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Barycentre
Table des matières
1 Rappels sue les vecteurs
21.1 Définition
21.2 Opérations sur les vecteurs
21.2.1 Somme de deux vecteurs
21.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire
21.3 Vecteurs et configuration
31.3.1 Le milieu d"un segment
31.3.2 La médiane d"un triangle
31.4 Colinéarité de deux vecteurs
41.5 Géométrie analytique
52 Barycentre de deux points
62.1 Définition
62.2 Propriétés
72.3 Réduction
83 Barycentre de trois points
103.1 Définition
103.2 Associativité
113.3 Réduction
134 Barycentre de n points
154.1 Définition
154.2 Associativité
154.3 Réduction
165 Centre d"inertie d"une plaque homogène
175.1 Principes utilisés par les physiciens
175.2 Application
185.2.1 Exercice 1
185.2.2 Exercice 2
19 PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES
21 RAPPELS SUE LES VECTEURS1Rappelssuelesvecteurs
1.1Définition
Définition 1 :Un vecteur~uou!ABest défini par :êune direction (la droite(AB)).
êun sens (deAversB)
êUne longueur : la norme du vecteurk~ukouAB!
AB=!CDsi et seulement siABDCest un parallélogramme.1.2Opérationssurlesvecteurs
1.2.1Sommededeuxvecteurs
La somme : la relation de chasles :
AC=!AB+!BC
Cette relation permet de décompo-
ser un vecteur.On a l"inégalité triangulaire :
k ~u+~vk6k~uk+k~vkConstruction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d"appli- quer la relation de Chasles.Propriété 1 :La somme de deux vecteurs :êEst commutative :~u+~v=~v+~u
êEst associative :(~u+~v) +~w=~u+ (~v+~w) =~u+~v+~w êPossède un élélment neutre~0 :~u+~0=~u êtout vecteur possède un opposé~u:!AB=!BA1.2.2Multiplicationd"unvecteurparunscalaire Lorsqu"on multiplie un vecteur par un réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék~uest tel que : êSa longueur est multiplié parjkjPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES1.3 VECTEURS ET CONFIGURATION3êSik>0 son sens est inchangé et sik<0 son sens est inversé.Propriété 2 :La multiplication par un scalaire est distributive par rapport
à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.êk(~u+~v) =k~u+k~v
1.3.1Lemilieud"unsegment
SiIest le milieu d"un segment[AB]
alors : AI=12 !ABAI=!IB
!IA+!IB=!0Théorème 1 :SoitABCun triangle. SiIetJsont les milieux respectifs de [AB]et[AC]alors :!IJ=12 !BC1.3.2Lamédianed"untriangle Dans un triangleABC,(AA0)la médiane issue deA, vérifie :AA0=12
(!AB+!AC)PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES41 RAPPELS SUE LES VECTEURS1.4Colinéaritédedeuxvecteurs
Définition 2 :On dit que deux vecteurs~uet~vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que : v=k~uPropriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"aligne- ment. êLes droites(AB)et(CD)sont parallèles si et seulement si les vecteurs!AB et!CDsont colinéaires. êLes pointsA,BetCsont alignés si et seulement si les vecteurs!ABet!AC sont colinéaires.Application :SoitABCun triangle,Eest tel que!AE=13 !BC,Iest tel que !CI=23 !CBetFest tel que!AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignésFaisons d"abord une figure :Exprimons
!EIet!EFen fonction de!AB.Nous savons que!CI=23
!CBdonc!BI=13 !BC. On en déduit que!AE=!BI donc queAEIBest un parallélogramme. On a alors : !EI=!ABDe plus :
!EF=!EA+!AF 13 !CB+13 !AC 13 (!AC+!CB) 13 !ABPAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES1.5 GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE5On en déduit alors :
!EF=13 !EI. Les vecteurs!EFet!EFsont colinéaires et donc les pointsE,FetIsont alignés.1.5Géométrieanalytique
Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère ortho- normal, les formules suivantes sont valable dans tout repère. êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du vecteur!AB vérifient :!AB=xBxA y ByA êSoit deux pointsA(xA;yA)etB(xB;yB), les coordonnées du milieuIdu segment[AB]vérifient : I=0 B B@x B+xA2 y B+yA2 1 C CA êOn appelle déterminant de deux vecteurs~u(x;y)et~v(x0;y0), le nombre : det(~u,~v) =x x0 y y 0 =xy0x0y êDeux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant estégale à 0
uet~vcolinéaires,det(~u,~v) =0 êDans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur~uet la distance entre les pointsA(xA;yA)etB(xB;yB)verifient : jj ~ujj=qx 2+y2 AB=q(xBxA)2+ (yByA)2Application :ABCDest un parallèlogramme.M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA,!AN=34 !AB,!CQ=23 !CD La parallèle à(MQ)menée parNcoupeBCenP. Déterminer le coefficientk de colinéarité tel que!BP=k!AD. Faisons une figure, en prenant comme repère(A;!AB,!AD):PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES62 BARYCENTRE DE DEUX POINTSD"après l"énoncé les coordonnées deM,NetQsont :
M 0;15 ,N34 ;0 ,Q13 ;1 CommePest sur(BC), son abscisse est 1. De plus commekest tel que :!BP= k!AD, son ordonné vautk. Les coordonnées dePsont :P(1;k)
Comme(NP)//(MQ), le déterminant de!MQet!NPest nul, on a : det(!MQ,!NP) =013 0 134 115k0 =0 13 14 45
k =0 k3 15 =0 k3 =15 k=35
2Barycentrededeuxpoints
2.1Définition
Remarque :Le mot barycentre renvoie à la notion de centre d"inertie ou de gravité en physique.PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES2.2 PROPRIÉTÉS7Définition 3 :On appelle barycentre de deux pointsAetBassociés aux
coefficients respectifsaetb, le pointGtel que : a !GA+b!GB=~0 aveca+b6=0On note alorsGbarycentre des points pondérés(A,a)et(B,b)Démonstration :montrons qu"un tel point existe et est unique. Il s"agit
alors de pouvoir placer ce point. Exprimons le pointGa l"aide du vecteur!AB avec la relation de Chasles : a !GA+b!GB=~0 a !GA+b(!GA+!AB) =~0 a !GA+b!GA+b!AB=~0 (a+b)!GA=b!AB (a+b)!AG=b!ABCommea+b6=0, on a :
AG=ba+b!AB
On peut alors placer le pointG.
2.2Propriétés
Propriété 5 :SiGest le barycentre des points pondérés(A,a)et(B,b), alors :!AG=ba+b!ABApplication :AetBétant donnés, placer les barycentresG1etG2des points pondédérés respectifs(A,3),(B,1)et(A,1),(B,3).CommeG1est le barycentre de(A,2),(B,1), on a :
AG=12+1!AB=13
!ABCommeG2est le barycentre de(A,1),(B,3), on a :
AG=31+3!AB=32
!AB On peut alors placer les deux pointG1etG2:PAUL MILAN3 janvier 2011 PREMIÈRES82 BARYCENTRE DE DEUX POINTSRemarque :
êLorsquea=b, on dit queGest l"isobarycentre des pointsAetB.Gest alors le milieu du segment[AB].êLe barycentreGest situé sur la droite(AB)Propriété 6 :Homogénéité du barycentre. SiGest le barycentre de(A,a)
et(B,b)alorsGest aussi le barycentre de(A,ka)et(B,kb)lorsquekest un réel non nul.Cela découle de la définition : a !GA+b!GB=~0,ka!GA+kb!GB=~0 aveck6=0Application :Le barycentre de
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