[PDF] Optimisation dune fonction dune variable





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1 Définitions : local ou global

a est un extremum local si a est un maximum local ou un minimum local. maximum global de f sur X et (au moins) un minimum global de f sur X. On fera ...





1) Extrema dune fonction

Remarque : Un extremum global est un extremum local. Dans la suite de l'exposé on ne cherchera que des extremums locaux. Une fonction peut admettre un extremun 



Fonctions de plusieurs variables définies sur une partie de R

Un extremum global est un extremum local. Exemple. Considérons la fonction f dont le graphe Gf est représenté ci-dessous. f admet un maximum global en a = (? 



Chapitre 5 : Fonctions à plusieurs variables

Par exemple le Mont Blanc est un maximum global de la fonction altitude f sur ? “« France » et tout point côtier est un minimum global. Un extremum local est 



Optimisation dune fonction dune variable

On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global on parle d'extremum (min ou max) strict. Remarque. Un extremum global est un extremum local.



Université de Nice Année 2007-2008 Département de

Théor`eme 1 Une fonction continue définie sur un intervalle [a b] poss`ede un minimum global et un maximum global. 3. Les extrema locaux : Dans la recherche d' 



EXTREMUMS : EXISTENCE CARACTÉRISATION

https://agreg-maths.fr/uploads/versions/2158/abarrier_L219.pdf



Analyse réelle et complexe de base

L'extremum local est dit strict s'il existe un voisinage de a où cet extremum n'est réalisé qu'au point a. On dit que f présente un extremum global (ou 



Les extremums des fonctions numériques de plusieurs variables

f admet un extremum local ou local strict en a si f admet un min resp max… • f admet un extremum global en a ssi : ? ?  



[PDF] EXTREMUMS : EXISTENCE CARACTÉRISATION

Un extremum global est bien sur un extremum local E x '? æ x 2 admet un minimum global en 0 cos admet un maximum global en les (2kfi)kœZ



[PDF] Extremums - Exo7 - Cours de mathématiques

Sur la figure de gauche : des exemples de minimum local maximum local maximum global ; il n'y a pas de minimum global sur Sur la figure de droite : un 



[PDF] 1) Extrema dune fonction

1) Extrema d'une fonction Soit a I ? Definition : 1 f admet un maximum (resp minimum) global ou dits absolu au point a sur I si :



[PDF] 3 Extremum local ou global

Extremum local ou global • On dit qu'une fonction admet un maximum local en s'il existe un intervalle ouvert centré



[PDF] Extrema - Licence de mathématiques Lyon 1

Un extremum (local ou global) de f est un minimum ou un maximum (local ou global) Il est dit strict si l'inégalité est stricte pour x = a (c'est-`a-dire 



[PDF] notes du cours 2 Maximum et m

Théor`eme 1 Une fonction continue définie sur un intervalle [a b] poss`ede un minimum global et un maximum global 3 Les extrema locaux : Dans la recherche d' 



[PDF] Chapitre 10 Fonctions de deux variables réelles

Ainsi f admet un maximum et un minimum global sur F Remarque 5 • Si f admet extremum global en (x0y0) alors c'est également un extremum local donc ( 



[PDF] V EXTREMUM ? 1 Les définitions de base - JF Cossutta

19 mar 2010 · On parle encore de maximum global ou de maximum absolu de f sur D 2 f poss`ede un minimum sur D s'il existe un élément A de D tel que 



Fiche explicative de la leçon : Extrema globaux - Nagwa

Définition : Extremum global · un maximum global en ???? = ???? si ???? ( ???? ) ? ???? ( ???? ) pour tout ???? dans l'ensemble de définition ???? ; · un minimum global en ???? 

  • Qu'est-ce qu'un extremum global ?

    Définition : Extremum global
    On dit d'une fonction �� ( �� ) qu'elle a : un maximum global en �� = �� , si �� ( �� ) ? �� ( �� ) pour tout �� dans l'ensemble de définition �� ; un minimum global en �� = �� , si �� ( �� ) ? �� ( �� ) pour tout �� dans l'ensemble de définition de �� .

  • Comment savoir si un extremum est global ?

    Condition suffisante d'existence d'un extremum global

    1On dit que f admet un maximum (resp. minimum) global en A sur U si et seulement si : ?M?U,f(M)?f(A)resp. f(M)? 2On dit que f admet un maximum (resp. minimum) local en A si et seulement si : ?r>0/?M?U,????AM??r?f.

  • Comment définir un extremum ?

    Un extremum est une valeur extrême, qui peut correspondre à un minimum ou à un maximum, prise par une valeur sur un intervalle donné. f(c). f(c). Pour trouver chaque extremum local d'une fonction il suffit de déterminer les points pour lesquelles sa dérivée s'annulle.
  • Pour trouver l' extremum d'une fonction (les points les plus hauts ou les plus bas sur l'intervalle où est définie la fonction) calculer au préalable la dérivée de la fonction et faire une étude de signe. Un extremum d'une fonction est atteint lorsque la dérivée s'annule et change de signe.

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable

1ère année

E.N.S.T.B.B.

I.P.B.

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

4Convexité

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiant

Minimiserf(x)

x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.

La f onctionfest

souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéC. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

sur I au point x , si

8x2I f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que

8x2J f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un extremum en x

si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.Remarque

Un extremum global est un extremum local.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité

Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité-5

0 5 10

0.00.51.01.52.02.53.0

Maximum localMaximum global

Minimum local

Figure:

f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreSoit

un intervalle ouvert.Théorème

Toute fonction continue et coercive sur

atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

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