Terminale S
un ? vn = 0. Théorème : Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et elles ont la même limite. 5. Page 8. Fiches de Mathématiques. 2 LES FONCTIONS.
RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES
Fiche 1. Calcul algébrique page 3. Fiche 2. Identités remarquables page 4. Fiche 3 La borne supérieure de A est le plus petit des majorants de A (s'il.
Formulaire de mathématiques terminale S
2. on en fait un tableau de signes. 3. on déduit que sur un certain intervalle A ?B < 0 =? A < B. ¼ Mes méthodes et formules (à compléter toi-même).
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Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite d. Démonstration : Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droite.
FICHE DE RÉVISION DU BAC
Programme selon les sections : - pourcentages : toutes sections. - étude d'une série statistique : S – ES/L – STMG – STL – hôtellerie.
COMBINATOIRE ET DÉNOMBREMENT
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Fiche technique sur les limites. 1 Fonctions élémentaires. Les résultats suivants font +? ?? +? ??. F. Ind. Paul Milan. 1 sur 3. Terminale ES ...
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CONVEXITÉ
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 1. CONVEXITÉ. I. Fonction convexe et fonction concave. Vidéo https://youtu.be/ERML85y_s6E.
RESUME DU COURS DE MATHEMATIQUES
Classes prparatoires conomiques et commerciales option scientifiCatherine∂Laidebeure∂
2009∂Ð∂2010∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy1
Fiche∂1∂Calcul∂algbrique∂ ∂ ∂page∂3∂Fiche∂2
∂Identits∂remarquables∂ ∂page∂4∂Fiche∂3
∂Sommes∂et∂produits∂∂ ∂page∂5∂Fiche∂4
∂Ensembles∂ ∂ ∂ ∂page∂6∂Fiche∂5
∂Rcurrence∂ ∂ ∂ ∂page∂7∂Fiche∂6
∂Ensemble∂des∂rels∂ ∂ ∂page∂8∂Fiche∂7
∂Trigonomtrie∂ ∂ ∂page∂9∂Fiche∂8
∂Nombres∂complexes∂ ∂page∂10∂Fiche∂9
∂Applications∂∂ ∂ ∂page∂11∂Fiche∂1
0∂Polyn™mes∂ ∂ ∂ ∂page∂12∂
Fiche∂1
1∂Logarithme∂nprien∂ ∂page∂13∂
Fiche∂1
2∂Exponentielle∂ ∂ ∂page∂14∂
Fiche∂1
Fiche∂1
4∂Fonctions∂puissances∂ ∂page∂16∂
Fiche∂1
Fiche∂1
6∂Suites∂usuelles∂ ∂ ∂page∂19∂
Fiche∂1
7∂Suites∂numriques∂ ∂ ∂page∂20∂
Fiche∂1
8∂Sries∂numriques∂ ∂ ∂page∂22∂
Fiche∂1
9∂Dnombrement∂ ∂ ∂page∂23∂
Fiche∂20∂Espaces∂probabiliss∂ ∂page∂24∂ Fiche∂24∂Limites∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂29∂ Fiche∂25∂Interprtation∂des∂limites∂ ∂ ∂page∂31∂ Fiche∂27∂Continuit∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂33∂ Fiche∂28∂Drivation∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂34∂ Fiche∂29∂Convexit∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂36∂Fiche∂30∂Plan∂dÕtude∂dÕune∂fonction∂ ∂page∂37∂
Fiche∂31∂Primitives∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂38∂ Fiche∂32∂Intgrales∂dfinies∂ ∂ ∂ ∂page∂39∂ Fiche∂33∂Formules∂de∂Taylor∂∂ ∂ ∂page∂41∂ Fiche∂34∂Dveloppements∂limits∂ ∂ ∂page∂42∂ Fiche∂36∂Espaces∂vectoriels∂ ∂ ∂ ∂page∂45∂ Fiche∂37∂Applications∂linaires∂ ∂ ∂page∂47∂ Fiche∂38∂Matrices∂ ∂ ∂ ∂ ∂page∂49∂ Fiche∂39∂Changement∂de∂base∂ ∂ ∂page∂51∂ Fiche∂40∂Rduction∂des∂endomorphismes∂ ∂page∂52∂ Fiche∂41∂Couples∂de∂variables∂alatoires∂ ∂page∂53∂ Fiche∂42∂Convergences∂et∂approximations∂ ∂page∂54∂ Fiche∂43∂Fonctions∂de∂deux∂variables∂ ∂page∂55∂Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy2
fiche n°1CALCUL ALGEBRIQUE
Fractions
ba est défini si et seulement si 0 =b.00βαβa
ba )(SgnSgnabbaβ{}+??? bd bcad dc ba bdac dc baβ? bcad dc baβ: bacc baβ? bca cba bac c baβPuissances
10βa aaan??β... (n fois) si *
?≠n nn aa1β- nnaaβ1 abbealnβ si 0 •a cbcb aaa?β? cb cb aaa bccbaaβ ccc abba)(β? c cc ba ba{}+???βInégalités
Pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe d e leur dif férence 0 abba. ba et cb c (on note cba ba et ""ba ""bbaa ba ""bbaa (seulement s"ils sont positifs) cbcaba cbcaccbcacba fiche n°1 (suite)Racines carrées
a est l"unique solution positive de l"équation axβ2. a est défini si et seulement si 0 ?a. 0?a aaβ2 aaβ2 baabβ ba baβ si 0 ?a et 0 •b baba??? Mais en général baba?=? baba?α??0β?αβ20
babba babba si 0 ?aValeurs absolues
aaaaa donc ),Max(aaaaa a et00β
0?a2aaβ pour tout a réel
baabβ ba baβ si 0 =b baba??? Mais en général baba?=? baba?≥??0 Mais abba?≥??0 bababa babbabababa ou ou si 0 ?bInverses
a b fiche n°2IDENTITES REMARQUABLES
Identités usuelles
2222)(bababa==β=
2222)(bababa=αβα
22))((bababaαβ=α
bcacabcbacba222)(2222=====β==3223333)(babbaaba===β=
3223333)(babbaabaα=αβα
))((2233babababa==αβα ))((2233babababa=α=β=Généralisation
βαααβαβα1
01 101)()(n
kknk n kkknnnbababababaLa formule
nnba= ne se généralise que si n est impairα=β=1
01 )1()(n kkknknnbababaFormule du binôme de Newton
00( )nn
nk n kn k k kknn a b a ba b kkααββ} + } += ββ? ? ? ?? ? ? ?{ { avec
nn k k n kPropriétés :
αkn
knn et 1 1 n n nk k k=Conséquence
0 2 n n kn k 0 ( 1) 0 nk kn k? ?? ?{ Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy4
fiche n°3SOMMES ET PRODUITS
Propriétés des Sommes
nn kk k p k p u u ( )nn n k k k k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn k kk k p k p k q u u u ( 1) n k p a a n pα 1 1( )n
k k n p k p u u u uSommes usuelles
1 ( 1)2 n kn n k 2 1 ( 1)(2 1) 6n kn n n k 2 2 3 1 ( 1)4n kn n k 1 01 1n nk n kx xS x x{ = =?α si 1 ?x Si 1 ?x : 1 0 nk n kkx S x ==α 2 0 ( 1) " ( ) nk n kk k x S xPropriétés des Produits
1nnn p
kk k pk p uu ( )n n n k kk k k pk p k p u v u v Si p q n} + 1q nn kkk k p k p k q u u u 1 n n p k pa a 1 1 n k nk p k p u uu u{ {Produit usuel
1! n kk n ? Propriétés : !)1(!)1(nnn et 1!0Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy5
fiche n°4ENSEMBLES
Inclusion
Un ensemble A est inclus dans un ensemble E (
E A= ) si tout élément de A est élément de E. Alors A est une partie de E. Si A B= et B C= alors A C= etA B A B B Aβ α = =
L"ensemble des parties de E est noté )(E?.
Intersection de deux parties de E
}BxAxExBA+++β?et/.Deux ensembles A et B sont disjoints si
Lβ ?BA.Propriétés
A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si B A= et CARéunion de deux parties de E
}BxAxExBA+++β?ou/.Propriétés
A B B A )()(CBACBA noté CBA CBA si et seulement si CA et CBDistributivité
)()()(CBCACBA )()()(CBCACBAComplémentaire
}AxExA?+β/ .Propriétés
A AβLβ?AA
E A A B A= si et seulement si A B=Lois de Morgan
B A B A B A B ADifférence de deux parties de E
/ etA B x E x A x B? β + + ?.
DoncA B A B? β ?
fiche n°4 (suite)Différence symétrique de deux parties de E
/ ou (exclusif)A B x E x Ax B? β + ++.
Donc )()(BABABA
Donc )()()()(BABABABABA???β???β?.Partition d"un ensemble E
Des parties
1A,2A, ..., nA de E forment une partition de E si :
- Elles sont deux à deux disjointes :Lβ?jiAA si
j i≠ - Leur réunion est E : EAn i iβ βa 1.Cas particulier
: une partie A et son complémentaire A.Produit cartésien de deux ensembles
}FyExyxFE++β-et/),( }EyExyxE++βet/),(2 Par récurrence, on généralise au produit de plusieurs ensembles et pE est l"ensemble des p-listes ),...,(1pxx d"éléments de E.Résumé du cours de mathématiques - ECS1 - Catherine Laidebeure - Lycée Albert Schweitzer, Le Raincy6
fiche n°5RECURRENCE
Premier théorème de récurrence
Soit )(nP est une propriété définie pour tout entier 0nn=. Si les deux condi tions suivantes sont vérifiées :1) Initialisation
: )(0nP est vraie.2) Hérédité
: Chaque fois que )(nP est vraie pour 0nn=, alors )1(βnP est vraie.
Alors )(nP est vraie pour tout entier 0nn=.
Conseils de rédaction d"une récurrence
α Bien définir la propriété )(nP .
α Initialisation
: Déterminer le premier entier 0n et démontrer que0nP est vraie.
α Hérédité
: Supposer que )(nP est vraie pour un entier 0nn=.Démontrer que (pour ce n) )1(
βnP est vraie.
α Conclusion
: En appliquant le théorème, conclure que )(nP est vraie pour tout entier 0nn=. Deuxième théorème de récurrence (récurrence forte) Soit )(nP est une propriété définie pour tout entier 0nn=. Si les deux condi tions suivantes sont vérifiées :1) Initialisation
: )(0nP est vraie.2) Hérédité
: Chaque fois que (pour un entier 0nn=) )(kP est vraie jusqu"à n (c"est-à-dire pour tout entier k tel que nkn{{0), alors )1(βnP est vraie.
Alors )(nP est vraie pour tout entier 0nn=.
Conseils de rédaction
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