[PDF] [PDF] Extremums - Exo7 - Cours de mathématiques

View - Download [PDF] Extremums - Exo7 - Cours de mathématiques

Previous PDF

Next PDF

Extremums

1. Motivation - Cas d"une variableComment trouver le maximum (ou le minimum) d"une fonctionf:Rn→R? Ce chapitre est consacré à

l"étude de l"existence des extremums. Nous apprendrons à repérer les extremums locaux (qui ne sont pas

nécessairementdes minimums ou maximums globaux). On terminera ce chapitre parl"étude des "extremums

liés », où la recherche est limitée par une contrainte. Pour mieux comprendre ce qui se passe en plusieurs

variables, on commence par revoir rapidement le cas d"une variable.

1.1. Minimum, maximum, point critique

Soitf:R→Rune fonction d"une variable.

fadmet unmaximum localenx0∈Rs"il existe un intervalle ouvertIcontenantx0tel que : pour toutx∈I f(x)⩽f(x0). fadmet unminimum localenx0∈Rs"il existe un intervalle ouvertIcontenantx0tel que : pour toutx∈I f(x)⩾f(x0). f admet unextremum localenx0∈Rsifadmet un maximum local ou bien un minimum local en ce point. f admet unpoint critiqueenx0∈Rsif′(x0) =0. Géométriquement, c"est un point de tangente horizontale. Proposition : sifdérivable admet un minimum local ou un maximum local enx0, alorsf′(x0) =0. Autrement dit, six0est un extremum local alors c"est un point critique.

La réciproque n"est pas toujours vraie. Par exemple, pourf:x7→x3, le pointx0=0est un point critique,

mais ce n"est ni un maximum local ni un minimum local (c"est unpoint d"inflexion).xymaximums locaux minimum localmaximum global xy

Sur la figure de gauche : des exemples de minimum local, maximum local, maximum global; il n"y a pas de

minimum global surR. Sur la figure de droite : un extremum local est nécessairement un point critique.

EXTREMUMS1. MOTIVATION- CAS D"UNE VARIABLE2

1.2. Exemples fondamentaux

f:x7→x2, minimum local en 0, on af′(0) =0 etf′′(0)>0. f:x7→ -x2, maximum local en 0, on af′(0) =0 etf′′(0)<0.

f:x7→x3, ni minimum ni maximum local en 0, on af′(0) =0 etf′′(0) =0.f(x) =x2f(x) =-x2f(x) =x31.3. Formule de Taylor à l"ordre 2

Soitf:R→Rune fonction d"une variable de classeC2.Théorème 1(Formule de Taylor à l"ordre 2).

Pour tout x

0∈R, on af(x0+h) =f(x0)+hf′(x0)+h22

f′′(x0)+h2ε(h)oùε(h)→0lorsque h→0.Le développement limité à l"ordre1,f(x0+h)≃f(x0)+hf′(x0), correspond à l"approximation du graphe

defpar sa tangente enx0(figure de gauche ci-dessous). Le développement limité à l"ordre2,f(x0+h)≃

f(x0)+hf′(x0)+h22 f′′(x0), correspond à une approximation par une parabole (figure de droite).xy 1

01y=exy=1+xxy

1

01y=exy=1+x+x22

Choisissons pourx0une valeur telle quef′(x0) =0etf′′(x0)̸=0. Alors, pourhassez petit, le terme

h22

f′′(x0)+h2ε(h)est du même signe quef′′(x0). Si par exemplef′′(x0)>0, on en déduit quef(x0+h)⩾

f (x0)(pourhproche de0) et donc quefadmet un minimum local enx0. Ci-dessous, on va en déduire une caractérisation des minimums et maximums.

EXTREMUMS2. DÉRIVÉES PARTIELLES D"ORDRE23

1.4. Caractérisation des minimums et maximums

La recherche pratique des extremums locaux pour une fonction d"une variable se passe donc ainsi : 1. On recherche les points critiques donnés par l"équation f′(x) =0. 2. P ourchaque point critique x0, on calcule la dérivée seconde : sif′′(x0)>0, alorsfadmet un minimum local enx0, sif′′(x0)<0, alorsfadmet un maximum local enx0,

sif′′(x0) =0, alors il faut approfondir l"étude.Lorsquef:[a,b]→Rest définie sur un intervalle compact, il faudra en plus étudier le comportement def

enaet enb(c"est-à-dire au bord du domaine de définition). Comme l"ensemble de départ est compact, on

a la garantie de l"existence d"extremums globaux.

2. Dérivées partielles d"ordre 2

2.1. Dérivées partielles d"ordre 2

Soitf:R2→Rune application différentiable. Les deux dérivées partielles∂f∂xet∂f∂ysont aussi des fonctions

deR2dansR; supposons que ce soient aussi des applications différentiables. Alors on peut calculer les

dérivées partielles de∂f∂x: ∂f∂x‹ ∂f∂x‹ On peut aussi calculer les dérivées partielles de ∂f∂y: ∂f∂y‹ ∂f∂y‹

On note ces dérivées partielles :

2f∂x2∂

2f∂y∂x∂

2f∂x∂y∂

2f∂y2

Ce sont des fonctions deR2dansR.

Plus généralement, pourf:Rn→R, on note∂f∂xi:Rn→Rles dérivées partielles d"ordre1(1⩽i⩽n) et

∂2f∂xj∂xiles dérivées partielles d"ordre 2 (1⩽i,j⩽n).

2.2. Théorème de Schwarz

Pourf:R2→R, il y a quatre dérivées partielles secondes à calculer, mais en général deux d"entre elles sont

égales.

Exemple 1.

Soitf:U→Rdéfinie parf(x,y) =x2cos(y)+ln(x-y2)surU=(x,y)∈R2|x-y2>0. Alors : ∂f∂x(x,y) =2xcos(y)+1x-y2∂f∂y(x,y) =-x2sin(y)-2yx-y2

On peut maintenant dériver une nouvelle fois pour obtenir les dérivées partielles d"ordre 2 :

∂f∂x(x,y)‹

2xcos(y)+1x-y2‹

=2cos(y)-1(x-y2)2 ∂f∂x(x,y)‹

2xcos(y)+1x-y2‹

=-2xsin(y)+2y(x-y2)2

EXTREMUMS2. DÉRIVÉES PARTIELLES D"ORDRE24

∂f∂y(x,y)‹ -x2sin(y)-2yx-y2‹ =-2xsin(y)+2y(x-y2)2∂ ∂f∂y(x,y)‹ -x2sin(y)-2yx-y2‹

=-x2cos(y)-2x+2y2(x-y2)2On note sur l"exemple précédent que∂2f∂y∂x(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y). C"est un phénomène général que l"on va

détailler.Définition 1.

Une fonctionf:Rn→Rest declasseC2sifest de classeC1(c"est-à-dire ses dérivées partielles

existent et sont continues) et si ses dérivées partielles sont aussi de classeC1.

Le théorème de Schwarz dit que le résultat ne dépend pas de l"ordre dans lequel on effectue les dérivations.Théorème 2(Théorème de Schwarz).

Soit f:U⊂Rn→Rune fonction de classeC2. Pour tous i,j∈ {1,...,n}, on a :∂ ∂xi ∂f∂xj ∂f∂xi‹Ainsi, pourf:R2→Rde classeC2, on a :∂

2f∂y∂x(x,y) =∂2f∂x∂y(x,y)Pourf:R3→Rde classeC2, il y a 9 dérivées partielles d"ordre 2, mais seulement 6 calculs à faire :

2f∂x2∂

2f∂y2∂

2f∂z2∂

2f∂z∂y=∂2f∂y∂z

Le contre-exemple suivant, qui peut être omis lors d"une première lecture, prouve qu"il est nécessaire d"avoir

une fonction de classeC2. Si cette hypothèse manque alors les dérivées partielles croisées peuvent ne pas

être égales.

Exemple 2.

Soitf:R2→Rla fonction définie par

f(x,y) =x y3x

2+y2si(x,y)̸= (0,0)etf(0,0) =0.

On vérifie quefest de classeC1surR2et que

∂f∂x(x,y) = y

5-x2y3(x2+y2)2si(x,y)̸= (0,0)

0 si(x,y) = (0,0)

et ∂f∂y(x,y) = 3x3y2+x y4(x2+y2)2si(x,y)̸= (0,0)

0 si(x,y) = (0,0).

Le taux d"accroissement

ce qui montre que ∂2f∂y∂x(0,0) =1. De même, le taux d"accroissement

EXTREMUMS2. DÉRIVÉES PARTIELLES D"ORDRE25ce qui montre que∂2f∂x∂y(0,0) =0. Les dérivées partielles croisées ne sont pas égales en(0,0). On en

déduit que l"une (au moins) des dérivées partielles secondes∂2f∂x∂you∂2f∂y∂xn"est pas continue en(0,0).

Autrement dit, la fonctionfn"est pas de classeC2en(0,0)et le théorème de Schwarz ne s"applique pas.

2.3. Hessienne

La matrice jacobienne est la matrice des dérivées partielles. La matrice hessienne est la matrice des dérivées

partielles d"ordre 2. Soitf:Rn→Rune fonction denvariables. Lamatrice hessiennedefenx= (x1,...,xn)est la matrice n×n:H f(x) =∂2f∂xi∂xj(x)

1⩽i,j⩽nPour une fonction de classeC2, d"après le théorème de Schwarz, c"est unematrice symétrique.

Dans le cas d"une fonction de deux variables :H

f(x,y) =

2f∂y∂x(x,y)∂2f∂y2(x,y)!Pour trois variables, la matrice hessienne (à évaluer en(x,y,z)) vaut :

H f=

2f∂x2∂2f∂x∂y∂

2f∂x∂z

∂2f∂y∂x∂

2f∂y2∂2f∂y∂z

2f∂z∂x∂

2f∂z∂y∂

Exemple 3.

Calculons la matrice hessienne def(x,y) =x y2+x4-y4. On calcule d"abord∂f∂x(x,y) =4x3+y2∂f∂y(x,y) =2x y-4y3.

On a donc

H f(x,y) = =12x22y

2y2x-12y2

.Mini-exercices. 1.

Soitf(x,y) =x3+5x2y-y2. Calculer les dérivées partielles d"ordre1def. Calculer les dérivées

partielles d"ordre2def. Vérifier la validité du théorème de Schwarz. Calculer la matrice hessienne de

f. Calculer les dérivées partielles d"ordre 3 def. 2.

Soitf(x,y) =xex2-y2. Calculer les dérivées partielles d"ordre1et d"ordre2def. Calculer la matrice

hessienne def. 3.

Soitf(x,y,z) =x y2ln(z). Déterminer l"ensemble de définition def. Calculer les dérivées partielles

d"ordre 1 et d"ordre 2 ainsi que la matrice hessienne def.

EXTREMUMS3. FORMULE DETAYLOR À L"ORDRE26

3. Formule de Taylor à l"ordre 2

3.1. Formule de Taylor à l"ordre 1Nous avons déjà vu qu"une façon de dire quefest différentiable est de dire quefadmet undéveloppement

limité à l"ordre1. Pourf:R2→R, au point(x0,y0), sifest différentiable alors f(x0+h,y0+k) =f(x0,y0)+h∂f∂x(x0,y0)+k∂f∂y(x0,y0)+o(∥(h,k)∥).

Connaissant les valeurs def,∂f∂xet∂f∂yuniquement en(x0,y0), on en déduit une approximation defen

tout(x,y)proche de(x0,y0).

Le but va être d"améliorer cette approximation par un développement limité à l"ordre 2.

On rappelle la notation " petit o ».

Notation.Soitg:R2→Rune fonction définie au voisinage de(0,0). On dit quegestnégligeablepar

rapport à∥(x,y)∥nau voisinage de(0,0)et on noteg=o(∥(x,y)∥n)si lim

Interprétation géométrique.

Le plan tangent (en bleu) au graphe defau point(x0,y0)est le plan qui approche le mieux le graphe def

(en rouge) autour de ce point. Pour calculerf(x,y)lorsque(x,y) = (x0+h,y0+k)est proche de(x0,y0),

on remplace la valeur exactezexact=f(x,y)par son approximationzapprox=f(x0,y0)+h∂f∂x(x0,y0)+

k∂f∂y(x0,y0). Le point(x,y,zexact)est un point du graphe defalors que(x,y,zapprox)est un point du plan

tangent au graphe defau point(x0,y0).xyz (x0,y0)(x,y) = (x0+h,y0+k)z approxz exact3.2. Formule de Taylor à l"ordre 2 (en 2 variables)

Théorème 3.

Soit f:U→Rune fonction de classeC2sur un ouvert U⊂R2et soit(x0,y0)∈U. Alors :

EXTREMUMS3. FORMULE DETAYLOR À L"ORDRE27f(x0+h,y0+k) =f(x0,y0) +h∂f∂x(x0,y0)+k∂f∂y(x0,y0)

12 h +o∥(h,k)∥2• On dit aussi quefadmet un développement limité d"ordre 2 au point(x0,y0).

•Attention à ne pas oublier le facteur12devant les termes de degré2, ni le facteur2devant le termehk.

•On rappelle que si on choisit la norme euclidienne alors∥(h,k)∥2=h2+k2et queo∥(h,k)∥2désigne

quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

[PDF] calculer l'image d'une fonction linéaire

[PDF] antécédent d'un nombre

[PDF] calculer l'image d'un nombre par sa fonction inverse

[PDF] angle carrelage sans baguette

[PDF] pose de carrelage mural dans une salle de bain

[PDF] angle carrelage salle de bain

[PDF] comment calculer le volume courant

[PDF] comment calculer alpha avec la calculatrice

[PDF] tp géothermie ts

[PDF] calcul du gradient géothermique

[PDF] convection conduction différence

[PDF] géothermie et propriétés thermiques de la terre tp

[PDF] tp conduction convection terminale s

[PDF] flux géothermique moyen

[PDF] triangle quelconque propriété