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Comment calculer la moyenne en statistique avec les intervalles ?
Dans ce cas, il faudra d'abord calculer le centre de chaque intervalle en faisant la moyenne des deux bornes de l'intervalle. Deuxième étape : il faudra multiplier chaque centre d'intervalle par l'effectif correspondant. Enfin, il restera à diviser le résultat par l'effectif total.
Comment calculer l'intervalle médian ?
Dans un jeu de données de petite taille, il suffit de compter le nombre de valeurs (n) et de les ordonner en ordre croissant. Si le nombre de valeurs est un nombre impair, il faut lui additionner 1, puis le diviser par 2 pour obtenir le rang qui correspondra à la médiane.
Comment calculer une moyenne à partir d'une fréquence ?
Quand on calcule une moyenne en utilisant la fréquence, on multiplie juste les valeurs par les effectifs sans avoir à diviser par l'effectif total.
Diviser par l'effectif total
L'effectif total est la somme des effectifs de chaque valeur. La moyenne pondérée est obtenue en effectuant la division du résultat de l'étape 2 par l'effectif total.

Calcul dun intervalle de confiance pour la moyenne dans une

MOHAMED RIDHA TEKAYA

Calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne dans une population asym etrique

Essai pr esent e

µa la Facult e des etudes sup erieures de l'Universit e Laval dans le cadre du programme de ma^³trise en statistique pour l'obtention du grade de Ma^³tre µes sciences (M.Sc.)

FACULT

E DES SCIENCES ET DE G ENIE

UNIVERSIT E LAVAL

QU EBEC

Avril 2006

°Mohamed Ridha Tekaya, 2006

R esum e

Cet essai a pour objectif de calculer un intervalle de con¯ance pour la moyenne¹µa

100(1¡®)% dans un plan de sondage al eatoire simple, ainsi que dans un plan de sondage

strati¯ e µa deux strates. La population etudi ee n'est pas sym etrique et la distribution

des donn ees n'est pas normale. Avec le plan de sondage al eatoire simple nous utilisons trois m ethodes : le th eorµeme limite centrale, l'approche modµele et la vraisemblance empirique. Dans le plan de sondage strati¯ e nous pr esentons la vraisemblance empirique et le th eorµeme limite centrale. Pour chacun des plans et pour chacune des m ethodes nous pr esentons la th eorie de calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne. Dans

chaque cas, un exemple sera r ealis e avec R a¯n de bien comprendre la th eorie de calcul

d'un intervalle de con¯ance.

Avant-propos

Je tiens µa remercier Monsieur Louis-Paul Rivest, mon directeur de recherche, pro- fesseur au d epartement de math ematiques et de statistique de l'Universit e Laval, de m'avoir accueilli dans son equipe et d'avoir accept e de diriger mes travaux. Je lui dois une grande reconnaissance pour la con¯ance et le soutient qui m'a accord ee, pour sa direction, et ses conseils judicieux tout au long de cette recherche. Ma gratitude va aussi µa Madame H elµene Cr epeau, consultante de l'Universit e Laval qui a co-dirig ee mes travaux de programmation sur SAS. Finalement, je voudrais exprimer la profonde gratitude que j'ai envers mes parents, mes deux s¾urs et mon frµere pour leurs encouragements et leur soutien.

Table des matiµeres

R esum e

Avant-Propos

iii

Table des matiµeres

Liste des tableaux

Table des ¯gures

vii

1 Introduction

2 Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne

2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 M ethode traditionnelle d'estimation de¹. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Approche modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Limites de ces m ethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 La vraisemblance empirique

3.1 Estimation de la fonction de r epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Intervalle de con¯ance pour¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 L'algorithme d etaill e de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 3.4 Etude par simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Plan de sondage strati¯ e µa deux strates

4.1 Th eorie de calcul de l'intervalle de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 L'algorithme d etaill e de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Conclusion

Bibliographie

33
v A Fonction R pour la vraisemblance empirique dans un plan al eatoire simple 34

B Macro SAS

C Le programme R pour l'exemple 2.1

D Le programme R pour l'exemple 2.2

E Le programme R pour l'exemple 3.1

44
F Fonction R pour la vraisemblance empirique dans un plan strati¯ e 46

Liste des tableaux

2.1 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture de l'intervalle de

con¯ance ( 2:2 ) pour les donn ees simul ees selon la distribution ( 2:3 ) avec ¹= 1 etn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Taux de con¯ance r eel obtenu avec un taux nominal de 95% et les taux de

non couverture de l'intervalle de con¯ance ( 2:5 ) pour les donn ees simul ees de l'exemple 2.2 avecn= 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture de l'intervalle de

con¯ance ( 3:7 ) pour les donn ees simul ees de l'exemple 3.1 avecn= 40 . 23

3.2 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture pour les donn ees

simul ees µa partir d'uneN(5;16) tronqu ee µa 0 avecn= 40 . . . . . . . . 24

4.1 Taux de con¯ance r eels et les taux de non couverture pour les donn ees

simul ees µa partir de deux lois exponentielle di® erentes tronqu ees µa 0 avec m= 60 etn= 140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

Table des ¯gures

2.1 Droite de Henry pour les donn ees deT. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 La valeur de½(¹) en fonction de la valeur du paramµetre¹accompagn ee

du quantile deÂ20:95;1pour l'exemple 2:2:avecn= 40 etp= 3=4 = 1=¸ 11

Chapitre 1

Introduction

L'objectif principal de ce travail de recherche est le calcul d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne d'une population asym etrique contenant de nombreuses valeurs nulles. Un intervalle de con¯ance est un outil permettant d'exprimer notre degr e de certitude µa propos des paramµetres d'un modµele statistique. Cet essai est compos e de trois chapitres. Le chapitre 2 pr esente deux m ethodes du calcul d'un intervalle de con¯ance dans un plan de sondage al eatoire simple : m ethode traditionnelle et m ethode bas ee sur un modµele. Dans le chapitre 3, nous expliquons com- ment on peut d eduire un intervalle de con¯ance µa partir de la vraisemblance empirique

pro¯l. Un algorithme d etaill e explique les etapes µa suivre pour trouver cet intervalle

de con¯ance. Aussi, nous comparons les trois m ethodes pr esent ees. Le dernier chapitre est consacr e au calcul d'un intervalle de con¯ance par la vraisemblance empirique pro¯l

dans un plan de sondage stratif e µa deux strates. On y pr esente un algorithme d etaill e

de calcul, suivi d'un exemple qui permet de comparer cette m ethode avec l'intervalle de con¯ance construit µa partir du th eorµeme limite centrale. L'annexe A donne une fonction R qui calcule les bornes d'un intervalle de con¯ance pour la moyenne d eduit µa partir de la vraisemblance empirique dans un plan de sondage al eatoire simple. L'annexe B donne une macro SAS pour accomplir le m^eme travail. L'annexe F pr esente une fonction R qui calcule les bornes d'un intervalle de con¯ance

dans un plan de sondage strati¯ e avec la vraisemblance empirique et le th eorµeme limite

centrale. Avant de commencer, notons que tout au long de ce travail nous nous int eressons seulement µa des variables prenant des valeurs positives ou nulles.

Chapitre 2

Calcul d'intervalle de con¯ance

pour une moyenne

2.1 Notation

La notation suivante est utilis ee dans tout cet essai : (X1;:::;Xn) : est un echantillon al eatoire de taillend'une distributionF, de moyenne¹et de variance¾2 IC : est un acronyme pour Intervalle de Con¯ance. IC ts: est un IC d eduit µa partir de la distribution de Student. IC tlc: est un IC d eduit µa partir du th eorµeme limite centrale. IC mv: est un IC d eduit µa partir de la m ethode du maximum de vraisemblance. IC ve: est un IC d eduit µa partir de la m ethode du maximum de vraisemblance empirique.

100(1¡®)% : est le niveau de con¯ance associ e µa un intervalle.

X=1 n P n i=1Xi: est la moyenne echantillonnale. s 2=1 n¡1P n i=1(Xi¡

X)2: est la variance echantillonnale.

T=p n( X¡¹)=s: est un pivot utilis e pour construire un intervalle de con¯ance pour¹. t n¡1;®=2: d enote le quantile sup erieur d'ordre®=2 de la loi de studenttavec (n¡1) degr es de libert e. z ®=2: d enote le quantile d'ordre®=2 d'une loi normale centr ee et r eduite,N(0;1).

21¡®;1: d enote le quantile d'ordre (1¡®) de la loi de khi-deux avec 1 degr e de

libert e.

Chapitre 2. Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne32.2 M ethode traditionnelle d'estimation de¹

L'estimation de¹par intervalle de con¯ance est couramment utilis ee en pratique.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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Comment calculer la moyenne en statistique avec les intervalles ?

Comment calculer l'intervalle médian ?

Comment calculer une moyenne à partir d'une fréquence ?

MOHAMED RIDHA TEKAYA

Essai pr esent e

FACULT

E DES SCIENCES ET DE G ENIE

UNIVERSIT E LAVAL

QU EBEC

Avril 2006

°Mohamed Ridha Tekaya, 2006

R esum e

100(1¡®)% dans un plan de sondage al eatoire simple, ainsi que dans un plan de sondage

Avant-propos

Table des matiµeres

R esum e

Avant-Propos

Table des matiµeres

Liste des tableaux

Table des ¯gures

1 Introduction

2 Calcul d'intervalle de con¯ance pour une moyenne

2.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 M ethode traditionnelle d'estimation de¹. . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Approche modµele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Limites de ces m ethodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 La vraisemblance empirique

3.1 Estimation de la fonction de r epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Intervalle de con¯ance pour¹. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 L'algorithme d etaill e de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Plan de sondage strati¯ e µa deux strates

4.1 Th eorie de calcul de l'intervalle de con¯ance . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 L'algorithme d etaill e de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Conclusion

Bibliographie

B Macro SAS

C Le programme R pour l'exemple 2.1

D Le programme R pour l'exemple 2.2

E Le programme R pour l'exemple 3.1

Liste des tableaux

2.1 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture de l'intervalle de

2.2 Taux de con¯ance r eel obtenu avec un taux nominal de 95% et les taux de

3.1 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture de l'intervalle de

3.2 Taux de con¯ance r eel et les taux de non couverture pour les donn ees

4.1 Taux de con¯ance r eels et les taux de non couverture pour les donn ees

Table des ¯gures

2.1 Droite de Henry pour les donn ees deT. . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 La valeur de½(¹) en fonction de la valeur du paramµetre¹accompagn ee

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2.1 Notation

100(1¡®)% : est le niveau de con¯ance associ e µa un intervalle.

X)2: est la variance echantillonnale.

21¡®;1: d enote le quantile d'ordre (1¡®) de la loi de khi-deux avec 1 degr e de