est un bijection. SiR(1;n) =palors(1;n)sont lescoordonneesdepdans le repereR. Exemple: DansRnrapporte au repere (o; ~e1;:::; ~en), un pointpest represente par la colonne de ses coordonnees 0 B @x 1... x n1 C A qui sont les composantes du vecteur~op. Sipetqsont des points,~vun vecteur de composantesE, aun reel, on noteqp=~pq,r=p+~vle point tel que~pr=~v.

1.1.3 Barycentre

Proposition 1.1.4Soitp1;:::pndes points d'un espace aneEdeni surKet1;:::ndes elements deKtels quePi=n i=1i= 1. Soitm0un point deEetqtel que q=m0+i=nX i=1 i~m0pi:

Alors, pour toutmdeE

q=m+i=nX i=1 i~mpi:

Denition 1.1.5Des scalaires1;:::ktels quePi=k

i=1i= 1s'appelle despoids. Denition 1.1.6Avec les notations de la proposition, l'unique pointqdeEtel que pour toutm deE, on a ~mq=i=nX i=1 i~mpi; est appelebarycentredes pointspiaectes des poidsi. On le note q=i=nX i=1 ipi:

Exemples et remarques:

1. Les co ordonneesd ubarycen treson tles mo yennesdes c oordonneesp ondereesdes p oids.

CHAPITRE 1. G

EOMETRIE AFFINE5

2. Si la caract eristiquede Kest dierente de 2, lemilieudepetqest le barycentre aecte des coecients 12 . Il est aussi notep+q2 3.

P ourtous p ointsp,q,metndeE, on a

~pq=~mn si et seulement si p+n2 =q+m2 Autrement dit : les diagonales d'un parralelogramme se coupent en leur mileu.

1.1.4 Coordonnees barycentriques

Proposition 1.1.7Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. Alors pour toutxdeE, il existe des scalaires(1;:::;n)tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi: Denition 1.1.8Soit(p1;p2;:::;pn)des points d'un espace aneEtels quefpip1gi6=1forme une base de l'espace tangent. L'application qui a un point deEassocie les scalaires(1;:::;n) tels queP ii= 1et x=i=nX i=1 ipi; s'appellecoordonnees barycentriques. En conclusion, la dierence de deux points est un vecteur, le barycentre de deux points est un point, on peut ajouter un vecteur et un point. Plus generalement une combinaisonP imipiest un point (barycentre des pointspiaectes des massesmi) siP imi= 1. Ces notations "additives" sont compatibles avec les calculs en coordonnees.

1.2 Sous-espaces anes

Denition 1.2.1SoitEun espace ane d'espace tangentE, unsous-espace anedeEest un sous-ensembleFtel que il existe unptel que F p:=fqpjp2 Fg; est un sous-espace vectoriel deE. LadimensiondeFest celle deF.

Remarques:

Le sous- espaceane Fde la denition est alors un espace ane d'espace tangentF. Deux sous-es pacesanes son tparralleless'ils ont le m^eme espace tangent. Si Fest un sous-espace ane alors pour tout pointpdeFl'ensemble F p:=fqpjp2 Fg; est l'espace tangent aF. L'ensem bleFest un sous-espace ane si et seulement si tout barycentre de points deFest un point deF.

CHAPITRE 1. G

EOMETRIE AFFINE6

1.3 Applications anes

Denition 1.3.1SoitEetBdes espaces anes modeles surEetF. Une applicationL:E ! F estanes'il existe une application lineaireL:E!Ftelle que pour tous pointsp,qdeE,

L(q) =L(p) +L(~pq):

L'endomorphismeLs'appelle lapartie lineairedeL, ou l'application lineaire tangenteaL. Proposition 1.3.2La composee d'applications anes est ane. Proposition 1.3.3SiLest ane, alors pour tous poids(1;:::;n)on a L(X i ipi) =X i if(pi): Reciproquement si pour toutdeK, l'applicationfdeEdasFverient

L(p+ (1)q) =L(p) + (1)L(q);

alorsfest ane.

Exemples et remarques:

1.

Applications lin eaires.

2. T ranslations(ce son tles applications anes don tla partie lin eaireest l'iden tite). 3. Homoth eties(on remarquera que la construction des homoth etiesutilise la comm utativitedu corpsK.). 4. Sym etriesorthogonales par rapp ort ades droit esanes du plan (exercice). 5.

Rotations autour de p ointsdu plan (exercice).

1.3.1 Homotheties et theoreme de Thales

SoitDune droite ane et trois pointsO,AetBdeD, lerapportOAOB est le scalairetel que

OA=(OB):

Theoreme 1[Thales (Sixieme siecle avant notreere)]SoitDetD0deux droites distinctes d'un espace ane concourrantes enO. SoitAetB, respectivementA0etB0, deux points deD, respectivement deD0. AlorsOAOB =OA0OB

0si et seulement si les droitesAA0etBB0sont parralleles.

D emonstration: Il sut d'utiliser l'homothetie de centreOet de rapportOAOB Exercice: Montrez la version degeneree de Thales suivante. Soit SoitDetD0deux droites distinctes parralleles. SoitA,B C, respectivementA0,B0etC0, trois points deD, respectivement deD0. On suppose queAB0est parrallele aA0Bet queB0Cest parrallele aBC0. Montrez que AC

0est parrallele aA0C.

Apres choix de reperes, toute application aneE ! Fpossede une unique ecriture matricielle, compatible avec la composition : Proposition 1.3.4Soit(o; ~e1;:::; ~en)un repere deEet(p;f1;:::;fn)un repere deF. Lamatrice deL:E ! Fdans ces reperes est M L=M

L~pf(o)

0 1 ouMLdesigne la matrice deLdans la base(~e1;:::; ~en).

CHAPITRE 1. G

EOMETRIE AFFINE7

Remarques:

1. Une application ane est bijectiv esi et seulemen tsi sa partie lin eairel'est, son in verseest alors ane 2.

Le group eane est un pro duitsemi- direct.

3. Le lieu des p ointsxes d'une application ane est un sous-espace ane, cas o uil est non vide, dimension, lien avec la multiplicite de 1 comme valeur propre de la partie lineaire. Proposition 1.3.5Soit(e;e1;:::;en)et(o0;e01;:::;e0n)deux reperes anes deRn. Soitfune transformation ane de matricesMetM0dans ces reperes. NotonsEla colonne des coordonnees du pointo0dans le repere(o;e1;:::;en). Posons P a=P E 0 1 ouPest la matrice de passage de la base(e1;:::;en)dans la base(e01;:::;e0n), i.e. les colonnes de Psont les composantes des vecteurse0jdans la base(e1;:::;en). Alors M

0=P1aMPa:

1.4 Complement : le complete vectoriel d'un espace ane

Tout espace ane est l'hyperplan ane d'un espace vectoriel unique. Proposition 1.4.1SoitEun espace ane modele surE, il existe un espace vectoriel^Eet une injectioniane deEdans^Etels que pour toute applicatiopn aneLdeEdans un espace vectoriel V, il existe une application lineaire unique^Lde^EdansV, telle que

L i=L:

D emonstration: Soitpun point d'un espace aneEmodele surE. On pose^E=EK. L'espace aneEse plonge de maniere ane dans^Eparx!(xp;1). On prend ensuite^L(u;) =

L(u) +:L(p).

Exemples et remarques:

1.

L'espace

^Eest dit solution d'unprobleme universel. On montre en utilisant la propsition que (^E;i) est unique a isomorphisme lineaire pres. 2. L'espace v ectorieltangen tEs'injecte dans^Een prenant l'application lineaire tangent ai. 3. dim( ^E) = dim(E) + 1. Denition 1.4.2L'espace vectoriel^Econstruit dans la proposition precedente est lecomplete vectorieldeE. Corollaire 1.4.3Le complete vectoriel d'un espace ane est unique a isomorphisme pres. De plus, toute application ane deEdansFs'etend en une application lineaire de^Edans^Fappele extension lineairedeL. La composee des extensions lineaires est l'extension lineaire de la composee. Proposition 1.4.4Tout repere(p;e1;:::;en)deEdonne une base de son complete vectoriel. De

plus, la matrice de l'extension lineaire d'une application ane est la matrice de l'application ane.Fin du coursn01

Chapitre 2

Perspective

2.0.1 Vues

Unevued'une scene 3D est determinee par les donnees suivantes. La p ositionde la cam era: un p ointcde coordonnees0 @x 0 y 0 z 01 A Une direction de vis ee: un v ecteurun itaire~vde composantes0 @a b c1 A Un ecran, i.e. un plan perpendiculaire a la direction de visee : il est determine par sa distance aC, un reel positifd.

Un rep ereorthonorm e( o0;~e01;~e02) du plan .

Unevuede la scene est une applicationW:R3!R2, qui aux coordonnees d'un point dans lerepere du monde(O; ~e1; ~e2; ~e3) associe les coordonnees de sa projection sur l'ecran , dans le repere de l'image(o0;~e01;~e02). Denition 2.0.5Lavue en perspectivedepuiscsur l'ecranconsiste a projeter un pointpsur p

0, point d'intersection de la droitecpavec.C

x z y O v O' x' y' !Remarques: La projection n'est pas denie sipest dans le plan passant parCet parallele a . C'est normal : on n'arrive pas a voir dans les directions situees a 90

0de sa direction de vision.

8

CHAPITRE 2. PERSPECTIVE9

Denition 2.0.6Prise de vue a distance innie.SoitDune droite, appeleeaxe de visee, et un plan orthogonal aD. La prise de vue a distance innie dans la directionDconsiste a projeter orthogonalement sur. C'est ce qu'on obtient a la limite, lorsque, eto0etant xes,Ctend vers l'inni le long de la droiteD= (o0;~u).

2.0.2 Calcul de la vue en perspective

Voici un moyen systematique de construire le repere (o0;e01;e02). Il sut de choisir une fois pour toute un vecteur unitaire~non colineaire a~v. On prend pouro0la projection orthogonale deC sur , soito0=C+d~v. On prend e01=~v^~j~v^~jet~e02=~v^~e01:

Proposition 2.0.7On choisit=0

@0 1 01 A :Les coordonnees dep0sont donnees, en fonction des coordonnees 0 @x y z1 A dep, par les formules x

0=cd(xx0) +ad(zz0)pa

2+c2(a(xx0) +b(yy0) +c(zz0));

y

0=abd(xx0)d(a2+c2)(yy0) +bcd(zz0)pa

2+c2(a(xx0) +b(yy0) +c(zz0)):

On constate que la vue en perspective s'exprime par des fractions rationnelles. Completons le repere de l'image en un repere orthonorme deR3en posant~e03=~v. La troisieme coordonnee dep0 est evidemmentz0= 0. On ramene ces expressions rationnelles a des expressions lineaires en adoptant la convention suivante : Un pointpdeR3peut ^etre represente, non seulement par0 B B@x y z 11 C

CA, mais par n'importe quel

vecteur deR4qui lui est proportionnel. En particulier, un pointp0du plan peut ^etre represente par n'importe quel vecteur deR3proportionnel a0 B B@x 0 y 0 0 11 C CA. Avec cette convention, on peut choisir pour representant de la vue en perspectivep0d'un point ple vecteur0 B

B@cd(xx0) +ad(zz0)

abd(xx0)d(a2+c2)(yy0) +bcd(zz0) 0pa

2+c2(a(xx0) +b(yy0) +c(zz0))1

C CA:

Ce vecteur est l'image du vecteur

0 B B@x y z 11 C

CApar l'endomorphisme deR4de matrice

0 B

B@cd0ad cdx0adz0

abdd(a2+c2)bcdabdx0) +d(a2+c2)y0bcdz0

0 0 0 0

apa

2+c2bpa

2+c2cpa

2+c2pa

2+c2(ax0by0cz0)1

C CA

CHAPITRE 2. PERSPECTIVE10

C'est quand m^eme plus sympathique (et commode a implementer informatiquement) de passer par une matrice pour representer la vue en perspective.

Denition 2.0.8Soitp=0

@x y z1 A un point deR3. On appellecoordonnees homogenesdeptout quadruplet(u;v;w;t)proportionnel a(x;y;z;1). Onnotep= [x;y;z;t].

2.0.3 Applications projectives

Denition 2.0.9Application projectiveRn!Rm= donnee \en coordonnees homogenes" par une matrice(m+ 1)(n+ 1)non nulle.

Exemples et remarques:

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