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MP - Cours de physique

Jean Le Hir, 3 septembre 2005 Page 1 sur 25

ÉLECTRONIQUE

Chapitre 3

Signaux périodiques non sinusoïdaux

3.1. Définitions : valeur moyenne, valeurs de crête, valeur efficace

Valeur moyenne

La valeur moyenne s d"une grandeur temporelle ()x t calculée sur un intervalle de temps 1 2t t×× est

définie par l"expression suivante : 2 1 2 1 1t t s s t dtt t=-∫

S"agissant d"un signal périodique, lorsque l"on parle de valeur moyenne sans préciser d"intervalle de

temps, celle-ci est implicitement calculée sur une période : Si ()(),s T t s t t+ = " alors ( ) 0 01t T t s s t dtT =∫ est indépendante de l"instant 0t. Nous noterons cette intégrale sous la forme symbolique 1

Ts s t dtT=∫

Valeurs de crête

Un signal électrique est toujours borné. Il existe donc toujours deux valeurs de crêtes qui correspondent

au minimum mins et au maximun maxs observés sur une période.

Valeur efficace

La valeur efficace d"un signal périodique ()s t est égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carré

du signal (en anglais root mean square, ou rms). Elle est notée S. 2 21

TS s t s t dtT= =∫

La valeur

S ainsi définie correspond à la valeur du signal continu qui produirait les mêmes effets

énergétiques. C"est l"origine du qualificatif " efficace ».

Dans le cas particulier des signaux sinusoïdaux, la valeur efficace est égale à l"amplitude divisée par

2 : 2 2m m1 2cos 2T stS s dtT Tp ( )= +j =( )( )∫

Le résultat sera différent a priori dans le cas plus général d"un signal non sinusoïdal.

ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Exemple : étudions le cas d"un signal triangulaire de période T et de valeur moyenne nulle, défini comme

suit : Pour 02 Tt- £ £, ( )41ts t aT( )= - +( )( ) et pour 02

Tt£ £, ( )41ts t aT( )= -( )( )

Calculons la valeur moyenne du carré :

2 2 222 2022 22 2 2

0 0

2 21 4 4 2 41 1 1

3 TT T

T Ta t t a t as S s t dt dt dt dtT T T T T T

Pour un tel signal, la valeur efficace est égale à l"amplitude divisée par

3 : 2

3 aS s= =

3.2. Décomposition en série de Fourier

Spectre en fréquence d"un signal périodique

Théorème de Fourier

Toute fonction périodique intégrable de période T (et de fréquence 1

Tn =n =n =n =) peut s"écrire sous la

forme de la somme de sa valeur moyenne s et d"une série, éventuellement infinie mais toujours convergente, de fonctions sinusoïdales de périodes , , , , ,2 3T T TTn? ?? ?? ?? ? ou, ce qui revient au même, de " pulsations » , 2 , 3 , , ,nw w w ww w w ww w w ww w w w? ?? ?? ?? ? 11

22cos 2cos

n n n n nn nts t s S s S n tT

========pppp( )( )( )( )= + + j = + w + j= + + j = + w + j= + + j = + w + j= + + j = + w + j( )( )( )( )( )( )( )( )∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑

Nous définirons les phases nj de telle sorte que les valeurs efficaces nS non nulles soient positives.

Le premier terme de la série, de période T égale à la période du signal, s"appelle le terme fondamental

tandis que les termes suivants sont qualifiés de termes harmoniques.

Remarque : l"amplitude du terme fondamental n"est pas nécessairement la plus importante (sur l"exemple

représenté ci-après, c"est l"harmonique

3n= qui a la plus grande amplitude). Il se peut même que le

fondamental ait une amplitude nulle.

L"ensemble des deux graphes représentant sous forme de " bâtons » les coefficients nS d"une part et les

phases

nj d"autre part, en fonction de n s"appelle le spectre fréquentiel du signal temporel. On y ajoute le

terme

0S, égal à la valeur absolue de la valeur moyenne du signal,0S s=, et la phase 0j qui est nulle

si la valeur moyenne est positive ou nulle et égale à p si la valeur moyenne est négative. ()s tT t a+- a-- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

JLH 30/03/2008 Page 3 sur 25

Attention ! Le spectre des valeurs efficaces permet d"évaluer quelles sont les énergies

associées aux différentes harmoniques. Cependant, pour reconstituer le signal par synthèse additive, il est nécessaire de connaître aussi le spectre des phases.

Expression des coefficients de Fourier

La série de Fourier peut aussi bien s"écrire sous la forme d"un développement en cosinus et sinus, sous la

forme : 11 1

2cos cos sinn n n n

nn ns t s S n t s a n t b n t = + w +j = + w + w∑ ∑ ∑ avec, bien sûr, les correspondances 2cos 2sin n n n n n n a S b S?= + j? ?= - j? d"où l"on déduit : 2 22n n nS a b= +

Les coefficients

na et nb sont alors donnés par les intégrales de Fourier : 2cos 2 sin nT n

Ta s t n t dtT

b s t n t dtT ?= w? ?= w?

Réflexion générale sur les symétries

L"intégrale sur une période d"une fonction impaire est nulle, tandis que l"intégrale sur une période d"une

fonction paire est égale à deux fois l"intégrale de 0 à 2 T : 2 02 0 T T T f t f t f t dt f f t dt f t f t f t dt f= + -

Représentation temporelleSpectre de Fourier

nS ()s t t 1- 0T2T T nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Parité paire

Si ()s t est une fonction paire, alors ()sins t n tw est une fonction impaire. On en déduit que les

coefficients nb du développement de Fourier en sinus sont nuls pour une telle fonction.

Fonction paire :

1 cosn ns t s t s t s a n t = + -?= + w∑

Parité impaire

Si ()s t est une fonction impaire, alors sa valeur moyenne s est nulle et, ()coss t n tw étant une

fonction impaire, on en déduit que les coefficients na du développement de Fourier en cosinus sont nuls.

Fonction impaire :

1 sinn ns t s t s t b n t = - -?= w∑

Remarque : le théorème de Fourier s"énonce de façon encore plus simple lorsqu"il est appliqué à des

fonctions périodiques de variable réelle à valeur complexe.

Toute fonction périodique intégrable de période T peut s"écrire sous la forme d"une série,

éventuellement doublement infinie mais toujours convergente, de fonctions exponentielles imaginaires. En posant 2 T pw=, cette série s"écrit : ( )in t n ns t c e w =∑ avec ( )[ ] 1in t nTc s t e dtT - w=∫

Les coefficients

nc sont a priori complexes. Si

()s t, comme nous l"envisageons, est une fonction réelle, le développement en série complexe

s"identifie au développement en cosinus et sinus de la façon suivante :

1 1 1 1

cos sin2 2in tin t in tn n n n n n n n n n n na ib a ibs t c e s a n t b n t s e e ww - w - +( ) ( )= = + w + w = + +( ) ( )( ) ( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑ en posant

0c s=, 2

n n na ibc-= pour 0n> et 2 n n na ibc+= pour 0n<. Nous avons alors * n nc c-=

Toujours pour une fonction

()s t réelle, les coefficients nc sont directement liés aux valeurs efficaces nS et à la phase des harmoniques par les relations : 2 2 22
arg arg n nn n n n n na bSc c c c- ?= - = j? ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Exemple d"un signal en créneau impair

Analyse de Fourier

Considérons une fonction créneau symétrique d"amplitude b, de valeur moyenne nulle, " en sinus ».

Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en sinus.

Il existe une symétrie supplémentaire : la fonction translatée d"un quart de période est une fonction paire.

Cela implique que les coefficients de Fourier d"ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement

en série de Fourier de cette fonction créneau s"écrit : ( ) ( )2 1

1sin 2 1k

ks t b k t = - w? ?? ?∑ avec 2 14 1

2 1kbb

k-=p -

Le spectre correspond à des valeurs efficaces

2 1

2 12 2 1

2 12 k kbbS k -= =p - décroissant en 1 n, tandis que les phases ont toutes la même valeur

2 12k-pj = - :

( )( )2 1 2 1 1

2 cos 2 1kk

ks t S k t = - w +j? ?? ?∑ ()s t b+ b- T t nS b spectre en fréquence de la fonction créneau " en sinus » nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Synthèse de Fourier

Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes

harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ()Ns t de la série de Fourier de la fonction créneau, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit : ( )( )( )2 1 2 1

114 12 cos 2 1 sin 2 12 1

NN N kk kkbs t S k t k tk-- === - w +j = - w? ? ? ?? ? ? ?p -∑ ∑

Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d"harmoniques de rang élevé, nous

observons une convergence de la série vers le signal rectangulaire d"origine. ( )( )( )( )( )114 1 1 1sin 2 sin 6 sin 10 sin 463 5 23as t t t t t()= pn + pn + pn + + pn()p()? ?fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 + harmonique 23 Tt 2 T b+ b- ( )( )( )( )34 1 1sin 2 sin 6 sin 103 5as t t t t( )= pn + pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 + harmonique 5Tt 2 T b+ b- ( )( )( )24 1sin 2 sin 63as t t t( )= pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3Tt 2 T b+ b- ( )( )14sin 2bs t t= pnp fondamental Tt 2 T b+ b- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Exemple d"un signal triangulaire pair

Analyse de Fourier

Considérons un signal triangulaire symétrique d"amplitude a, de valeur moyenne nulle, " en moins

cosinus ».

Du fait de sa parité, cette fonction a un développement de Fourier en cosinus. Il existe une symétrie

supplémentaire : la fonction translatée d"un quart de période est une fonction paire. Cela implique que les

coefficients de Fourier d"ordre pair sont nuls. Tous calculs faits, le développement en série de Fourier de

cette fonction triangle s"écrit : ( ) ( )2 1

1cos 2 1k

ks t a k t = - w? ?? ?∑ avec ( )

2 1228 1

2 1 kaak -= -p-

Le spectre correspond à des valeurs efficaces

2 1 2 1

224 2 1

2 2 1 k kaaSk- -= =p- décroissant en 21 n, tandis que les phases ont pour valeur

2 1k-j = p.

( )( )2 1 2 1 1

2 cos 2 1kk

ks t S k t = - w +j? ?? ?∑ ()s tT t a+- a-- spectre en fréquence de la fonction triangle " en sinus » nS a nj ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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Synthèse de Fourier

Réciproquement, nous pouvons reconstituer le signal initial en faisant la somme des différentes

harmoniques. Les graphes suivants correspondent aux sommes partielles ()Ns t de la série de Fourier de la fonction triangle, limitées à la somme des N premières harmoniques non nulles, soit : ( )( )( )( )2 1 2 122

118 12 cos 2 1 cos 2 12 1

NN N kk kkas t S k t k tk === - w +j = - - w? ? ? ?? ? ? ?p-∑ ∑

Au fur et à mesure que nous prenons en compte un plus grand nombre d"harmoniques de rang élevé, nous

observons une convergence de la série vers le signal triangulaire d"origine. Cette convergence est bien

plus efficace que dans le cas d"une fonction " créneau ».

Remarque : la dérivée de la fonction triangle paire ci-dessus est proportionnelle à la fonction créneau

impaire étudiée précédemment. La pente des triangles a pour valeur

44aaT= n.

()( )222 11 cos 2 18 1 8 1sin 2 12 12 1 kk d k tds ta ak tdt dt kk ==- w? ?? ?= - = w - w? ?? ?p p --∑ ∑

En posant

2abw=p, nous retrouvons bien le développement de Fourier de la fonction créneau impaire.

Tt 2 T ( )( )( )( )32 2 28 1 1cos 2 cos 6 cos 103 5as t t t t( )=- pn + pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 + harmonique 5 a+ a- ( )( )( )22 28 1cos 2 cos 63as t t t( )=- pn + pn( )p( ) fondamental + harmonique 3 Tt 2 T a+ a- ( )( )128cos 2as t t= - pnp fondamental Tt 2 T a+ a- ÉLECTRONIQUE Chapitre 3 Signaux périodiques non sinusoïdaux

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3.3. Puissance, relation de Parseval

Théorème de Parseval

Nous admettrons, sans démonstration, le théorème suivant :

La valeur moyenne du carré d"une fonction périodique, aussi bien nommée " carré de sa valeur

efficace », est égale à la somme des carrés des valeurs efficaces de chaque terme de son

développement en série de Fourier.

222 2 2

11 0

2cosn nn n

nn n s t s S n t s t S s S S

= + w + j= + w + j= + w + j= + w + j????= = + == = + == = + == = + =∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑

Remarque : si le développement en série de Fourier est exprimé en cosinus et sinus, le théorème s"énonce

de la même façon, les carrés des valeurs efficaces des termes en cosinus et sinus étant respectivement,

avec les notations d"usage, 2 2 na et 2 2quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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