Ch 1. Ensembles et dénombrement I. Ensembles II. Cardinaux
Corollaire 12 Soit A un ensemble fini de cardinal n. Le mental ou univers ou ensemble des possibles. Exemples : - lancer d'un dé.
Cardinalité des ensembles finis
Deux ensembles (fini ou non) sont équipotents ou de même cardinal s'il lorsqu'on tire au hasard un élément dans un univers finis ? de manière.
Mathématiques pour la finance
o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :.
Probabilités
3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini Cardinal d'un ensemble ... Si E et F sont deux ensembles finis le cardinal du produit cartésien E × F.
Le nom dAdam et les points cardinaux Recherches sur un Theme
en grec 6tait form6 des initiales des quatre points cardinaux: Anatol& les quatre points cardinaux de l'univers
Probabilités sur un univers fini.
16 janv. 2018 cardinal de E et on note. Card(E) = n ou.
Chap. J1 : dénombrement et probabilités dans un univers fini
13 juin 2016 de ce qu'est une probabilité sur un ensemble (univers) fini ?. ... Ce nombre n défini de façon unique par le a)
Quelques notions mathématiques de base
22 janv. 2017 Cardinal. Soit E un ensemble fini. Le nombre des éléments de E est appelé cardinal de E. Il est noté. Card(E).
Chapitre 11 - Probabilités sur un univers fini
Remarque : Faire du dénombrement c'est déterminer le cardinal d'un ensemble
Chapitre 1: Introduction au calcul des probabilités cas dun univers
cas d'un univers fini. ?. 1 Introduction. Des actions comme lancer un dé tirer une carte d'un jeu
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Le cardinal de A noté A est le nombre d'éléments que contient A (exemple) Proposition 9 Additivité Soient A et B deux ensembles finis disjoints (c'est-`
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Définir la notion de cardinal et les opérations sur les cardinaux Formule du crible 3 Notion de dénombrabilité 4 Arrangements permutations et combinaisons
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6 mar 2008 · R : L'univers est ? = {12 365} n de cardinalité ? = 365n Plutôt que de travailler avec l'ensemble G travaillons avec son
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3 Variable aléatoire réelle sur un univers fini 4 Variable aléatoire continue Si E est un ensemble fini le cardinal de E est le nombre d'élément de E
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Lors d'une expérience aléatoire on appelle univers noté ? l'ensemble des On appelle cardinal d'un ensemble le nombre d'éléments de celui-ci
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o`u card(E) représente le cardinal de E c'est `a dire le nombre d'événements élémentaires contenus dans Prenons comme univers les couples de résultats :
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n désigne le cardinal du nombre de parties à k éléments la modélisation : l'introduction d'un univers dénombrable permet comme nous l'avons déjà dit
Dénombrement
4 fév 2017 · Définitions: Ensemble fini cardinal singleton paire permutation arrangement combinaison; Notions: liste ordonnée ou non avec ou sans
Quel est le cardinal de l'univers ?
En particulier, le cardinal de l'ensemble vide est zéro. La généralisation de cette notion aux ensembles infinis est fondée sur la relation d'équipotence : deux ensembles sont dits équipotents s'il existe une bijection de l'un dans l'autre.Comment se calcule le cardinal ?
Calcul du cardinal
1Si n = 0 alors E = ? donc E × F = ? donc la propriété est vérifiée.2Sinon, il existe une liste bijective ( x1 , … , x n ) sur E et on note pour tout i ? ?1 ; n ?, A i = { x i } × F .Quel est le cardinal de N ?
Cantor utilisa la notation hébraïque ? (aleph, 1ère lettre de l'alphabet hébreu choisie au détriment des lettres grecques déjà trop utilisées) pour désigner les nombres transfinis : ?o est le cardinal de N. Un ensemble équipotent à N est dit dénombrable. Tout sous-ensemble infini de N est équipotent à N lui-même.- Le cardinal d'un ensemble E se note : n(E). Certains auteurs utilisent aussi : card(E). Cette notation est toutefois beaucoup moins fréquente.
Chapitre 2
Le calcul des probabilitesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Equiprobabiliteet Distribution UniformeDeux evenementsAetBsont ditsequiprobablessiP(A) =P(B)Si il y a equiprobabilite sur
, cad si tous les evenements elementaires ont la m^eme probabilite. On parlera alors de distribution de probabilite uniformeDenitionOn appelledistribution uniformesur
la fonction de distribution qui assigne la m^eme valeur a tous les evenements elementaires. Si =f!1;!2;:::;!ng, la distribution de probabilite uniforme s'ecritp(!) =1n ,8!2Remarque :On a bien alorsX
!2 p(!) =n:1n = 1Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilitede LaplaceSi la distribution de probabilites sur est uniforme, la probabilite d'un evenementEest deni parP(E) =card(E)card(
ou card(E) represente le cardinal deEc'est a dire le nombre d'evenements elementaires contenus dansERemarque :On a bienP(
) = 1P(A[B) =P(A) +P(B) siA\B=; (car alors card(A\B)=0)Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisExemple
On lance deux des et on fait la somme des resultats. Soit E="le total est 7". Quelle est la probabilite deE?Si on choisit comme evt elementaires la somme : =f2;3;:::;12g, la distribution n'est pas uniforme(une seule maniere d'obtenir 2, plusieurs d'obtenir 7)Prenons comme univers les couples de resultats :
=f(i;j);1i6;1j6gAlors la distrib est uniforme et card(
) = 62= 36 (arbre)
E=f(1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)g
)card(E) = 6 etP(E) =636 =16 Probleme : Comment calculer les cardinaux dans des problemes plus compliques (loto foot, tierce, jeux de carte)? Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisDenombrementsOn considere une experience
a plusieurs etapes telle que le nb d'issuesma l'etapenne depend pas duresultat des etapes precedentesle nb d'issuesmpeut dierer selon les etapeson cherche le nb de manieres dont l'exp peut se derouler
Soit une t^ache qui se deroule enretapes. Siil y an1facons de realiser la premiere etape,pour chaque des cesn1facons, on an2possibilites... et ainsi de suite jusqu'anr
Alorsle nombre total de facons dont cette tache peut sederouler est donne par le produitN=n1:n2:n3:::nrRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisListes
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unep-liste deEest une collectionordonneedepelements deE:x1;x2;:::;xp;xi2E8iRemarques
on tient compte de l'ordre un m^eme element peut revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage avec remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, avec remise apres chaque tirage. Le resultat est une 3-liste def1;2;:::;10gAutres exemples :une grille de loto-foot est une 16-liste def1;N;2gun code PIN a 4 chires est une 4-liste def1;2;:::;9gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.1
Il existenpp-listes de E (oun= card(E))(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecn1=n2=:::=np)Exemplesil y a 10
3= 10:000 tirages (de 10 boules avec remise)
possibles (cf. arbre)il y a 316= 43:046:721 grilles de loto foot possiblesil y a 9
4= 6:561 codes PIN a 4 chires possiblesRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisArrangements
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unp-arrangement deE
est une collectionordonneedepelementsdistinctsdeE (pn):x1;x2;:::;xp;xi2E xi6=xjsii6=jRemarques on tient compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage sans remise: Une urne contient 10 boules numerotees. On extrait 3 boules, sans remettre les boules tirees. Le resultat est une 3-arrangement de f1;2;:::;10g Autres exemples :Le tierce gagnant dans une course a 18chevaux est un 3-arrangement def1;2;:::;18gRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.2
Il existeApn=n!(np)!p-arrangements de E(on utilise la formuleN=n1:n2:::npavecni+1=ni1 )ni=ni+ 1)Denition Soitkun entier positif. La factorielle dek(ou factoriellek), notek! est deni park!k(k1)(k2):::1 =kY i=1i.Par convention 0! = 1Exemples :1! = 1 ; 2! = 2x1 = 2 ; 3! = 3x2x1 = 6
Propriete :p:(p1)! =p!Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisAinsi,
Apn=n!(np)!=n(n1):::(np+1)(np)!(np)!=n(n1):::(np+ 1)Cas particulier:sip=n(classement complet dans l'ordre),
A pn=n! et on parle depermutationdeE(une permutation est donc unn-arrangement) ExemplesIl y aA310= 10x9x8 = 720 tirages (de 10 boules sans remise) possibles (cf. arbre)Il y aA318= 18x17x16 = 4896 tierces dans l'ordre possibles Application :Si equiprobabiliteproba de toucher le tierce dans l'ordre= 14896= 0;02%proba de toucher le tierce dans le desordre= 54896
= 0;10% ((acb);(bac);(bca);(cab);(cba)) Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris
Combinaisons
Denition
SoitEun ensemble denelements. Unep-combinaison est une collectionnon ordonneedepelementsdistinctsdeE (pn)Remarques on ne tient pas compte de l'ordre un m^eme element ne peut pas revenir plusieurs fois Exemple type :Tirage du loto. C'est une 6-combinaison de f1;2;:::;49g Autres exemples :Un tierce, dans le desordre, d'une course a 18 chevaux est une 3-combinaison def1;2;:::;18gune "main"au poker (tirage de 5 cartes) est une5-combinaison de l'ensemble des 32 cartes
Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisTheoreme 2.3
Il existeCpn=n!(np)!p!p-combinaisons de ERemarque
C pnest aussi appele "coecient binomial"et est parfois note n pC pn=Apnp!="arrangements de p elements""permutation des p elements" (Cnn= 1)Exemples:il y aC649=49!43!6!
= 13:983:816 tirages possibles du lotoil y aC318=18!15!3! =18x17x163x2x1= 816 tierces possibles dans le desordreil y aC532= 201:376 mains possibles dans un jeu de 32 cartes Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisProprietes des combinaisonsPropriete 1 (symetrie)
C pn=CnpnInterpretation C pn=nb de facons d'extrairepelmts d'un ens denelmtsC npn=nb de facons de laisserpelmts dans ens denelmtsPropriete 2 (Triangle de Pascal) C p1 n1+Cp n1=CpnExemple C649tirages possibles du LotoC
648tirages possibles ne contenant pas la boule 1C
548tirages possibles contenant la boule 1
)necessairementC548+C648=C649Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisEnsemble des parties:P(E)Denition
SoitEun ensemble denelements. L'ensemble des parties deE est alors deni parP(E) =fA=AEgExemples
E=;, cardE= 0,P(E) =f;g, cardP(E) = 1E=fag, cardE= 1,P(E) =f;;fagg, cardP(E) = 2E=fa;bg, cardE= 2,P(E) =f;;fag;fbg;fa;bgg,
cardP(E) = 4 = 22Theoreme 2.4 cardP(E) = 2n= 2cardE"Demonstration"P(E) =C0n+C1n+C2n+:::+Cnn+ Bin^ome de Newton: (a+b)n=Conanb0+:::+Cknankbk+:::+Cnna0bnRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Permutations d'objets partiellement indiscernablesSoitnobjets que l'on decompose enpgroupes:
n=n1+n2+:::+np. A l'interieur de chaque groupes les objets sont indiscernables.Le nombre de permutations de ces objets est
n!n1!n2!:::np!
ExemplesDe combien de facon peut-on aligner 3 boules rouges, 2 vertes et 5 bleues?10!5!3!2!
= 2520Combien de "mots"de 6 lettres peut-on former avec les lettre S, R, R, E, E, E?6!3!2!1!
= 60Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP aris Probabilites Subjectives : Les ParisProbl^eme :Les distributions de probabilites ne sont pas toujours uniformes et on ne peut pas toujours denir des probabilites objectives! ExemplesProbabilite que le TeFeCe batte l'OM ou qu'un actif soit en hausse. On peut toutefois conna^tre les probabilites subjectives que chaque individu attache a ces evenements a l'aide des paris! Si je suis pr^et a payer 2 euros si Toulouse gagne pour recevoir1 euro quand Marseille gagne, cela signie que je pense que la
probabilite que Marseille gagne est 2=3Renaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
Distribution UniformePr obabilited eLap laceD enombrementsLe sP arisPlus generalement,
paris arcontre 1 que l'evenementEse realise. ,Earfois + de chance de survenir que de ne pas survenir, cadP(E) =rP(E))P(E) =rr+1(carP(E) +P(E) = 1)Cas general d'une c^ote arcontres:P(E) =r=sr=s+1=rr+sSi on connait la probaP(E) =p, on ar=s=p1pRenaud Bourles -Ecole Centrale MarseilleMathematiques pour la nance
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