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Signaux périodiques non sinusoïdaux

3 sept. 2005 Considérons un signal triangulaire symétrique d'amplitude a de valeur moyenne nulle

3 3 2 2

Valeurs moyenne et efficace des signaux périodiques simples : Tension efficace TRMS : ... Signal triangulaire périodique quelconque :.

Décomposition en séries de Fourier dun signal périodique

On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : <>est On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire).

I. Signal périodique

la valeur moyenne d'un sinus (ou d'un cosinus) est nulle. III. Valeur efficace d'un signal. 1. Définition. Les signaux sinusoïdaux ont une valeur moyenne

GELE2511 - Chapitre 1

Qu'arrive-t'il alors `a cette fonction triangulaire lorsque ? ? 0 ? On retrouve trois ca- Calculer la valeur efficace du signal x(t) = Acos(?t).

Exercices sur la valeur moyenne la valeur efficace et la puissance

7 Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal rectangulaire 1 (4 pts). Aucune démonstration n'est demandée. Pour les questions d) à k) ...

BS 1 EL lanalyse harmonique : les séries et la transformée de Fourier

sont les côtés d'un triangle rectangle. L'hypoténuse Dn la valeur efficace de l'harmonique étant ... 4. la valeur efficace d'un signal périodique.

Fiche Pratique : http ://poujouly

Valeurs moyenne et efficace. Analyse des Signaux ver 1.0. Définitions. La valeur moyenne d'un signal périodique est la moyenne des valeurs.

TP11/12 – OSCILLOSCOPE

Pour un signal alternatif le mode DC donnera la valeur moyenne. la forme du signal : carré triangulaire

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3 sept 2005 · La valeur efficace d'un signal périodique ( ) s t est égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carré du signal (en anglais root mean

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Le carré de la valeur efficace d'un signal est égal à la somme des carrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes spectrales 4 Synthèse de Fourier

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Pour calculer la valeur efficace il faut se poser la question : s'agit-il d'un motif sinusoïdal triangulaire carré rectangulaire ou quelconque ? (pour la

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5) On utilise désormais un signal d'entrée triangulaire de valeur maximale 03 V et de fréquence fo La valeur maximale de la tension aux bornes deR est alors

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Définitions La valeur moyenne d'un signal périodique est la moyenne des valeurs instantanées mesurées sur une période complète Si T désigne la période

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x(t)2dt (1 17) C'est la racine carrée de la valeur moyenne du signal au carré Gabriel Cormier 11 GELE2511 Page 12 CHAPITRE 1 SIGNAUX ET SYST `

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Valeurs moyenne et efficace des signaux périodiques simples : Tension efficace RMS : Signal triangulaire périodique quelconque :

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I 3 Valeur efficace d'un signal périodique De nombreux signaux ont une valeur moyenne nulle Cependant ils peuvent transmettre de l'énergie

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Le signal traité est celui de la figure 2a Figure 3: (a)(b)(c)Valeur efficace 1 3(a) On élève au carré I sur une période

Comment calculer la valeur efficace d'un signal triangulaire ?
La valeur efficace d'un signal périodique ( ) s t est égale à la racine carrée de la valeur moyenne du carré du signal (en anglais root mean square, ou rms). Elle est notée S._{3 sept. 2005}
Comment déterminer la valeur efficace d'un signal ?
? La valeur efficace d'un signal sinuso?l est égale à l'amplitude du signal divisée par / 2. On peut, à l'inverse, connaissant x(t) sous la forme x(t) = A cos ?t + B sin ?t, calculer les valeurs de xm et ? en fonction de A et B telles que x(t) = xm cos(?t + ?).
C'est quoi la valeur efficace d'un signal ?
La valeur efficace d'une tension ou d'un courant variables au cours du temps, correspond à la valeur d'une tension continue ou d'un courant continu qui produirait un échauffement identique dans une résistance.
on calcule la Vraie /Racine carrée / de la Moyenne / du Carré du signal. Un appareil RMS calcule la valeur efficace de l'ondulation du signal (position AC). Alors qu'un appareil TRMS (« True » = vraie ») veut dire qu'on prend tout le signal s(t).

I) ASPECf MATHEMATIQUE :

Décomposition en séries de

Fourier d'un signal périodique

1-1) Décomposition en séries de Fourier:

Une fonction périodique f(t) de période T peut, sous certaines conditions mathématiques qui seront toujours réalisées

dans la pratique en physique, se décomposer en une somme de fonctions sinusoï dales de la forme : (décomposition

en séries de Fourier) f(t) = a 0 + L (an cosnwt + bn sinnwt) n=l 2n (n entier et

OJ = -)

Les coefficients ao, au et bn sont indépendants du temps et sont donnés par les intégrales suivantes :

l fT ao =-f(t)dt T o 2fT an =-f(t) cosnwtdt T o 2fT bn =-f(t)sinnwtdt T o

On remarque que a0 est la valeur moyenne de la fonction f(t) : <\>est donc nul si la fonction f(t) est alternative.

Deux cas particuliers :

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet un centre de symétrie situé sur l'axe Ox, alors, en choisissant

ce point comme origine des temps : f( -t)=-f(t)

La fonction f(t) est une fonction impaire ; son développement en séries de Fourier ne comportera que des termes en

sinus (les sont nuls).

*** Si la courbe représentative de la fonction f(t) admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie, alors f(-t)=f(t)

(fonction paire). Le développement en séries de Fourier ne contient alors que des termes en cosinus ((les coefficients

bn sont nuls). 1-2) Spectre en fréquences :

Le terme général an cosnwt + bn sinnwt est appelé harmonique de rang n. Il peut être mis sous la forme :

En posant

en +b; coscpn = , il vient: 2 2 an +bn a an cosnwt + bn sinnwt = en cos(nwt-({Jn) Et la fonction périodique f(t) peut alors s'écrire : f(t) = L,en cos(nwt-cpn) n=l L'harmonique de rang 1 est appelé le fondamental. On obtient la représentation spectrale de la fonction f(t) en portant en ordonnée l'amplitude des harmoniques (les termes a,.., bn ou Cn) et en abscisse les pulsations correspondantes, ce qui conduit au diagramme de la figure ci-contre. (avec ici représentés les coefficients Cn)

1-3) :EXemples de décomposition en séries de

Fourier:

a) Signal carré :

0 (J) 2w 3w 4w

5w / w

f(t) +A -A On considère le signal de la figure ci-contre . La fonction f(t) est impaire et sa décomposition ne contiendra que des termes en sinus. On peut calculer: a 0 = 0

2 fT/2 2A 2A

bn = -T f(t) sinnwtdt = -(1-cosnn) = -(1-( -1t) -T/2 nn nn Par conséquent, la décomposition ne comprend que des harmoniques d'ordre impair : 4A/n f

4A [ . 1 . 1 . 5 ]

(t) =-smwt +-sm3wt +-sm ut+ ... n 3 5 4A/3n 4AJ5n

Son spectre est donné sur la figure ci-contre.

0 (J)

3W sw (J)

b) Signal triangulaire :

On considère le signal triangulaire donné ci-dessous (la fonction f(t) est paire). La décomposition en séries de Fourier

s'écrit alors : f(t)

SA/ri-

SA/9ri

SA/2512-

-A 0 (J)

3w 5W (J)

Signal triangulaire Spectre en fréquences

SA [ 1 1 ]

f(t) = - 2 cos ut +--ycos3wt +

2cos5wt+

n 3 5

On peut remarquer que les harmoniques d'ordre supérieur à 1 sont beaucoup moins importants pour le signal

triangulaire que pour le signal carré, ce qui est naturel puisque le signal triangulaire a une forme proche de celle d'un signal sinusoï dal. c) Signal en dents de scie : f(t) (t) =-smwt--sm2wt + -sm3wt--sm4wt+ ... f

2A [ . 1 . 1 . 1 . J

Tr 2 3 4

-A d) Signal sinusoï da1 redressé: f (t) = -+--cos2wt --cos4üt +-cos6wt+ ...

2A 4A[ 1 1 1 J

Tr Tr 3 3.5 5.7

f(t) A 0 T/2 Il) MISE EN EVIDENCE EXPERIMENTALE DES HARMONIQUES D'UN SIGNAL :

On alimente un circuit série (RLC) par un générateur BF (supposé idéal) délivrant des signaux sinusoï daux,

triangulaires ou carrés. Les valeurs des composants utilisés sont:

L=44mH

C=0,1 f.l.F R=lOQ (résistance de la bobine inconnue)

Un oscilloscope bi courbe permet de visualiser les tensions aux bornes du générateur et aux bornes de R.

1) Faire le schéma du montage utilisé en précisant notamment les branchements de l'oscilloscope.

2) Calculer théoriquement la pulsation et la fréquence de résonance d'intensité, ainsi que le facteur de qualité

du circuit (RLC) série.

3) Expérimentalement,

on détermine la fréquence de résonance d'intensité en injectant une tension sinusoï dale à l'entrée du circuit. On mesure tJ=2390 Hz. La tension maximale d'alimentation est Em=0,3 V et la tension maximale aux bornes deR est UR,max=O,l38 V. a) Déterminer l'intensité maximale dans le circuit à la résonance d'intensité. b)

En déduire la résistance totale du circuit. Quelle est la valeur de la résistance de la bobine ?

4) On utilise maintenant une tension d'entrée carrée, de fréquence tJ et de valeur maximale 0,3 V. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors de 0,175 V.

a) Quelle est la forme et la fréquence de la tension observée aux bornes de R? Tracer, sur un même

dessin, la tension d'entrée et la tension aux bornes deR. b) Quelle est l'intensité maximale dans le circuit ? c) Faire une analyse de Fourier du signal carré et vérifier que les résultats expérimentaux sont en

accord avec cette décomposition. Déterminer notamment le premier coefficient de cette décomposition.

On utilise désormais un signal d'entrée triangulaire de valeur maximale 0,3 V et de fréquence fo. La valeur

maximale de la tension aux bornes deR est alors 0,108 V.

Répondre

aux mêmes questions qu'en ( 4 ).

6) Observation des harmoniques : on diminue lentement la fréquence du signal d'alimentation en gardant la

même valeur pour sa valeur maximale (0,3 V). On observe des résonances secondaires pour lesquelles l'intensité dans

le circuit est sinusoï dale et passe par une valeur maximale. Les résultats numériques sont consignés dans les tableaux

suivants:

Signaux carrés :

flHz) 2390 796 478 342 266

UR(mV)

175 55

40 33 25

Signaux triangulaires :

flHz) 2390 800 480 345

108 12 5 3

Montrer que ces résultats expérimentaux sont en accord avec la décroissance des coefficients de la

décomposition en série de Fourier en 1/n pour le signal carré et en 1/ul pour le signal triangulaire.

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Comment calculer la valeur efficace d'un signal triangulaire ?

Comment déterminer la valeur efficace d'un signal ?

C'est quoi la valeur efficace d'un signal ?