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2ndeISIStatistiques probabilités chapitre 32009-2010

PROBABILITÉS

Table des matières

I Vocabulaire des événements1

II Intersection et réunion d"événements2

IIICalcul de probabilités3

IVReprésentation des événements4

I Vocabulaire des événements

Définition 1

Chaque résultat possible et prévisible d"une expérience aléatoire est appelé éventualité

Exemple 1

ÔLancer un dé à six faces : " obtenir un2» est une éventualité de cette expérience aléatoire,

Ôtirage des six numéros gagnants du Loto : " obtenir la combinaison "2-5-17-23-36-41» est une

éventualité de cette expérience aléatoire.

Définition 2

L"ensemble formé par les éventualités est appelé univers , il est très souvent notéΩ.

Exemple 2

ÔLancer d"une pièce de monnaie :Ω ={pile; face}, Ôlancer un dé à six faces :Ω ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.

Définition 3

de l"expérience aléatoire est une partie quelconque de l"univers,

Exemple 3

ÔA=" obtenir un5» est un événement élémentaire que l"on peut noterA={5}, ÔB=" obtenir un numéro pair » est un événement que l"on peut noterB={2 ; 4 ; 6}. http://mathematiques.daval.free.fr-1-

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Définition 4

, noté∅,

Exemple 4

Lancer d"un dé à six faces :

ÔTirage des six numéros gagnants du loto : " obtenir la combinaison3-25-38-59-67-91» est un événement impossible (les numéros vont de1à49),

Ôlancer d"un dé à six faces : " obtenir un nombre positif » est unévénement certain.

Définition 5

Pour tout événementAil existe un événement noté Aet appelé événement contrairedeA, qui est composé des éléments deΩqui ne sont pas dans A.

Exemple 5

ÔLancer d"une pièce de monnaie : siA={pile}alors son événement contraire est

A={face},

ÔLancer d"un dé à six faces : siAest l"événement " obtenir un nombre inférieur ou égal à4», alors son événement

contraire

Aest l"événement " obtenir5ou6».

II Intersection et réunion d"événements

Définition 6

SoitAetBdeux événements deΩ.

: l"événement constitué des éventualités appartenant àAet àB est notéA∩B(se lit "AinterB» ou "AetB»), : l"événement constitué des éventualités appartenant àAou àBest notéA?B(se litAet deBou "AunionB» ou "AouB»).

Remarque 1

SiA∩B=∅, on dit que les événements sont disjoints ou incompatibles.

Exemple 6

On considère un jeu de52cartes. On noteAl"événement " obtenir une carte paire » etBl"événement " obtenir une carte de

valeur inférieure strictement à six ».

ÔA∩B=" obtenir une carte paire et inférieures strictement à six » :A∩B={2 ; 4},

ÔA?B=" obtenir une carte paire ou inférieure strictement à six » :A?B={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 10}.

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III Calcul de probabilités

Définition 7

La probabilité

d"un événement est la somme des probabilités des événementsélémentaires qui le constitue.

On dit qu"il y a équiprobabilité

lorsque tous les événements élémentaires ont la même probabilité, dans ce cas, on a :P(A) =nombre d"éléments deA nombre d"éléments deΩ=Card(A)Card(Ω).

Remarque 2

Dans un exercice, pour signifier qu"on est dans une situationd"équiprobabilité on a généralement dans l"énoncé

un expression du type : •on lance un dé non pipé •dans une urne, il y a des boules indiscernables au toucher, •on rencontre au hasard une personne parmi ...

Exemple 7

On lance un dé équilibré à six faces.

On considère les événementsA: " obtenir un chiffre pair » et l"événementB: " obtenir un diviseur de six ».

ÔLe dé est équilibré donc on est dans une situation d"équiprobabilité,

ÔA={2 ; 4 ; 6}donc,P(A) =3

6=12

ÔB={1 ; 2 ; 3 ; 6}donc,P(B) =4

6=23.

Propriété 1

SoitAetBdeux événements, on a les propriétés suivantes :

©P(∅) = 0

©P(Ω) = 1

©0?P(A)?1

©P(

A) = 1-P(A)

©P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B)

Exemple 8

On considère l"ensembleEdes entiers de1à20. On choisit l"un de ces nombres au hasard.

Aest l"événement : " le nombre est multiple de3» etBest l"événement : " le nombre est multiple de2».

ÔP(A) =6

20=310= 0,3.

ÔP(

A) = 1-P(A) = 1-310=710= 0,7.

ÔP(B) =10

20=12= 0,5.

ÔP(A∩B) =3

20= 0,15.

ÔP(A?B) =p(A) +p(B)-p(A∩B) =6

20+1020-320=1320= 0,65.

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IV Représentation des événements

Diagrammes ou patates

Représentation graphique de l"intersection et de la réunion d"événements :

A∩BA?B

Tableaux

On jette deux dés à quatre faces (tétraèdre régulier) et on calcule la produit obtenu :

1234
11234
22468

336912

4481216

Arbres

On lance une pièce de monnaie trois fois de suite, on peut schématiser cette expérience par un arbre :

pile pile pile face face pile face face pile pile face face pile face http://mathematiques.daval.free.fr-4-quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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