Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le mental ou univers ou ensemble des possibles. Exemples : - lancer d'un dé.
Cardinalité des ensembles finis
Deux ensembles (fini ou non) sont équipotents ou de même cardinal s'il lorsqu'on tire au hasard un élément dans un univers finis ? de manière.
Mathématiques pour la finance
o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :.
Probabilités
3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini Cardinal d'un ensemble ... Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F.
Le nom dAdam et les points cardinaux Recherches sur un Theme
en grec 6tait form6 des initiales des quatre points cardinaux: Anatol& les quatre points cardinaux de l'univers
Probabilités sur un univers fini.
16 janv. 2018 cardinal de E et on note. Card(E) = n ou.
Chap. J1 : dénombrement et probabilités dans un univers fini
13 juin 2016 de ce qu'est une probabilité sur un ensemble (univers) fini ?. ... Ce nombre n défini de façon unique par le a)
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 Cardinal. Soit E un ensemble fini. Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté. Card(E).
Chapitre 11 - Probabilités sur un univers fini
Remarque : Faire du dénombrement c'est déterminer le cardinal d'un ensemble
Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités cas dun univers
cas d'un univers fini. ?. 1 Introduction. Des actions comme lancer un dé tirer une carte d'un jeu
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Le cardinal de A noté A est le nombre d'éléments que contient A (exemple) Proposition 9 Additivité Soient A et B deux ensembles finis disjoints (c'est-`
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Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons
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6 mar 2008 · R : L'univers est ? = {12 365} n de cardinalité ? = 365n Plutôt que de travailler avec l'ensemble G travaillons avec son
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3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E
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Lors d'une expérience aléatoire on appelle univers noté ? l'ensemble des On appelle cardinal d'un ensemble le nombre d'éléments de celui-ci
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o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :
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n désigne le cardinal du nombre de parties à k éléments la modélisation : l'introduction d'un univers dénombrable permet comme nous l'avons déjà dit
Dénombrement
4 fév 2017 · Définitions: Ensemble fini cardinal singleton paire permutation arrangement combinaison; Notions: liste ordonnée ou non avec ou sans
Quel est le cardinal de l'univers ?
En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.Comment se calcule le cardinal ?
Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.- Le cardinal d'un ensemble E se note : n(E). Certains auteurs utilisent aussi : card(E). Cette notation est toutefois beaucoup moins fréquente.
Ch 1. Ensembles et d´enombrementI. EnsemblesD´efinition 1Un ensemble est une collection de choses
qu"on appelle´el´ements. L"ensemble vide est not´e∅. Dans la suite, on consid`erera toujours un ensemble universel Ω(on lit"grand om´ega"), et tous les ensembles consid´er´es seront des parties deΩ. On noteP(Ω)l"ensemble des parties deΩ. Exemple. D´efinition 2SoientAetBdeux ensembles. On d´efinit : -A?B, l"union deAetB, est l"ensemble des´el´ements qui sont dansAou dansBou dans les deux. -A∩B, l"intersection deAetB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansAet dansB. -A\B, la diff´erenceAmoinsB, est l"ensemble des´el´e- ments qui sont dansA, mais pas dansB. -AΔB, la diff´erence sym´etrique deAetB, l"ensemble des´el´ements qui sont soit dansAsoit dansB, mais pas dansA∩B. -Acou A, le compl´ementaire deA, l"ensemble des´el´e- ments qui ne sont pas dansA. 1 On repr´esente graphiquement, d´es que c"est possible, les ensembles grˆace`ades diagrammes de Venn.Proposition 3Premi`eres relations :
- commutativit´e:A∩B=B∩A,A?B=B?A. - associativit´e:A∩(B∩C) = (A∩B)∩C=A∩B∩C,A?(B?C) = (A?B)?C=A?B?C.
- distributivit´e:(A?B)∩C= (A∩C)?(B∩C),A?(B∩C) = (A?B)∩(A?C).
-(A?B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac?BcProposition 4 (R`egles de De Morgan)
n? i=1A i? ∩B=n? i=1(Ai∩B) n? i=1A i? ?B=n? i=1(Ai?B) n? i=1A i? c=n? i=1Aci,? n? i=1A i? c=n? i=1AciD´efinition 5SoientAetBdeux ensembles. On pose
C={(a,b) :a?A,b?B}. On appelleCl"ensemble
produit deAetBet on le noteA×B. 2 (exemples, g´en´eralisation) v´erifie les deux conditions : -Ai∩Aj=∅pour tousi?=j n? i=1A i= Ω (exemples, g´en´eralisation) D´efinition 7SoitA?Ω. On d´efinit surΩla fonction indicatrice deA,1lA, par : ?ω?Ω,1lA(ω) =?1siω?A0sinon
(exemple) 3II. Cardinaux
D´efinition 8SoitAun ensemble fini. Le cardinal deA, not´e|A|, est le nombre d"´el´ements que contientA. (exemple)Proposition 9Additivit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, disjoints (c"est-`a-direA∩B=∅). Alors
|A?B|=|A|+|B|Proposition 10Multiplicativit´e
SoientAetBdeux ensembles finis, etC=A×B. Alors
|C|=|A| · |B| (preuve)Corollaire 11Principe du d´enombrement
On r´ealise deux exp´eriences qui peuvent produire respec- tivementnetmr´esultats diff´erents. Au total, pour les deux exp´eriences prises ensemble, il existen.mr´esultats possibles. Corollaire 12SoitAun ensemble fini de cardinaln. Le nombre de suites de longueurrconstitu´ees d"´el´ements deAestnr.
4Proposition 13 (Inclusion-exclusion)SoientAetB
deux ensembles finis. |A?B|=|A|+|B| - |A∩B| Plus g´en´eralement, pournensembles finisA1,...,An, |A1? ··· ?An|=n? i=1|Ai| -? iProposition 181)?n
p?=?n n-p? 2) ?n p?=?n-1 p?+?n-1 p-1?3)(x+y)n=?np=0?n
p?xpyn-p Corollaire 19SoitΩun ensemble fini de cardinaln. Le cardinal deP(Ω)vaut2n. preuve : il existe 1 partie`a0´el´ement, il existenparties`a1´el´ement, il existe?n p?parties`ap´el´ements, il existe 1 partie`an´el´ements.Finalement, le nombre total de parties est
n p=0? n p?=n? p=0? n p?1r1n-r= (1 + 1)n= 2n Th´eor`eme 20On consid`erenobjets, parmi lesquelsn1 sont indistinguables,...,nrsont aussi indistinguables. Le nombre de permutations diff´erentes estn! n1!···nr! exemple : combien d"anagrammes de STAT? 4!/2!=12 7 exemple :r´esultat du loto (6 num´eros). - mani`ere de voir 1 : on regarde en direct le tirage du loto et on obtient un arrangement de 6 nombres pris dans {1,...,49}. On a alorsω= (x1,...,x6): les 6 nom- bres sortis avec leur ordre d"arriv´ee. Quel est le nombre de tirages diff´erents? A 649= 49?48?47?46?45?44 = 10.068.347.520
Mais on peut gagner les 6 bons num´eros quel que soit l"or- dre de sortie des 6 num´eros... - mani`ere de voir 2 : on regarde les 6 nombres sortis sans s"occuper de l"ordre d"arriv´ee.On a alorsω={x1,...,x6}. D"o`uΩest l"ensemble des combinaisons de 6 nombres pris dans{1,...,49}.Quel est le nombre de tirages diff´erents?
496?=49?48?47?46?45?44
6?5?4?3?2= 13.983.816
remarque :(1,2,3,4,5,6)?= (2,1,3,4,5,6), mais {1,2,3,4,5,6}={2,1,3,4,5,6} 8Ch 2. Le mod`ele probabiliste
I. Ensemble fondamental et ´ev´ene-
ments D´efinition 21Une exp´erience al´eatoire est une action, une proc´edure, qui donne un r´esultat impr´evisible, mais dont on connaˆıt pr´ecis´ement l"ensemble des r´esultats pos- sibles. Cet ensemble, not´eΩ, est appel´eensemble fonda- mental ou univers ou ensemble des possibles.Exemples :
- lancer d"un d´e. On observera un r´esultatk? {1,...,6}. - sondageaupr`es de 1000 utilisateursd"un t´el´ephoneportable.On observera le nombre d"abonn´es`aorange.
- questionnaire`a100 r´eponses binaires. On observera des suitesωde 100 r´eponses prisesdans{0,1};ω? {0,1}100. - parcours d"un taxi. On observera une fonction continue (trajectoire). - mise en service d"un ordinateur. On observera sa dur´ee de fonctionnement qui appartient`aR+. 9 D´efinition 22Onappelle´ev´enement´el´ementairetout´el´e- mentωdeΩ. C"est un r´esultat possible de l"exp´erience al´eatoire. On appelle´ev´enement toute partie deΩ. Pour d´esigner des´ev´enements, on utilisera souvent des let- tres capitales du d´ebut de l"alphabet (A,B,...). Exemples : - on lance un d´e. AlorsΩ ={1,...,6}. L"´ev´enementA:"on obtient un chiffre pair"est consti- tu´edes trois´ev´enements´el´ementaires 2, 4 et 6. On a :A={2,4,6}.
- on lance trois fois une pi`ece de monnaie. Il est bon que les´ev´enements´el´ementaires d´ecrivent le plus pr´ecis´ement possible le r´esultat de cette exp´erience. On choisit donc de d´ecrireωpar un triplet(r1,r2,r3)qui donne les r´esul- tats des trois lancers (dans l"ordre). L"´ev´enementB:"on obtient pile au deuxi`eme lancer"estB={(f,p,f),(f,p,p),(p,p,f),(p,p,p)}
Il n"est parfois pas n´ecessaire de connaˆıtre tous ces d´etails. On pourra aussi choisir :ωrepr´esente le nombre de"face" obtenus. Alors,Ω ={0,1,2,3}. Le mod`ele est beau- coup plus simple, mais ne permet pas de d´ecrire des´ev´ene- ments tels queB. Et les calculs qui vont suivre ne sont pas forc´ement simples, eux. Il existe plusieurs mani`eres de mod´eliser l"ensemble fonda- mental. Le choix du mod`ele est un des aspects difficiles de ce cours. 10Vocabulaire probabiliste
Nous allons manipuler des ensembles, mais en utilisant un vocabulaire propre aux probabilit´es. Si le r´esultatωde l"exp´erience al´eatoire appartient`aA, on dit queωr´ealiseA, ou queAest r´ealis´e. Ainsi,Ω, qui est toujours r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement certain. Et∅, qui n"est jamais r´ealis´e, est appel´e ´ev´enement impossible.SiAetBsont deux´ev´enements,
-A?Bse dit"AimpliqueB"(car siAest r´ealis´e,B aussi), -A?Bse dit"AouB"(car siA?Best r´ealis´e,AouBest r´ealis´e),
-A∩Bse dit"AetB", -Acest l"´ev´enement contraire deA, -A∩B=∅se dit"AetBsont incompatibles", ou encore disjoints. Exemple : On lance un d´e. On poseΩ ={1,...,6}. Soit Al"´ev´enement"on obtient un chiffre pair". Le contraire de A,Ac, est l"´ev´enement"on obtient un chiffre impair". 11II. Probabilit´es
Pensez`aquelques phrases de la vie courante qui conti- ennent le mot"probabilit´e". On constate qu"on parle tou- jours de la probabilit´ed"un´ev´enement. Consid´erons donc un´ev´enementA. Que repr´esente la probabilit´edeA, not´eeP(A)? Il existe plusieurs mani`eres de voir.
- Proportion : On lance un d´e. Quelle est la probabilit´edeA="obtenir un chiffre pair"? Chaque face du d´ea la mˆeme chance, et il y en a 6. Quant aux chiffres pairs, ils sont 3. D"o`u, intuitivement,P(A) =36= 1/2.
- Fr´equence : On lance une pi`ece de monnaie. Quelle est la probabilit´e d"obtenir FACE? On lance une pi`ece un grand nombre de fois. Notonsknle nombre de FACE obtenus en lan¸cantn fois la pi`ece. AlorsP(FACE) = limn→+∞k
n n - Opinion : Quelle est la probabilit´epour que les´etudiants votent au second tour des pr´esidentielles? Quelle est la probabilit´e pour que l"´equipe de Montceau gagne la coupe? pour que l"OL soit championne de France? 12quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28[PDF] experience aleatoire definition
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