Cardinalité des ensembles finis PDF

Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le mental ou univers ou ensemble des possibles. Exemples : - lancer d'un dé.

Cardinalité des ensembles finis

Deux ensembles (fini ou non) sont équipotents ou de même cardinal s'il lorsqu'on tire au hasard un élément dans un univers finis ? de manière.

Mathématiques pour la finance

o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :.

Probabilités

3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini Cardinal d'un ensemble ... Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F.

Le nom dAdam et les points cardinaux Recherches sur un Theme

en grec 6tait form6 des initiales des quatre points cardinaux: Anatol& les quatre points cardinaux de l'univers

Probabilités sur un univers fini.

16 janv. 2018 cardinal de E et on note. Card(E) = n ou.

Chap. J1 : dénombrement et probabilités dans un univers fini

13 juin 2016 de ce qu'est une probabilité sur un ensemble (univers) fini ?. ... Ce nombre n défini de façon unique par le a)

Quelques notions mathématiques de base

22 janv. 2017 Cardinal. Soit E un ensemble fini. Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté. Card(E).

Chapitre 11 - Probabilités sur un univers fini

Remarque : Faire du dénombrement c'est déterminer le cardinal d'un ensemble

Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités cas dun univers

cas d'un univers fini. ?. 1 Introduction. Des actions comme lancer un dé tirer une carte d'un jeu

[PDF] Ch 1 Ensembles et dénombrement I Ensembles II Cardinaux

Le cardinal de A noté A est le nombre d'éléments que contient A (exemple) Proposition 9 Additivité Soient A et B deux ensembles finis disjoints (c'est-`

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Deux ensembles (fini ou non) sont équipotents ou de même cardinal s'il lorsqu'on tire au hasard un élément dans un univers finis ? de manière

[PDF] Dénombrement

Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons

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6 mar 2008 · R : L'univers est ? = {12 365} n de cardinalité ? = 365n Plutôt que de travailler avec l'ensemble G travaillons avec son

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3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E

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Lors d'une expérience aléatoire on appelle univers noté ? l'ensemble des On appelle cardinal d'un ensemble le nombre d'éléments de celui-ci

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o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :

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n désigne le cardinal du nombre de parties à k éléments la modélisation : l'introduction d'un univers dénombrable permet comme nous l'avons déjà dit

Dénombrement

4 fév 2017 · Définitions: Ensemble fini cardinal singleton paire permutation arrangement combinaison; Notions: liste ordonnée ou non avec ou sans

Quel est le cardinal de l'univers ?
En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.
Comment se calcule le cardinal ?
Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .
Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?_o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.
Le cardinal d'un ensemble E se note : n(E). Certains auteurs utilisent aussi : card(E). Cette notation est toutefois beaucoup moins fréquente.

Cardinalité

Université de Toulouse

Année 2020/2021

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Cardinalité des ensembles finis

Cardinalité des ensembles finis2 / 23

Ensembles équipotents

SoientE=fa;b;c;dgetF=f1;2;3g.Il existe une application surjective deEsurF, mais pas d"application injective.Il existe application injective deFsurE, mais pas d"application surjective. En fait, il n"y a pas assez d"éléments dansF(ou trop peu dansE). Le cardinal d"un ensemble précise la notion de nombre d"élémentsEnsemble de même cardinal Deux ensembles (fini ou non) sontéquipotentsou demême cardinals"il existe une bijection entre eux. Cardinalité des ensembles finisEnsembles équipotents3 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté

Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Pour montrer que cet entier est définit de manière unique, on prouve la

proposition suivante :Proposition S"il existe une application injective def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors nk.S"il existe une application surjective def1;:::;ngdansf1;:::;kg alorsnk.S"il existe une application bijection def1;:::;ngdansf1;:::;kgalors n=k.Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Cardinal d"un ensemble fini

Définition

Un ensembleEestfinisiE=;ou si9n2?tel queEest en bijection avecf1;:::;ng. Cet entier est unique, il est appelé lecardinaldeEnoté Card(E). SiE=;, on poseCard(E) =0.Qui se traduit de la manière suivante avec les cardinaux.

Proposition

SoientEetFdeux ensembles finis. On a :Il existe une application injective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application surjective deEdansFsi et seulement si Card(E)Card(F).Il existe une application bijective deEdansFsi et seulement si Card(E) =Card(F).Cardinalité des ensembles finisCardinal d"un ensemble fini4 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Il y a au moins deux personnes à Paris qui ont exactement le même nombre de cheveux.Principe des tiroirs généralisé SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>kCard(F)aveck2?alors il existe une valeur defqui est répétée au moinsk+1 fois.Cardinalité des ensembles finisPrincipe des tiroirs5 / 23

Principe des tiroirs

SoientEetFdeux ensembles finis non vides etf:E!Fune application. SiCard(E)>Card(F)alors il existex1;x22Etels quef(x1) =f(x2).Nombre moyen de cheveux : 150000

Nombre d"habitant à Paris : 2,2 million

Dénombrement

Dénombrement6 / 23

Pourquoi dénombrer un ensemble fini?

En informatique vous utiliserez la notion de dénombrement au moins dans

les deux cas de figures suivants :dénombrer le nombre de cas à analyser par un algorithme en vu

d"étudier sa complexité;lorsqu"on tire au hasard un élément dans un univers finis de manière équiprobable (c"est à dire que chaque élément à la même probabilité d"être tiré), la probabilité que cet élément soit dans l"ensembleA est

P(A) =Card(A)Card(

):DénombrementMotivations7 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)AB

abcd efgh DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles Union

Card(A[B) =Card(A) +Card(B)Card(A\B)

Card(A[B[C) =Card(A) +Card(B) +Card(C)Card(A\B)

Card(A\C)Card(B\C) +Card(A\B\C)AB

C abcd efgh i jkl m DénombrementOpération sur les ensembles8 / 23 Dénombrement et opérations sur les ensembles

Produit cartésien

Card(AB) =Card(A)Card(B)

Card(A1 An) =Card(A1) Card(An)a

1a 2a 3a

4(a1;b1)(a1;b2)(a1;b3)(a2;b1)(a2;b2)(a2;b3)(a3;b1)(a3;b2)(a3;b3)(a4;b1)(a4;b2)(a4;b3)A=fa1;a2;a3;a4g,B=fb1;b2;b3g,Card(AB) =43=12DénombrementOpération sur les ensembles9 / 23

Dénombrement et opérations sur les ensembles

Passage au complémentaire

Card A

=Card(

)Card(A)DénombrementOpération sur les ensembles10 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples :

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

Permutation denélémentsNombre de façon de rangernobjets dans l"ordre. n! =n(n1)(n2) 21Examples : Voici les 4! =24 permutations de quatre éléments distincta,b,cetd: abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cdba cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba

DénombrementArrangement11 / 23

Arrangement

De combien de façons pouvez-vous ranger 10 livres sur une étagère?DénombrementArrangement11 / 23