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La moyenne arithmétique est très sensible aux valeurs extrêmes Calcul sur un tableau statistique complet Salariés Salaires mensuels nets (€)
Comment calculer la moyenne en statistique avec les intervalles ?
Dans ce cas, il faudra d'abord calculer le centre de chaque intervalle en faisant la moyenne des deux bornes de l'intervalle. Deuxième étape : il faudra multiplier chaque centre d'intervalle par l'effectif correspondant. Enfin, il restera à diviser le résultat par l'effectif total.Comment calculer l'intervalle médian ?
Dans un jeu de données de petite taille, il suffit de compter le nombre de valeurs (n) et de les ordonner en ordre croissant. Si le nombre de valeurs est un nombre impair, il faut lui additionner 1, puis le diviser par 2 pour obtenir le rang qui correspondra à la médiane.Comment calculer une moyenne à partir d'une fréquence ?
Quand on calcule une moyenne en utilisant la fréquence, on multiplie juste les valeurs par les effectifs sans avoir à diviser par l'effectif total.- Diviser par l'effectif total
L'effectif total est la somme des effectifs de chaque valeur. La moyenne pondérée est obtenue en effectuant la division du résultat de l'étape 2 par l'effectif total.
Laetitia Perrier Bruslé
Cours de statistique descriptive
Cours de statistique
descriptiveTD 2 : Les valeurs centrales
2Introduction et définition des
valeurs centrales Les valeurs centrales permettent de résumeren une seule valeur l'ensemble des valeurs d'une distribution statistique. Il existe trois valeurs centrales : le mode, la médiane, la moyenne. Les indicateurs de valeurs centrales ne concernent que les caractères quantitatifs. Ils s'expriment toujours dans la même unité que celle du caractèreLaetitia Perrier Bruslé
Cours de statistique descriptive
I - La moyenne
4Introduction
En théorie, on ne peut calculer la moyenne que pour les caractères quantitatifs continus. Dans la pratique, on la calcule aussi pour des caractères quantitatifs discrets.Il existe deux types de moyenne
La moyenne simple: calculée à partir d'un tableau élémentaire où à chaque élément ne correspond qu'une seule donnée. La moyenne pondérée: calculée à partir d'un tableau de dénombrement. Dans ce cas là l'effectif n i pour la valeur x d'un caractère sert de coefficient pondérateur. 51-1 La moyenne arithmétique
simple La moyenne est la somme des valeurs divisée par le nombre d'éléments.N = nombre d'éléments de l'ensemble.
Xi = la valeur du caractère X pour un élément i pris au hasard. Xi = Somme des valeurs du caractère X pour la totalité deséléments de l'ensemble.
6Exemple de moyenne arithmétique
simple : Calcul du salaire moyen dans une entreprise100 000directeur général2030 000directeur adjoint1920 000directeur adjoint185 500cadres175 500cadres165 000cadres154 500cadres144 500cadres132 900ouvriers122 900ouvriers112 700ouvriers102 500ouvriers92 300ouvriers82 100ouvriers72 100ouvriers61 700apprentis51 700apprentis41 500apprentis31 300apprentis21 300apprentis1salaireCatégorien°
7Question 1 et 2 : Calcul du salaire
moyen à partir de différents ensemblesSalaire moyen 10 000 euros
200 000/20 = 10 000
Salaire moyen sans le directeur :
100 000/19 = 5263
Salaire moyen sans le directeur et les sous directeurs50 000/17 = 2941
8La moyenne arithmétique résume
très mal la distributionRépartition des salaires
020 00040 00060 00080 000100 000120 000
0 5 10 15 20 25
Employés
Valeur du salaire en e
Valeurs très dispersées (directeur) et forte dissymétrie (concentration des salaires dans les faibles valeurs et
dispersion dans les fortes valeurs) 91-2 La moyenne arithmétique
pondérée Calcul à partir d'un tableau de dénombrement : Regrouper les valeurs du caractère X en classe.Calculer le centre de chaque classe: X
j Pondérer par l'effectif (nombre d'élément de chaque classe) : n jDiviser la somme des produits X
j n j par l'effectif total de l'ensemble statistique : N 10 Question 3 : réaliser un tableau de dénombrement à partir du tableau élémentaireTableau de dénombrement
Salaire dans l'entreprise X
en 20061100 0001
30 0001
20 0002
5 5001
5 0002
4 5002
2 9001
2 7001
2 5001
2 3002
2 1002
1 7001
1 5002
1 300EffectifSalaire
11Définition relative aux classes
Les classes :
Elles correspondent à une partition de l'ensemble de l'intervalle de variation du caractère. (intervalle allant de la valeur minimum prise par le caractère X dans l'ensemble étudié, à la valeur minimum prise par X dans l'ensemble étudié). Elles sont donc définies par une borne supérieureet une borne inférieure.Amplitude de la classe
Amplitude = Valeur de la borne supérieure - valeur de la borne inférieureCentre de la classe (deux méthodes de calcul)
Centre = Somme de la borne supérieure et de la borne inf. divisée par 2. Centre = Amplitude divisée par deux + borne inf.Calcul de la moyenne pondérée
On considère que le centre de la classe correspond à la moyenne des individus rassemblés dans cette classe. 12Question 4 : Répartition en classe et
calcul de l'amplitude et du centre de chaque classe52 0003 0001 500Centre de la classe
2187525001500 Moyenne de la classe
96 0008[4000; 100 000]2000
7[2000, 4000[1000
5[1000 ; 2000[Amplitude
de la classe effectifSalaires en euro Nb : Noter que les classes sont disjointes (l'intersection de deux classes est nulle, un élément ne peut appartenir qu'à une seule classe) et continues(la partition doit être exhaustive, elle doit intégrer toutes les valeurs que pourrait prendre le caractère dans l'intervalle de variation considéré). 13Question 5 : A partir de ce nouveau tableau
de dénombrement calculer la moyenne pondérée.Rappel :
Moyenne pondérée =
(5*1500)+(7*3000)+(52000*8)/20 = 22 500Centre de la
classeEffectif de
la classeEffectif
totalNb : Cette valeur est beaucoup plus élevée que le salaire moyen réel car les centres des deux dernières classes ne sont pas représentatifs
et beaucoup plus élevés que les moyennes des classes auxquelles ils correspondent 14Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementSouvent les lignes contenues dans un tableau
élémentaire correspondent àdes ensembles
d'individuset non pas à des individus.Les modalités du caractère X correspondent alors déjà à des moyennes et la moyenne générale
devra pondérer chaque valeur du caractère par le nombre d'individu qu'elle représente. 15Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementCalcul de la moyenne pondérée dans ce cas :
Moyenne
pondéréeSomme des
produits Xi fois PiModalité du
caractère X pour une " classe i »Effectif des
éléments pour
la " classe i »Effectif total
de l'ensemble deséléments
16Calcul des moyennes pondérées
sans tableau de dénombrementSouvent les lignes contenues dans un tableau
élémentaire correspondent àdes ensembles
d'individuset non pas à des individus.Les modalités du caractère X correspondent alors déjà à des moyennes et la moyenne générale
devra pondérer chaque valeur du caractère par le nombre d'individu qu'elle représente. 17Exemple : calculer la moyenne
pondérée à partir de ce tableau de dénombrement Il faut pondérer le salaire moyen de chaque catégorie de salariés par son effectif. Moyenne pondérée = (5*1500 + 7*2500 + 5*5000 +2*25000 +1*100 000) / 20 = 10 000 euros.
200 000Total masse salariale100 000directeur général25 000directeurs adjoints5 000cadres2 500ouvriers1 500apprentissalaire moyen en euro (Xi)Catégorie
2012575Effectif (Pi)
181-3 Calcul sur les moyennes :
moyenne des taux et taux moyen Une application directe de la moyenne pondérée concerne les caractère quantitatif de taux, < caractères X définis comme le rapport de deux caractères de stock V (numérateur) et P (dénominateur). Lorsque l'on considère un ensemble de N d'éléments décrits par le caractère X, il faut clairement distinguer le taux moyenet la moyenne des taux. Taux moyen = La valeur du rapport V/P si tous les individusétaient fusionnés
Moyenne des taux = La moyenne des valeurs d'individus de poids différents 19Exemple d'application : calculer la
moyenne des taux et la moyenne pondérée 2018 500
Taïwan
13003 500
Chine Populaire
Population en million
d'habitantsPIB ($ / hab.)
- Caractère de taux - Pays (18 500 + 3500)/2 = 11 000Moyenne des
taux (3500*1300) + (18500*20)/1320 = 3727Taux moyen
= Moyenne pondérée 20Question 6 : description du tableau
Ensemble : les régions françaises.
Elément : chacune des régions.
Population en milliers : quantitatif, mesurable, de stock, discretBac +2 : quantitatif, mesurable, de taux, continu
Zone : qualitatif, nominal
Moyenne des taux = moyenne régionale métropolitaine Additionner les valeurs de X pour le caractère " Bac+2 » et divisé par l'effectif (=nombre de région = 22) : 343/22=15,63 21Question 7 Moyenne des régions et
moyenne françaiseMoyenne des régions (moyenne des taux) :
15,6 (moyenne des modalités du caractère Bac+2 pour les 22
régions).Moyenne française (taux moyen)
18,4 (hommes ayant un niveau bac+2 rapportée à la population
masculine) Pour la calculer : faire la somme des produits (taux Bac+2*population régionale)/population totale française De cette façon : chaque taux est pondéré par le poids de la population régionale 22Question 8 : Moyenne par sous
ensemble régional15,2Moyenne sans IDF
19,9Taux moyen16,4Moyenne des taux30,1
11 131Île-de-France19,2
5 814Rhône Alpes18,7
4 665PACA18,1
1 775Alsace14,9
4 013Nord-Pas de Calais14,7
1 131Franche Comté14,5
2 319Lorraine14
2 467Centre13,9
1 787Hte Normandie13,2
1 869Picardie13,11 612Bourgogne12,61 337
Champagne
ArdennesBac+2
ansPop°2003zone NNE
14,68Moyenne des taux18,2
2 638Midi-Pyrénées16,82 402Languedoc Roussillon16,32 988Aquitaine16
2 978Bretagne14,7
3 312Pays-de-Loire13,4
266Corse13,4
1 314Auvergne12,7
1 668Poitou-Charente12,7
1 436Bse Normandie12,6
711LimousinBac+2an
sPop° 2003ZONE SSO 2324
Conclusion : propriété de la
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