[PDF] [PDF] V EXTREMUM ? 1 Les définitions de base - JF Cossutta

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19-3- 2010J.F.C. F.N.P.V. p. 1V EXTREMUM

?1. Les d´efinitions de base?Il convient d"avoir une parfaite connaissance des d´efinitions qui suiventD´ef. 37fest une application d"une partieDdeRndansR.

1.fposs`ede unmaximum sur Ds"il existe un ´el´ementAdeDtel que:?X?D, f(X)?f(A).

Dans ce caslemaximum defsurDestf(A), c"est le plus grand ´el´ement def(D) et on le note: Max X?Df(X). On parle encore demaximum globalou de maximum absolu defsurD.

2.fposs`ede unminimum sur Ds"il existe un ´el´ementAdeDtel que:?X?D, f(X)?f(A).

Dans ce casleminimum defsurDestf(A), c"est le plus petit ´el´ement def(D) et on le note : MinX?Df(X).

On parle encore deminimum globalou de minimum absolu defsurD.???La situation est celle de la d´efinition pr´ec´edente. Sifposs`ede un maximum (resp. minimum) surD

celui-ci estUNIQUE. N´eanmoins il peut exister plusieurs points deD(et mˆeme une infinit´e) qui "r´ealisent" ce

maximum (resp. minimum).

S"il n"existe qu"un point deDqui r´ealise le maximum (resp. minimum) defsurDon parle de maximum (resp.

minimum) strict.?On peut ´etendre ces d´efinitions au casfest une fonction deRndansRetDune partie de son domaine de

d´efinition.D´ef. 38fest une application d"une partieDdeRndansRetAest un point deD.

1.fposs`ede unmaximum local en As"il existe un r´eel strictement positifrtel que:

?X?B(A,r)∩D, f(X)?f(A) ou?H?B(O,r), A+H?D?f(A+H)?f(A).

2.fposs`ede unminimum local en As"il existe un r´eel strictement positifrtel que:

?X?B(A,r)∩D, f(A)?f(X) ou?H?B(O,r), A+H?D?f(A)?f(A+H).

3.fposs`ede unextremum localenAsifposs`ede un maximum ou un minimum local enA.??S"il est important de savoir ´ecrire quefposs`ede un maximum ou un minimum local enAil est tout aussi

important de savoir ´ecrire quefne poss`ede pas d"extremum local enA. D"o`u la proposition suivante.Prop. 17PPfest une application d"une partieDdeRndansRetAest un point deD. Les assertions

suivantes sont ´equivalentes. i)fne poss`ede pas d"extremum local enA; ii)Pour toute boule de centre Ail existe deux ´el´ementsX1etX2appartenant `a cette boule tels quef(X1)> f(A) etf(X2)< f(A); ii")?r?R+?,?X1?B(A,r),?X2?B(A,r), f(X1)> f(A) etf(X2)< f(A); iii)?r?R+?,?H1?B(O,r),?H2?B(O,r), f(A+H1)> f(A) etf(A+H2)< f(A).

J.F.C. F.N.P.V. p. 2

PSoitfune application d"unouvertΩ, deRn, dansR.

•fposs`ede un maximum local enAs"il existe un r´eel strictement positifrtel que:?X?B(A,r), f(X)?f(A).

•fposs`ede un minimum local enAs"il existe un r´eel strictement positifrtel que:?X?B(A,r), f(A)?f(X).D´ef. 39fest une application d"une partieDdeRndansRetAest un point deD.

1.fposs`ede unmaximum local strict en As"il existe un r´eel strictement positifrtel que:

?X?B(A,r)∩D- {A}, f(X)< f(A) ou?H?B(O,r){O}, A+H?D?f(A+H)< f(A).

2.fposs`ede unminimum local strict en As"il existe un r´eel strictement positifrtel que:

?X?B(A,r)∩D- {A}, f(A)< f(X) ou?H?B(O,r)- {O}, A+H?D?f(A)< f(A+H).

3.fposs`ede unextremum local strictenAsifposs`ede un maximum ou un minimum local strict en

A.?2. Rappels : borne sup´erieure et inf´erieure, fonction major´ee, minor´ee...

D´ef. 40SoitPune partie deR.

Laborne sup´erieuredePest, le plus petit ´el´ement, s"il existe, de l"ensemble des majorants deP;

notation SupP.

Laborne inf´erieuredePest le plus grand ´el´ement, s"il existe, de l"ensemble des minorants deP; notation

InfP.Th. 53•Toute partie non vide et major´ee deRposs`ede une borne sup´erieure.

•Toute partie non vide et minor´ee deRposs`ede une borne inf´erieure.D´ef. 41fune application d"une partie deRndansRetDest une partie du domaine de d´efinition def.

f est major´ee surDsif(D) est une partie major´ee deR; autrement dit s"il existe un ´el´ementMdeR

tel que:?X?D, f(X)?M.

f est minor´ee surDsif(D) est une partie minor´ee deR; autrement dit s"il existe un ´el´ementmdeR

tel que:?X?D, m?f(X).

f est born´ee surDsifest major´ee et minor´ee surDou si|f|est major´ee surD.D´ef. 42fune application d"une partie deRndansRetDest une partie non vide du domaine de d´efinition def.

Sifest major´ee surD, la borne sup´erieure def(D) s"appellela borne sup´erieure de f sur Det se

note Sup

X?Df(X).

Sifest minor´ee surD, la borne inf´erieure def(D) s"appellela borne inf´erieure de f sur Det se note

Inf X?Df(X).?Les hypoth`eses sont celles de la d´efinition pr´ec´edente.

Sifposs`ede un maximum (resp. minimum) surD: Sup

X?Df(X) = MaxX?Df(X) (resp. InfX?Df(X) = MinX?Df(X)).?3. Fonction continue sur un ferm´e born´e.

D´ef. 43Une partieDdeRnestborn´ees"il existe un r´eelMtel que?X?D,?X??M.

J.F.C. F.N.P.V. p. 3

Th. 541.[a,b] est unsegmentdeRetfest une fonction num´erique de la variable r´eellecontinuesur [a,b].

fposs`ede un maximum et un minimum sur [a,b]. Autrement dit il existe deux ´el´ementscetedans [a,b]

tels que : ?t?[a,b], f(e)?f(t)?f(c)

Notons quefest born´ee sur [a,b] et atteint ses bornes ;2.Dest une partie non videferm´ee et born´eedeRnetfest une fonction deRndansRcontinuesur

D. fposs`ede un maximum et un minimum surD. Autrement dit il existe deux ´el´ementsCetEdeDtels que : ?X?D, f(E)?f(X)?f(C)

Notons quefest born´ee surDet atteint ses bornes;Remarques1. Ce th´eor`eme est fondamental et contient un r´esultat d"existenced´eterminant dans beaucoup

de questions.

2. Pour nous dans la pratique il nous donnera l"existence d"un maximum et d"un minimum. Il restera `a les

d´eterminer et `a savoir l`a o`u ils sont atteints.?4. Extremum : une condition n´ecessaire Th. 55fest une application d"unOUVERTΩ deRndansRetAun point de Ω.

On suppose quefadmet des d´eriv´ees partielles premi`eres enApar rapport `a toutes les variables.

Sifposs`ede un extremum local enAalors:

?i?[[1,n]],∂f∂x

i(A) = 0 ou?f(A) = 0Rn.??Toutes les hypoth`eses de ce th´eor`eme sont importantes. Il convient donc de les v´erifier proprement et

rapidement avant d"en utiliser la conclusion.

Il est clair que cette condition est n´ecessaire mais pas suffisante. PrendreA= (0,0) etf:(x,y)→xypour s"en

convaincre.D´ef. 44fest une application d"un ouvert Ω deRndansR.

On appellepoint critique de ftout pointAde Ω tel que toutes les d´eriv´ees partielles premi`eres defen

Aexistent et sont nulles; autrement dit un pointAde Ω tel que?f(A) existe et vaut 0Rn.D´ef. 45fest une application d"un ouvert Ω deRndansR.

On appellepoint selle ou point colle de ftout point critique defo`ufne poss`ede pas d"extremum local.

J.F.C. F.N.P.V. p. 4

?5. Extremum : une condition suffisante Th. 56Soitfune fonction de classeC2sur un ouvert Ω deRnetAun point de cet ouvert. q Aest la forme quadratique deRnassoci´ee `a la Hessienne defenA.

On suppose queAest un point critique def.

1) Si:?H?Rn- {0Rn}, qA(H)>0, alorsfadmet un minimum local (strict) enA.

2) Si:?H?Rn- {0Rn}, qA(H)<0, alorsfadmet un maximum local strict enA.

3) Si:?(H1,H2)?(Rn)2, qA(H1)>0 etqA(H2)<0 alorsfn"admet pas d"extremum local enA.

4) Si:?H?Rn,qA(H)?0 sans plus... (resp.?0), la conclusion n"est pas imm´ediate...?Attention le programme n"exige que les deux premiers points.?Pour ´etudier le signe deqAon peut:

•d´ecomposer cette forme quadratique comme combinaison lin´eaire de carr´es de formes lin´eaires ind´ependantes ;

•utiliser le signe des valeurs propres de la Hessienne defenA.

Les r´esultats du compl´ement 1 pr´ecisent le second point et il faut savoir les d´emontrer.Th. 57le cas n=2. Soitfune fonction de classeC2sur un ouvert Ω deR2etAun point de cet ouvert.

On suppose queAest un point critique defet on pose :r=∂2f∂x

2(A)s=∂2f∂x∂y

(A)t=∂2f∂y 2(A).

1. Sirt-s2>0 etr >0,fadmet un minimum local strict enA.

2. Sirt-s2>0 etr <0,fadmet un maximum local strict enA.

3. Sirt-s2<0,fn"admet pas d"extremum local enA.

4. Sirt-s2= 0 la conclusion n"est pas imm´ediate...?Attention le programme exige les quatre points !

Dans quelques livres on raisonne surs2-rtce qui change l´eg`erement (!) le th´eor`eme.?6. Position du graphe par rapport `a l"hyperplan tangent

Th. 58Soitfune fonction de classeC2sur un ouvert Ω deRnetAun point de cet ouvert. q Aest la forme quadratique deRnassoci´ee `a la Hessienne defenA.

1) Si:?H?Rn-{0Rn}, qA(H)>0, alors au voisinage deAle graphe defest au-dessus de son hyperplan

tangent enA.

2) Si:?H?Rn-{0Rn}, qA(H)<0, alors au voisinage deAle graphe defest au-dessous de son hyperplan

tangent enA.

J.F.C. F.N.P.V. p. 5

?7. "Rappel" : signe d"une forme quadratique. Th. 59SDSoitqla forme quadratique surRnassoci´ee `a une matrice sym´etriqueSdeMn(R).

1. Si toutes les valeurs propres deSsont positives ou nulles:?X?Rn, q(X)?0.

2. Si toutes les valeurs propres deSsont n´egatives ou nulles :?X?Rn, q(X)?0.

3. Si toutes les valeurs propres deSsont strictement positives :?X?Rn, X?= 0Rn?q(X)>0.

4. Si toutes les valeurs propres deSsont strictement n´egatives:?X?Rn, X?= 0Rn?q(X)<0.

5. SiSposs`ede au moins une valeur propre strictement positive et au moins une valeur propre strictement

n´egative, il existe deux ´el´ements (non nuls)X1etX2deRntels queq(X1)>0 etq(X2)<0.Prop. 18SDSoitqla forme quadratique surRnassoci´ee `a une matrice sym´etriqueSdeMn(R).

Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

i)?X?Rn, q(X)?0 (resp.?0).

ii) Il existe une matriceMdeMn(R) telle queS=tMM(resp.S=-tMM).Prop. 19SDSoitqla forme quadratique surRnassoci´ee `a une matrice sym´etriqueSdeMn(R).

Les assertions suivantes sont ´equivalentes.

i)?X?Rn, X?= 0Rn?q(X)>0 (resp.<0)

ii) Il existe une matrice inversibleMdeMn(R) telle queS=tMM(resp.S=-tMM).?8. Extremum : la condition suffisante again

Th. 60Soitfune fonction de classeC2sur un ouvert Ω deRnetAun point de cet ouvert. q Aest la forme quadratique deRnassoci´ee `a la Hessienne defenA.

On suppose queAest un point critique def.

1) Si toutes les valeurs propres de?2f(A) sont strictement positives, alorsfadmet un minimum local

(strict) enA.

2) Si toutes les valeurs propres de?2f(A) sont strictement n´egatives, alorsfadmet un maximum local

(strict) enA.

3) Si une des valeurs propres de?2f(A) est strictement positive et si une est strictement n´egative alorsf

n"admet pas d"extremum local enA.

4) Si toutes les valeurs propres de?2f(A) sont positives (ou nulles) ou si toutes les valeurs propres de

2f(A) sont n´egatives (ou nulles), la conclusion n"est pas imm´ediate...?9. Compl´ement : une condition suffisante int´eressante (mais de mammouth).

Th. 61SDSoitfune fonction de classeC2sur un ouvert Ω deRn.

On suppose que?B?Ω,?X?Rn, qB(X)?0 (resp.?0).

SiAest un point critique defalors,fposs`ede un minimum (resp. maximum) local enA.?Ceci est une cons´equence simple de l"´egalit´e de Taylor-Lagrange `a l"ordre 1.

J.F.C. F.N.P.V. p. 6

Th. 62SDSoitfune fonction de classeC2sur un ouvertCONVEXEΩ deRn.

On suppose que?B?Ω,?X?Rn, qB(X)?0 (resp.?0).

SiAest un point critique defalors,fposs`ede un minimum (resp. maximum) global enA.?10. Compl´ement : le cas des fonctions convexes ou concaves.

Th. 63Soitfune fonction de classeC1sur un ouvert convexe Ω deRn. SoitAun point critique def. Sifest convexe sur Ω,fposs`ede un minimum global enA.

Sifest concave sur Ω,fposs`ede un maximum global enA.Th. 64Soitfune fonction de classeC2sur un ouvert convexe Ω deRn. SoitAun point critique def.

fest convexe sur Ω si et seulement si?A?Ω,?X?Rn, qA(X)?0.fest concave sur Ω si et seulement

si?A?Ω,?X?Rn, qA(X)?0.?11. Pour finir.PPSoit Ω un ouvert deRnetfune application de Ω dansRde classeC2.

Pour ´etudier les extremums defil convient dans une premi`ere ´etape de d´eterminer l"ensemble des points critiques

def.

Ceci ´etant fait pour chaque pointAde cet ensemble on examine sifposs`ede en ce point un extremum.

Deux possibilit´es (au moins) nous sont offertes:

•Utiliser les r´esultats du paragraphe pr´ec´edent (c"est `a dire les conditions d"ordre 2).

•Etudier `a la main le signe def(X)-f(A) au voisinage deAou le signe def(A+H)-f(A) au voisinage deO.

J.F.C. F.N.P.V. p. 7

VI EXTREMUM SOUS CONTRAINTES

?1. Introduction

Consid´erons un g´erant de portefeuilles. Un client s"adresse `a lui pour se constituer un portefeuille `a risque minimum.

Le g´erant a le choix entrenactionsA1,A2, ...,An

Pour tout ´el´ementkde [[1,n]], on consid`ere que la variation de l"actionAkpendant une p´eriodeTest une vari-

able al´eatoireXkd"esp´erancemket d"´ecart-typeσk. On suppose que les variables al´eatoiresX1,X2, ...,Xnsont

ind´ependantes. Le g´erant doit donc constituer un portefeuille dont la variance est minimum.

Son probl`eme est donc de d´eterminer, pour toutkdans [[1,n]], la proportionxkd"actionAk`a mettre dans le portefeuille.

Il doit donc trouverx1,x2, ...,xndans ]0,+∞[ tel queV(x1X1+x2X2+···+xnXn) soit minimum et tel que

x

1+x2+···+xn= 1.

OrV(x1X1+x2X2+···+xnXn) =x21σ21+x22σ22+···+x2nσ2n(ind´ependance des variablesX1,X2, ...,Xn).

Il doit donc minimiserx21σ21+x22σ22+···+x2nσ2nsous la contraintex1+x2+···+xn= 1.

Supposons en plus que le client esp`ere tirer un rendement ´egal `aMpendant une p´eriodeTdonn´ee.

Notons queE(x1X1+x2X2+···+xnXn) =x1m1+x2m2+···+xnmn.

Le g´erant doit alors minimiserx21σ21+x22σ22+···+x2nσ2nsous les contraintes?x1+x2+···+xn= 1

x

1m1+x2m2+···+xnmn=M.

Dans les deux cas il ne s"agit pas simplement d"´etudier les extremums d"une fonction num´eriquefdenvariables mais

de trouver les extremums de la restriction de cette fonction `a une partieCdeRn. Ici la fonctionfest d´efinie sur l"ouvert Ω = (]0,+∞[)npar: ?X= (x1,x2,...,xn)?Ω, f(X) =x21σ21+x22σ22+···+x2nσ2n. Dans le premier casC={X= (x1,x2,...,xn)?Rn|x1+x2+···+xn= 1}. Dans le second:C={X= (x1,x2,...,xn)?Rn|x1+x2+···+xn= 1 etm1x1+m2x2+···+mnxn=M}. Posons:?X= (x1,x2,...,xn)?Rn, g1(X) =x1+x2+···+xn. Posons encore:?X= (x1,x2,...,xn)?Rn, g2(X) =m1x1+m2x2+···+mnxn. Dans le premier casC={X?Rn|g1(X) = 1}dans le secondC={X?Rn|g1(X) = 1 etg2(X) =m}. Observons queg1etg2sont deux formes lin´eaires surRn.

On peut d´ej`a ´ebaucher une m´ethode de r´esolution du probl`eme reposant sur la substitution.

Dans le premier cas la contrainte permet d"exprimerxnen fonction dex1,x2, ...,xn-1. En r´einjectant dansfon se

ram`ene `a l"optimisation d"une fonction den-1 variables.

Dans le second cas la contrainte doit permettre d"exprimer deux variables en fonction des autres. En r´einjectant dans

fon se ram`ene `a l"optimisation d"une fonction den-2 variables.

Les quelques lignes qui suivent ont pour but de donner un cadre g´en´eral au probl`eme pr´ec´edent et de d´egager, ici

encore, une condition n´ecessaire pour qu"un point soit solution du probl`eme.

J.F.C. F.N.P.V. p. 8

?2. La notion d"extremum sous contrainte d"´egalit´es lin´eaires. D´ef. 46Ω est un ouvert deRnetfune application de Ω dansR.

pest un ´el´ement deN?,g1,g2, ...,gpsontpformes lin´eaires surRnetb1,b2, ...,bpsontpr´eels.

Cest l"ensemble des ´el´ementsXdeRntels que? ?g

1(X) =b1

g

2(X) =b2

g p(X) =bp Aest un point de Ω∩ C. On dit quefposs`ede un maximum (resp. minimum) local sous la contrainteCen Asi la restriction def`aCposs`ede un maximum (resp. minimum) local enA; autrement dit s"il existe un r´eelrstrictement positif tel que:

?X? C ∩B(A,r), f(X)?f(A) (resp.f(A)?f(X)).?On peut de toute ´evidence d´efinir les notions d"extremum local, de maximum local strict, de minimum local

strict, d"extremum local strict, de maximum global, de minimum global,... sous la contrainteC.?3. La condition n´ecessaire d"existence d"extremum sous contrainte d"´egalit´es lin´eaires.

Th. 65Ω est un ouvert deRnetfune application de Ω dansRde classeC1sur Ω.

pest un ´el´ement deN?,g1,g2, ...,gpsontpformes lin´eaires surRnetb1,b2, ...,bpsontpr´eels.

Cest l"ensemble des ´el´ementsX= (x1,x2,...,xn) deRntels que? ?g

1(X) =b1

g

2(X) =b2

g p(X) =bp. On pose :H={X?Rn|g1(X) =g2(X) =···=gp(X) = 0}= Kerg1∩Kerg2∩...∩Kergp.

1.Hest un sous-espace vectoriel deRn.

2. SiCn"est pas vide alorsCest un sous-espace affine de directionH.3.PPAest un point de Ω∩ C. Sifposs`ede un extremum local sous la contrainteCenAalors le

gradient

?f(A) defenAest orthogonal `aH.Prop. 20Les hypoth`eses sont celles du th´eor`eme pr´ec´edent

1. Pour toutidans [[1,p]], le gradient degien un point deRnne d´epend pas de ce point (X→?gi(X)

est constante surRn).

2. L"orthogonal deHest le sous-espace vectoriel engendr´e par la famille??g1(X),?g2(X),...,?gp(X)?

o`uXest un ´el´ement quelconque deRn.

3.Aest un point de Ω∩ C. Sifposs`ede un extremum local sous la contrainteCenAalors, pour tout

´el´ementH(non nul) deH, la d´eriv´ee defenAdans la direction deHest nulle (f?H(A) = 0).D´ef. 47Les hypoth`eses sont celles du th´eor`eme pr´ec´edent. Un pointAde Ω∩ Ctel que?f(A) soit orthogonal `a

Hest appel´epoint critique defdans l"optimisation sous la contrainteC.?PPratiquementLes hypoth`eses sont celles des r´esultats pr´ec´edents. Pour r´esoudre le probl`eme il

convient d"abord de chercher les pointsAdeCtel que?f(A) soit orthogonalH, c"est `a dire les points critiques

defdans l"optimisation sous la contarinteC.

Dans une deuxi`eme ´etape on ´etudie si ces points sont solutions du probl`eme. Pour ce faire, siAest un tel point,

on regarde si le signe def(X)-f(A) est constant pourXdansCet dans un voisinage deA.

J.F.C. F.N.P.V. p. 9

Expression matricielle de la contrainte

pest un ´el´ement deN?,g1,g2, ...,gpsontpformes lin´eaires surRnetb1,b2, ...,bpsontpr´eels.

Cest l"ensemble des ´el´ementsXdeRntels que? ?g

1(X) =b1

g

2(X) =b2

g p(X) =bp

Pour tout ´el´ementide [[1,p]], notons (ai1ai2...ain) la matrice degirelativement aux bases canoniques deRnet

deR.?i?[[1,p]],?X?(x1,x2,...,xn), gi(X) =ai1x1+ai2x2+···ainxn?X?(x1,x2,...,xn), X? C ??? ?a

11x1+a12x2+···a1nxn=b1

a

21x1+a22x2+···a2nxn=b2

a

p1x1+ap2x2+···apnxn=bpConsid´erons alors la matriceC= (aij) deMp,n(R) et la matrice colonneB=(

((b 1 b 2... b p) )). On a alors :?X?(x1,x2,...,xn), X? C ??C( ((x 1 x 2... x n)

))=BNotons donc queCest `a l"ensemble des solutions d"un syst`eme lin´eaire dep´equations `aninconnues.?4. Une modeste condition suffisante.

Th. 66Ω est un ouvert deRnetfune application de Ω dansRde classeC2sur Ω.

pest un ´el´ement deN?,g1,g2, ...,gpsontpformes lin´eaires surRnetb1,b2, ...,bpsontpr´eels.

Cest l"ensemble des ´el´ementsXdeRntels que? ?g

1(X) =b1

g

2(X) =b2

g p(X) =bp. On pose :H={X?Rn|g1(X) =g2(X) =···=gp(X) = 0}= Kerg1∩Kerg2∩...∩Kergp. On suppose queAest un point deC ∩Ω tel que?f(A) soit orthogonal `aH. On suppose encore que?B? C ∩Ω,?H? H, qB(H)?0 (resp.?0).

Alorsfposs`ede enAun minimum (resp. maximum) local sous la contrainteC.?5. Vers le Lagrangien (hors programme).

De toute ´evidence ce qui pr´ec`ede nous laisse un peu sur notre faim et appelle `a quelques g´en´eralisations.

On a bien envie de passer de "sous contrainte d"´egalit´es lin´eaires" `a "sous contrainte d"´egalit´es" (voir `a sous contrainte

d"´egalit´es et d"in´egalit´es).

En clair il serait int´eressant de remplacer lesgi(X) =biougi(X)-bi= 0, avecgiforme lin´eaire surRn, parhi(X) = 0

avechifonction "quelconque" deRndansR. Reprenons encore les hypoth`eses des r´esultats pr´ec´edents. Posons?i?[[1,p]], hi=gi-bi.

J.F.C. F.N.P.V. p. 10

AlorsC={X?Rn|h1(X) =h2(X) =···=hp(X) = 0}. De plus?i?[[1,p]],?X?Rn,?hi(X) =?gi(X). Supposons quefposs`ede un extremum local sous la contrainteCen un pointAde Ω. AlorsAest ´el´ement deCet le gradient defenAest orthogonal `aH.

L"orthogonal deHest Vect?

g1(X),?g2(X),···,?gp(X)? o`uXest un ´el´ement quelconque deRn.

Notons que?X?Rn,Vect?

g1(X),?g2(X),···,?gp(X)? = Vect? h1(X),?h2(X),···,?hp(X)?

Ainsih1(A) =h2(A) =···=hp(A) = 0 et il existe un ´el´ement (λ1A,λ2A,···,λp

A) deRptel que

f(A) =λ1A?h1(A) +λ2A?h2(A) +···+λPA?hp(A). Ceci donne encore?i?[[1,p]], hi(A) = 0 et?k?[[1,n]],∂f∂x k(A)-p? i=1λ iA∂h i∂x k(X) = 0.

D"ou l"id´ee de faire intervenir la fonctionLden+pvariables d´efinie, avec quelques abus de notation, par:

?(X,λ1,λ2,···,λp)?Ω×Rp,L(X,λ1,λ2,···,λp) =f(X)-λ1h1(X)-λ2h2(X)- ··· -λphp(X).

Il est ais´e de montrer queLest de classeC1sur Ω×Rpet que: k(X,λ1,λ2,···,λp) =∂f∂x k(X)-p? i=1λ i∂hi∂x k(X) i(X,λ1,λ2,···,λp) =-hi(X). Rappelons que?i?[[1,p]], hi(A) = 0 et?k?[[1,n]],∂f∂x k(A)-p? i=1λ iA∂h i∂x k(X) = 0. Alors on constate que (A,λ1A,λ2A,···,λp

A) est un point critique deL...

?6. Le Lagrangien (hors programme).

Th. 67le cas p=1!

Ω est un ouvert deRn.fetgsont deux applications de Ω dansRde classeC1.C={X?Ω|g(X) = 0}.

Aest un point deC.

Sifposs`ede un extremum local enAsous la contrainteg(X) = 0 ou sous la contrainteC(autrement dit

si la restriction def`aCposs`ede un extremum local enA) et si le gradient degenAn"est pas nul alors il

existe un r´eelλAtel que: f(A) =λA?g(A) ou?k?[[1,n]],∂f∂x k(A) =λA∂g∂x

k(A).D´ef. 48Ω est un ouvert deRn.fetgsont deux applications de Ω dansRde classeC1.C={X?Ω|g(X) = 0}.

On pose :?(x1,x2,...,xn,λ)?Ω×R,L(x1,x2,...,xn,λ) =f(x1,x2,...,xn)-λg(x1,x2,...,xn).quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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