[PDF] SIMULATIONS ALGORITHMES EN PROBABILITÉS ET STATISTIQUE(S) AU

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SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

ET STATISTIQUE(S) AU LYCÉE ET AVEC R

I-INTRODUCTION

Que disent les programmes ?

La simulation un outil pratique mais aussi une

alternative didactique

L'outil libre, gratuit et collaboratif R

Analyse de quelques exemples glanés dans les ouvrages II-LA SIMULATION UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉS Ses enjeux didactiques à travers quelques exemples Réinvestir la statistique descriptive, modéliser III-LA SIMULATION UN OUTIL DE RÉSOLUTION DE PROBLÈMES

Quelques exemples emblématiques

Résolution* simulée d'exercices d'annales de bac S IV-EXPLOITER ET PROLONGER UNE EXPÉRIENCE ALÉATOIRE Une séquence de travaux pratiques d'introduction fréquentiste à la probabilité. Du protocole à l'AED

V-CONCLUSIONS

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

QUE DISENT LES PROGRAMMES ?I-INTRODUCTION

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

En seconde (BO n°30 du 23 juillet 2009) :

Statistiques et probabilité : "ces enseignements sont en relation étroite l'un avec l'autre et doivent faire l'objet d'aller et retour". "Concevoir mettre en oeuvre et exploiter des simulations de situations concrètes "...(quid du protocole) L'intervalle de fluctuation d'une fréquence " peut être obtenu de façon approchée par simulation". En première : à l'aide de simulations et d'une approche heuristique de la loi des grands nombres on fait le lien" entre moyenne, variance d'une série et espérance et variance d'une variable aléatoire. On peut simuler une loi géométrique tronquée, une loi binomiale. En terminale : La simulation de sondages sur tableur permet de sensibiliser aux fourchettes de sondage.I-INTRODUCTION SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉSI-INTRODUCTION

QU' EST-CE QUE LA SIMULATION ?

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

Ce que ne précisent pas les programmes ni les

documents d'accompagnement actuels :

Qu'est-ce que la simulation ?I-INTRODUCTION

Le document d'accompagnement [GEPS, 2001] des programmes de première précisait : " Modéliser consiste à associer un modèle à des données expérimentales, alors que simuler consiste à produire des données à partir d'un modèle prédéfini. Pour simuler une expérience, on associe d'abord un modèle à l'expérience en cours, puis on simule la loi du modèle ». Le choix d'un modèle est l'étape préliminaire indispensable, lorsque l'on conçoit une simulation. Modélisation et simulation sont donc indissociables et sont sources d'obstacles didactiques qu'il faut s'efforcer d'identifier et de résoudre. Le schéma suivant (Bernard Parzysz, 2009), illustre bien ces notions : modèle expérience 1 (phénomène étudié)expérience 2Représentation ValidationModélisationsimulationLorsque l'on néglige la phase "modèle", l'expérience 2 est comprise comme une simple représentation de l'expérience 1 ! SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉSI-INTRODUCTION

R : POURQUOI ET COMMENT ?

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

R : un outil polyvalent, libre, performant et

richement documenté, qui permet de mettre en oeuvre les méthodes en Analyse, Probabilités,

Analyse Exploratoire et Statistique.

Notre objectif : en dépassant les simples illustrations de cours, montrer que R permet de mettre facilement en oeuvre la simulation comme : probabilités

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

QUATRE DES INTERFACES DE R :1° - Rcmdr : les menus à cliquerI-NTRODUCTION

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

2° - R-GUI : la console , l'éditeur de script ...I-INTRODUCTION

QUATRE DES INTERFACES DE R:

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

3°-Tinn-R : coloration syntaxique,

complétion, console intégrée ...I-INTRODUCTION

QUATRE DES INTERFACES DE R :

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

4°-RStudio : coloration syntaxique,

complétion, console intégrée , worskpace ...I-INTRODUCTION

QUATRE DES INTERFACES DE R:

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉSI-INTRODUCTION

ALGORITHMES ET PROGRAMMES

DANS LES MANUELS

DANS LES MANUELS : SIMULER LA LOI BINOMIALE

Quelle utilité de la simulation alors qu'on sait facilement calculer des probabilités binomiales (loi annoncée)? On simule 1 valeur de la variable alors qu'une loi c'est une distribution. À la difficulté de décryptage de l'algorithme s'ajoute la difficulté de floor(1+5*random()) Une généralisation est proposée mais encore pour simuler 1 valeur. Pourquoi cette différence de traitement entre n et

B et m ?

Après avoir annoncé une loi binomiale, on

demande ensuite de "tester" le programme. Mais comment ?SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS On n'a pas besoin de la loi binomiale pour simuler cette expérience. Juste le modèle équiprobable, peu lisible ici.I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : SIMULER LA LOI BINOMIALESIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS Un peu plus loin, sous le même titre, on trouve un autre algorithme simulant cette fois M valeurs issues d'un schéma de Bernoulli. On cumule quatre difficultés : algorithme long, modèle équiprobable peu lisible (bien que classique), distribution* simulée de S directement cumulée dans TAB[s], initialisation et affichage du tableau par boucles for().

En b) on demande d'utiliser un autre logiciel

(tableur) puis de comparer distribution* simulée et distribution de probabilité (je suppose), mais comment ?

Pourquoi ne pas réinvestir les outils de la

statistique descriptive ? (je ne l'ai trouvé sur aucun des algorithmes visités !)I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : UN CALCUL D'ESPÉRANCESIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

L'initialisation (voire la

saisie) du tableau ne figure pas dans l'algorithme.

Le langage "naturel" n'est pas

assez précis, d'où la difficulté du passage à la programmation : traduire pixi n'a rien d'évident.

Pertinence de la méthode, par

rapport aux fonctionnalités des langages actuels.I-INTRODUCTION DANS LES MANUELS : SIMULER UN JEU DE LOTERIESIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

Cumul de la difficulté du connecteur

logique, de la boucle TantQue et du positionnement du compter j.

On simule 1 valeur de la variable.

Comment vérifier le fonctionnement

d'une simulation ?

La simulation ne sert pas dans le 2. où

l'on demande le calcul d'une distribution de probabilité et où l'on propose d'utiliser un autre logiciel (calcul formel ?) pour faire un calcul numérique d'espérance.

On peut réaliser tous ces calculs, plus

simplement, avec R, qui fait des illustrations graphiques.I-INTRODUCTION

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

DANS LES MANUELS : CALCULER ET SIMULER L'IF D'UNE VARIABLE

FRÉQUENCE

L'algorithme de calculs des IF est

simplifié avec R.

Je n'ai pas trouvé d'exemple

d'algorithme de simulation d'un IF. Se pose le problème du mode de calcul des quantiles d'une série statistique.

Il est proposé d'exécuter le programme

plusieurs fois. C'est peu réaliste pour

établir un nombre suffisant de

résultats. Pourquoi ne pas prévoir ces répétitions dans l'algorithme lui même ?

Quels critères de cohérence pour

comparer fréquences simulées et probabilité ?I-INTRODUCTION

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

II-LA SIMULATION UN OUTIL DU

COURS DE PROBABILITÉII-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

LE PROBLÈME HISTORIQUE D'UN GRAND DUC DE TOSCANE Simulation : plusieurs modèles et stratégies Calculer des distributions de probabilité Superposer graphiquement fréquences simulées et probabilités LE PROBLÈME HISTORIQUE DU CROIX-PILE DE D'ALEMBERT Simulations , s'arrêter ou pas lorsque l'on gagne Simuler le rang du premier succès Calculer les distributions du rang du premier succès Superposer graphiquement fréquences simulées et probabilités UN MODÈLE D'URNE POUR ÉTUDIER LE NOMBRE DE ROUGES TIRÉES Simuler un modèle d'urne Simuler un intervalle de fluctuation Calculer l'intervalle de fluctuation d'une variable binomiale CONVERGENCE DE LA LOI BINOMIALE VERS LA LOI DE GAUSS Illustration graphique Exploration d'intervalles de fluctuation asymptotiques gaussiens

SIMULATION D'UN PEIGNE D'INTERVALLES DE CONFIANCE

Plusieurs illustrations graphiques CALCUL DE L'INTERVAL DE CONFIANCE "EXACT" D'UNE PROPORTION

Par la méthode de Clopper et Pearson (1934)

II-LA SIMULATION UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉII-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ PROBLÈME HISTORIQUE (1620) DU GRAND DUC DE TOSCANE :

JETER 3 FOIS UN DÉ** (ÉQUILIBRÉ)

S est la variable aléatoire prenant pour valeurs la somme des valeurs des faces obtenues

ALGORITHME A1_1

LIGNES DE COMMANDES POUR SIMULER 1 JEU

(de <- 1:6) # abréviation de seq(from = 1, to = 6, by = 1) [1] 1 2 3 4 5 6 (jeu <- sample(de, 3, T))# abréviation de sample(x = de, size = 3, replace = TRUE) [1] 6 6 4 (s <- sum(jeu)) [1] 16SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉSII-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

L'apport de R ?L'aide sous R : ?sample

L'aide sous RStudio : touche tab sur sample (fonction contextuelle)

PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE :

JETER 3 FOIS UN DÉ**

ALGORITHME A1_2

LIGNES DE COMMANDES POUR SIMULER 2000 JEUX (IDENTIQUES) TABLEAU DES FRÉQUENCES DE LA SÉRIE SIMULÉE de <- 1:6 ; Nbjets = 3 ; nbsim = 2000 ; serieSomNbjets <- NULL for(i in 1:nbsim){ jeu <- sample(de, Nbjets, replace = TRUE) #**** Affichage des résultats et des graphiques************* (tableFreqS <- table(serieSomNbjets) / nbsim) s <- sum(jeu) serieSomNbjets

3 4 5 6 7 8 9 10

0.0045 0.0130 0.0220 0.0390 0.0745 0.0955 0.1190 0.1325

11 12 13 14 15 16 17 18

0.1285 0.1030 0.1045 0.0730 0.0460 0.0235 0.0160 0.0055 serieSomNbjets <- c(serieSomNbjets, s)

}SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS barplot(tableFreqS) L'apport de R ?II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE :

JETER 3 FOIS UN DÉ** ; AVEC LE NOMBRE DE JETS QUI PEUT VARIER

ALGORITHME A1_4

toscaneA1_4 <- function(Nbjets = 3, nbsim = 2000){ jeu <- sample(de, Nbjets, replace = TRUE) s <- sum(jeu) #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("Tableau des fréquences simulées:\n") print(tableFreqS) serieSomNbjets <- c(serieSomNbjets, s) > toscaneA1_4()Tableau des fréquences* simulés : serieSomNbjets

3 4 5 6 7 8 9 10

0.0040 0.0145 0.0270 0.0470 0.0665 0.0980 0.1255 0.1250

11 12 13 14 15 16 17 18

0.1265 0.1035 0.0885 0.0720 0.0550 0.0270 0.0150 0.0050 }

tableFreqS <- table(serieSomNbjets) / nbsim for(i in 1:nbsim){ serieSomNbjets <- NULL ; de <- 1:6SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

barplot(tableFreqS, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Distribution simulée de la variable S") }II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ barplot(tableFreqS, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Distribution simulée de la variable S") } de <- 1:6 seriejets1 <- sample(de, nbsim, replace = T) seriejets2 <- sample(de, nbsim, replace = T) #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** print(tableFreqS) seriejets3 <- sample(de, nbsim, replace = T) > system.time(toscaneA1_6()) serieSom3jets

3 4 5 6 7 8 9 10

0.0045 0.0155 0.0260 0.0435 0.0820 0.0915 0.1225 0.1125

11 12 13 14 15 16 17 18

0.1160 0.1140 0.0975 0.0770 0.0480 0.0260 0.0170 0.0065

utilisateur système écoulé

0.01 0.00 0.03 serieSom3jets <- seriejets1 + seriejets2 + seriejets3

tableFreqS <- table(serieSom3jets) / nbsim > system.time(toscaneA1_4()) serieSom3jets

3 4 5 6 7 8 9 10

0.0070 0.0205 0.0290 0.0430 0.0690 0.0985 0.1200 0.1270

11 12 13 14 15 16 17 18

0.1260 0.1045 0.0955 0.0650 0.0470 0.0290 0.0150 0.0040

utilisateur système écoulé

0.19 0.00 0.19 SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

toscaneA1_6 <- function(nbsim = 2000){PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE : JETER 3 FOIS UN DÉ** - UNE STRATÉGIE POUR ÉVITER LES BOUCLES ALGORITHME A1_6II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE :

JETER Nbjets FOIS UN DÉ À 6 FACES NON ÉQUILIBRÉ

ALGORITHME A1_8

toscaneA1_8 <- function(Nbjets = 3, nbsim = 100){ jeu <- sample(de, Nbjets, prob = probafaces, replace = TRUE) s <- sum(jeu) #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("Tableau des fréquences simulées:\n") print(tableFreqS) serieSomNbjets <- c(serieSomNbjets, s) > toscaneA1_8()Tableau des fréquences* simulés : serieSomNbjets

6 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0.01 0.02 0.04 0.07 0.08 0.14 0.16 0.08 0.19 0.12

17 18

0.06 0.03 }

tableFreqS <- table(serieSomNbjets) / nbsim for(i in 1:nbsim){ serieSomNbjets <- NULL ; de <- 1:6 ; probafaces = de / 21SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

barplot(tableFreqS, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées", main = "Diagramme en barres") L'apport de R ?II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ

PROBLÈME HISTORIQUE DU GRAND DUC DE TOSCANE :

JETER 3 FOIS UN DÉ** : CALCULER LA DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ DE S

ALGORITHME A1_9

probaS3deA1_9 <- function(){ for(j in 1:6){ for(k in 1:6){s[i, j, k] <- i + j + k}

tabloProbaS <- table(s) / 216 for(i in 1:6){ s <- array(0, dim = c(6, 6, 6))SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS

return(tabloProbaS) probaS3deA1_9() s

3 4 5 6 7 8

0.00462963 0.01388889 0.02777778 0.04629630 0.06944444 0.09722222

9 10 11 12 13 14

0.11574074 0.12500000 0.12500000 0.11574074 0.09722222 0.06944444

15 16 17 18

0.04629630 0.02777778 0.01388889 0.00462963

L'apport de R ?plot(probaS3deA1_9(), col = "red",

main = "Distribution de probabilité de S")II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ GRAND DUC DE TOSCANE : SUPERPOSER DISTRIBUTION DE PROBABILITÉ ET DISTRIBUTION* SIMULÉE DE S : ALGORITHME A1_10 toscaneA1_10 <- function(nbsim = 2000){ source("toscaneA1_4bis.r") tableFreqS <- toscaneA1_4bis(nbsim = nbsim) source("probaS3deA1_9.r")

DistribprobaS <- probaS3deA1_9()

#**** Affichage des résultats et des graphiques*********** cat("Tableau des fréquences simulées:\n") print(tableFreqS)SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS barplot(tableFreqS, xlab = "Valeurs de la variable somme", ylab = "Fréquences simulées ou Probabilités", main = "Distribution simulée(barres), probabilité (Points rouges)", ylim = c(0, .14)) > toscaneA1_10()Tableau des fréquences simulés : serieSom3jets

3 4 5 6 7 8 9 10 11

0.0060 0.0165 0.0305 0.0430 0.0610 0.0885 0.1250 0.1130 0.1180

12 13 14 15 16 17 18

0.1270 0.0980 0.0775 0.0535 0.0245 0.0165 0.0015

points(barplot(3:18, plot = FALSE), DistribprobaS, pch = 21, col = "red", bg = "red") }II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER LE PROBLÈME HISTORIQUE (1754) DU CROIX-PILE DE D'ALEMBERT

PREMIER MODÈLE : ALGORITHME A2_1

Un coup consiste à jeter une pièce (croix - pile ) équilibrée, Le jeu , en deux coups au plus , s'arrête dès que je gagne en "amenant croix". Description de la distribution* des modalités des résultats du jeu. croixpileA2_1 <- function(nbsim = 2000){ resultats <- rep(0, 3) ; piece <- c("Croix", "Pile") names(resultats) <- c("GagnéCoup1", "GagnéCoup2", "Perdu") for(i in 1:nbsim){ coup1 <- sample(piece, 1) if(coup1 == "Croix") { resultats[1] <- resultats[1] + 1 } else { coup2 <- sample(piece, 1) if(coup2 == "Croix") { resultats[2] <- resultats[2] + 1 } else { resultats[3] <- resultats[3] + 1 #**** Affichage des résultats et des graphiques*********** print(resultats / nbsim) > croixpileA2_1(nbsim = 5000) (DISTRIBUTION*)

GagnéCoup1 GagnéCoup2 Perdu

0.4915 0.2565 0.2520

L'apport de R ?SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS barplot(resultats / nbsim, ylab = "Fréquences simulées") }II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN SCHÉMA DE BERNOULLI POUR ÉTUDIER LA VARIABLE R : RANG DU PREMIER SUCCÈS : ALGORITHME A3 Un peu de mécanique pour comprendre sum(v. logique) et which() de R qui vont servir à simplifier algorithmes et programmes. Un jeu consiste à lancer une roulette de 18 secteurs équiprobables numérotés de 1 à 18, 20 fois au plus. On compte au bout de combien de fois on obtient 9.SIMULATIONS, ALGORITHMES EN PROBABILITÉS (roulette <- 1:18) [1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 (ResExpe <- sample(roulette, 20, replace = TRUE)) [1] 4 8 2 11 2 1 6 8 11 9 18 17 9 12 16 6 5 15 18 4

ResExpe == 9

[1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE FALSE FALSE [13] TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE as.numeric(ResExpe == 9) [1] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 sum(ResExpe == 9) [1] 2 which(ResExpe == 9) [1] 10 13 (r <- min(which(ResExpe == 9))) [1] 10II-UN OUTIL DU COURS DE PROBABILITÉ SIMULER UN SCHÉMA DE BERNOULLI POUR ÉTUDIER LA VARIABLE R : RANG DU PREMIER SUCCÈS : ALGORITHME A3quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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