EXERCICE N°1 :
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Cours BARYCENTRE avec Exercices avec solutions Activité 2 : Soit un triangle rectangle en et 2) Barycentre de deux points pondérés
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Dans un triangle ABC les trois bissectrices intérieures sont concourantes en un point I centre du cercle inscrit du triangle et qui est barycentre de )( aA )
Premi`ereSExercices sur le barycentre
Exercice 1 :
Rappels sur les vecteurs
ABCDest un quadrilatère quelconque,I
le milieu de [AD] etJcelui de [BC]. 1)Ecrire !IJcommelasommede!ABetde
deux autres vecteurs que l"on précisera. 2)Décomposer le même !IJen utilisant!DC.
3)En déduire que 2 !IJ=!AB+!DC.Exercice 2 :
Rappels sur les vecteurs
ABCDest un parallélogramme de centreO,Iest le milieu de [AB] etJle point tel que!DJ=!OC. 1)Exprimer
!OIen fonction de!BC. 2)Justifier les ég alité:
!BC=!OD+!OC=!OJ. 3) Quel théorème v ouspermet de conclure que O,IetJsont alignés?Exercice 3 :
Rappels sur les vecteurs
ABCest un triangle,Eest tel que!AE=13
!BC,Iest tel que!CI=23 !CBetFest tel que !AF=13 !AC. Démontrer queI,EetFsont alignés.Exercice 4 :
Rappels sur les vecteurs
ABCDest un parallélogramme,M,N,Qsont tels que : DM=45 !DA;!AN=34 !AB;!CQ=23 !CD La parallèle à (MQ) menée parNcoupe (BC) enP. Il s"agit de trouver le coecient kde colinéarité tel que!BP=k!AD. Considérons le repère (A;!AB;!AD. 1)Calculer les coordonnées des points M,NetQ.
2)Justifier qye Pa pour coordonnées (1;k).
3)En déduire que les v ecteurs
!MQet!NPsont colinéaires et calculerk.paul milan1/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 5 :Rappels sur les vecteurs
Sur la figure c-contre,Iest le milieu de
[BC],JetKsont les points tels que : AJ=13 !ACet!AK=14 !BCOn considère le repère (A;!AB;!AC.
Calculer les coordonnées deI,JetKpuis
prouver queI,JetKsont alignés.Exercice 6 :Barycentre de deux points
AetBsont deux points tels queAB=6 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de (A;), (B;) dans chacun des cas suivants :1)=4,=1
2)=2,=13)=2,=2
4)=110
,=15Exercice 7 :
Barycentre de deux points
AetBsont deux points tels queAB=9 cm. Construire (s"il existe) le barycentre de (A;), (B;) dans chacun des cas suivants :1)=4,=5
2)=8,=5
3)=11,=24)=12
,=125)=1,=5
6)=0,=2011
Exercice 8 :
Barycentre de deux points
Les pointsAetBsont donnés etGest défini par la condition indiquée. Déterminer deux réelettels queGsoit le barycentre de (A;), (B;). 1) !AB=2!GB2)2 !GB3!AB=!03) 2 !AB+!GA2!GB=!0paul milan2/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 9 :Barycentre de deux points
Pour les exercices suivants, les pointsA,BetCsont indiqués sur la figure. Dans les deux cas suivants, trouver deux réelsettels que :êAsoit le barycentre de (B;), (C;);
êBsoit le barycentre de (A;), (C;);
êCsoit le barycentre de (A;), (B;).
1)2)Exercice 10 :
Barycentre de trois points
ABCest un triangle de centre de gravitéG.G0est le symétrique deGpar rapport au milieu de [BC]. 1)Prouv erque Gest le milieu de [G0A].
2)Justifier que : !G0G=!G0B+!G0C
3)Exprimer
!G0Aen fonction de!G0Bet!G0Cpuis en déduire queG0est un barycentre deA,BetCaectés de coecients que l"on précisera.Exercice 11 :
Barycentre de trois points
ABCest un triangle. Construire (s"il existe) le barycentreGde (A;), (B;), (C; Construire d"abord un barycentre de deux points, puis utiliser la règle d"associativité.1)=3,=2,
=12)=1,=1,
=33)=12 ,=13 =164)=2,=1,
=2Exercice 12 :
Barycentre de trois points
ABCest un triangle;Iest le barycentre de (A;2), (B;1).Jcelui de (B;1), (C;2) etG le barycentre de (A;2), (B;1), (C;2). Le but de l"exercice est de localiserGà l"intersec- tion de deux droites. 1) Quel théorème permet de justifier l"alignement de A,JetG, puis celui deC,IetG? 2) En déduire que Gest à l"intersection de (AJ) et de (CI). Placer alorsG. 3) Démontrer que ( BG) et (AC) sont parallèles.Exercice 13 :
Barycentre de trois pointspaul milan3/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSABCest un triangle. Les pointsIetJ sont repérés sur la figure ci-contre, dont les graduations sont régulières.Gest le milieu de [CI]. Le but de l"exercie est de montrer queA,GetJsont alignés.1)Exprimer Icomme un barycentre deAet deB, puisJcomme un barycentre deBet deC. 2) On note G0le barycentre de (A;1), (B;2), (C;3). Quel théorème permet de justufier queG0est le milieu de [IC]? En déduire deG0=G. 3)Démontrer que A,GetJsont alignés.
Exercice 14 :
Barycentre de trois points
ABCest un triangle de centre de gravitéG. Le but de l"exercice est de déterminer l"ensembledes pointsMdu plan tels que le vecteurs!MA+!MB+!MCest colinéaireà!AB.
1)Exprimer
!MA+!MB+!MCen fonction de!MG. 2)Justifier l"a rmation :
"Dire queMappartient àéquivaut à dire que!GMest colinéaire à!AB" 3)En déduire et le construire.
Exercice 15 :
Barycentre de trois points
Pour les exercices suivants, trouver trois réels,et tels queGsoit le barycentre de (A;), (B;), (C; 1) 2)3) 4) paul milan4/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 16 :Barycentre denpoints
Pour les exercices suivants, justifier de l"existence du barycentreG, puis le construire.1)ABCDest un rectangle etGle barycentre de (A;1), (B;2), (C;2), (D;2).
2)ABCDest un parallélogramme etGbarycentre de (A;2), (B;3), (C;2), (D;2).
3)ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de (A;1), (B;3), (C;2), (D;2).
Exercice 17 :
Barycentre denpoints
La figure ci-contre indique une
construction du barycentreGde (A;1), (B;3), (C;1), (D;1). Justifier cette construc- tion.Exercice 18 :Barycentre denpoints
ABCDest un rectangle, construire le barycentreGde (A;), (B;), (C; ), (D;) dans chacun des cas suivants :1)=2,=3,
=1,=12)=3,=2,
=1,=33)=18 ,=38 =14 ,=12Exercice 19 :
Coordonnées du barycentre
1)Placer les points A(1;3) etB(2;1).
2) Calculer les coordonnées des points M, barycentre de (A;1), (B;3) etN, barycentre de (A;2), (B;1). 3) Calculer le les coordonnées du milieu Ide [AB]. 4)T rouverle réel ktel que!MI=k!MN
5) En déduire deux réels ettels queIsoit le barycentre de (M;), (N;).Exercice 20 :
Coordonnées du barycentre
1)Placer les points A(2;1),B(1;4) etC(3;2).
2) Calculer les coordonnées du centre de gra vitéGdu triangleABC.paul milan5/819 a vril2011 exercicesPremi`ereS3)Calculer les coordonnées de G0, barycentre de (A;2), (B;3), (C;1). 4) les points O,GetG0sont-ils alignés?Exercice 21 :
Ensemble de points
[AB] est un segment de longueur 5 cm. On se propose de trouver l"ensembledes pointMtels que : jj2!MA+3!MBjj=10 1) On pose Gle barycentre de (A;2), (B;3). Réduire la somme 2!MA+3!MB. 2)En déduire la nature de . Construire alors.
Exercice 22 :
Ensemble de points
ABCest un triangle rectangle isocèle enAtel queAB=4 cm. On se propose de trouver l"ensembledes pointsMtels que : jj !MA+!MB+2!MCjj=4 1) On pose Gle barycentre de (A;1), (B;1), (C;2). Réduire la somme!MA+!MB+ 2!MC. 2)En déduire la nature de .
3)Montrer que passe par le pointC. ConstruireGpuis.
Exercice 23 :
Ensemble de points
ABCest un triangle équilatéral de côté 5 cm. 1) Construire G,barycentrede(A;1),(B;1),(C;1),etprouverqueABCGestunlosange. 2)Quel est l"ensemble des pointsMtels que :
jj !MA!MB+!MCjj=5p3 2 3) Vérifier que le milieu de [ AC] appartient à. Tracer.Exercice 24 :
Ensemble de points
ABCest un triangle rectangle enA,Iest le milieu de [BC],est le cercle de centreA passant parI.Gest le point diamétralement opposé àI. 1) Prouv erque le point Gest le barycentre de (A;4), (B;1), (C;1). 2) T rouverdeux réels betctels queAest le barycentre de (G;2), (B;b), (C;c). 3) Quel est l"ensemble des points Mdu plan tels que : jj2!MG+!MB+!MCjj=2jj!BCjjpaul milan6/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 25 :Centre d"inertie
Pour chacune des plaques homogènes suivantes, construire le centre d"inertie.Exercice 26 :Centre d"inertie
Une plaque homogènePest constituée
par un carréOABCde côté 8 cm dont on a retiré le carréBIJKde côté 4 cm.Trouver la position du centre d"inertie
de la plaque par deux méthodes.Exercice 27 :Centre d"inertie
Une rondelle a la forme d"un disque
évidé suivant le schéma ci-contre pour le- quelOP=3OO0. 1.T rouverlapositionducentred"inertie
Ide la rondelle évidée.
2.On note Mla masse de la rondelle
évidée. Quelle massemdoit-on pla-
cerenPafinquel"ensembleconstitué de la rondelle et du point "massique" PaitOpour centre d"inertie?paul milan7/819 a vril2011 exercicesPremi`ereSExercice 28 :Centre d"inertie
On considère une plaque homogène
composée d"un carré de côté 10 cm sur- montéd"unrectangledehauteur10cmetde longueur`(exprimée en cm) tel que`>10 (figure ci-contre)Déterminer la longueur maximale`max
la base [AB].paul milan8/819 a vril2011quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21[PDF] calcul angle triangle en ligne
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