Volume dun tétraèdre
Le volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur. V = 1. 3. ×B×h. La base est l'une des
La géométrie des tétraèdres
L'aire d'un triangle peut se définir en termes de puzzles mais en général le volume d'un tétraèdre ne peut pas se définir ainsi ! ? Troisième problème de
AIRE ET VOLUME
Calculer le volume d'un parallélépipède rectangle. Calculer le volume d'un prisme droit tétraèdre régulier (deux patrons différents proposés).
Tétraèdre et octaèdre Question Réponse
Prenons le côté de nos polyèdres réguliers comme unité de longueur et calculons les deux volumes. Rappelons tout d'abord que le volume d'une pyramide ? de
SOLIDES USUELS (le cube le parallélépipède
https://mathsansbosse.fr/files/p/exercices%20sur%20les%20solides%20usuels.pdf
Annales sur la géométrie dans lespace
2) Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales puis que H est l'orthocentre du triangle ABC. 3) Calcul de OH a) Calculer le volume V du tétraèdre
Untitled
Quel est le volume de ce pavé droit ? ? 24 cm3. ? 9 cm3. ? 4 cm3. ? 20 cm3 Jeu 16 : Le tétraèdre ... Jeu 18 : Sudoku irrégulier niveau 2.
Les polyèdres réguliers convexes et non convexes par pliage
Montage du Tétraèdre : . Un polyèdre est un volume dans l'espace délimité par des polygones (faces du polyèdre) qui se trouvent dans.
Chimie PCSI
On appelle une maille un volume de l'espace qui permet de reconstituer par translation
Edulibre
Tétraèdre. Patrons de solides. Page 8. Fiche 8. Pyramide à base carrée 1 Fiche 22. Tétraèdre tronqué. Patrons de solides. Page 23. Fiche 23. Cuboctaèdre.
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Le volume d'un tétraèdre (pyramide à base triangulaire) est égal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur V = 1 3 ×B×h La base est l'une des
[PDF] Diverses expressions du volume du tétraèdre - Numdam
Ainsi le volume d'un tétraèdre est égal au sixième du produit de trois arêtes issues du même sommetP multiplié par la quantité A qui est une f onction
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L'aire d'un triangle peut se définir en termes de puzzles mais en général le volume d'un tétraèdre ne peut pas se définir ainsi ! ? Troisième problème de
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On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par la formule = 1 3 × ? où est l'aire d'une base du tétraèdre et ? la hauteur correspondante 6
[PDF] Vingt-quatre tétraèdres pour un cube
22 août 2016 · De même le volume d'une pyramide ne dépend que de l'aire de sa base et de la longueur de sa hauteur (la distance entre le sommet et la base) C
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Quel est le rapport entre le volume d'un octaèdre régulier et celui d'un tétraèdre Le tétraèdre régulier est une pyramide dont la base est un triangle
[PDF] Note Géostatistique nº 30 - Formules de la pyramide tronquée
même volume a pour côté 0 49 a et pour équivalent linéaire 1 32a soit un équivalent de 10 environ plus fable que celui du tétraèdre Tétraèdre plat
Volume Tetraedre PDF Orthogonalité Triangle - Scribd
Le volume d'un ttradre (pyramide base triangulaire) est gal au tiers du produit de l'aire de sa base par sa hauteur 1 V = Bh 3 La base est l'une
tétraèdre - Gerard Villemin - Free
Le tétraèdre est une sorte de pyramide dont on peut calculer le volume en utilisant une formule classique avec la hauteur * Ici nous donnons notamment la
Comment on calcule le volume d'un tétraèdre ?
On rappelle que le volume d'un tétra?re est donné par la formule ? = 1 3 ? × ?, où ? est l'aire d'une base du tétra?re et ? la hauteur correspondante.Comment vérifier qu'un tétraèdre est régulier ?
Important ?Les caractéristiques du tétra?re régulier sont les suivantes : Deux arêtes ayant une extrémité commune forment un angle de 60? Les quatre faces sont des triangles équilatéraux isométriques.Quelle est la formule d'un tétraèdre ?
En fonction de la longueur a de l'arête, les formules suivantes permettent de calculer le volume V et l'aire A d'un tétra?re régulier : V = ?212a3. A = ?3a2.- Corollaire 1 : La hauteur des tétra?res trirectangles relative à la face équilatérale est le tiers de la diagonale du cube d=c?3.
La géométrie des tétraèdres
Philippe TILLEUIL
Collège Sainte Marie - Mouscron
S.B.P.M. - 27 août 2013
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20131 / 63Résumé
La géométrie des tétraèdres
L"exposé sera consacré à quelques problèmes concernant la géométrie des tétra- èdres (quelconques), en commençant par les comparer à des questions analogues pour les triangles du plan. Ce sera l"occasion de se promener à travers quelques points d"histoire de cette géométrie, et aussi d"en esquisser quelques prolongements actuels. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20132 / 63Introduction
De quoi sera-t-il question(s)?
On va discuter de la manière detransposerdes idées, desdé- finitions, des propriétés de la géométrie plane pour développer des idées, desdéfinitionset des propriétés de la géométrie dans l"espace.Plus précisément, la géométrie (élémentaire) des triangles est-elle un (bon)modèlede la géométrie (élémentaire) des tétraèdres?En bref :Beaucoup de questions!
Quelques réponses ...
La question de la méthode ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20133 / 63Introduction
Y a t-il une histoire?
Ça remonte (évidemment) à Euclide ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20134 / 63Introduction
... et Archimède, Euler, etc. Mais laissons parler un " débutant » : "Les pyramides triangulaires tiennent, par leur simplicité, parmi les corps solides le même rang que les triangles parmi les figures planes; car de même que toute figure plane rectiligne peut être regardée comme composée de triangles, de même aussi tout corps solide terminé par des plans peut être supposé formé de pyramides triangulaires; mais si les Géomètres se sont toujours beaucoup occupés de l"étude des triangles et n"ont cessé d"en approfondir les propriétés, ils n"ont fait, ce me semble, qu"effleurer celles des pyramides triangulaire; et des principaux Problèmes qu"on peut proposer sur ces sortes de solides, il n"y en a encore qu"un très-petit nombre qui ait été résolu ... »J. L. Lagrange (1736-1813)Solutions analytiques de quelques problèmes
sur les pyramides triangulaires- Nouveaux mémoires de l"Académie Royale des Sciences etBelles-Lettres de Berlin (1773).
Cela deviendra unleitmotiv.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20135 / 63
Introduction
De 1773 à 1965(!), il se passe bien des choses concernant la géométrie dutétraèdre et, plus généralement, la géométrie dans l"espace :dans un grand nombre de revues :
les Annales de Gergonne, les Annales Scientifiques de l"Ecole Normale Supérieure, le Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (ou Journal de Liouville), les Nouvelles Annales de Mathématiques, le Bulletin de la Société Mathématique de France, l"Ensei- gnement Mathématique, les Commentarii Mathematici Helvetici, le Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (ou Journal de Crelle), les Mathematische Annalen, le Jah- resbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, l"Archiv der Mathematik und Physik (ou Archives de Grünert), les Elemente der Mathematik, le Duke Mathematical Journal, The Analyst/Annals of Mathematics, l"American Mathematical Monthly, les Philosophical Transactions of the Royal Society of London, le Tohoku Mathematical Journal, Mathesis (1881-1915 & 1922-1965), etc. (!Digizeitschriften, Project Euclid,NUMDAM, Gallica, JSTOR,etc.)Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20136 / 63
Introduction
et dans beaucoup de livres : Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20137 / 63Introduction
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20138 / 63Introduction
(!DML/Bielefeld, Gallica,BookFinder,etc.)Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 20139 / 63
Introduction
Un exemple ... exemplaire
L"aire d"un triangle peut se définir en termes de puzzles,maisen général le volume d"un tétraèdre ne peut pas se définir ainsi! !Troisième problème de Hilbert (1900 - 1901 - 1965 - ...)Et maintenant? La géométrie du tétraèdre - et plus généralement, la géométrie de l"espace - a donc été (très) bien étudiée, avant de tomber dans l"oubli. En se plongeant dans la littérature qui s"y rapporte, on peut commencer à comprendre pourquoi :on ne s"y retrouve pas! Mais cela change, et il se passe actuellement des choses très intéressantesen géométriedes petites dimensions.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201310 / 63
Introduction
Mais dans une classe, à quoi tout cela sert-il? Un formidable réservoir de questions et de problèmes, de difficultés très variées. A distinguer : les questions de niveau " enseignement secondaire », et les questions -élémentaires! - mais qui ne sont pas de ce niveau.La fabrication des images!Cabri 3DUn terrain d"expériences pour les idées et les méthodes :
l "importancede la géométrie des figures, l "intérêtd"une métho deinductive : les questions " naturelles », l acritique et la reconstruction de sdéfinitions, l aconvergence/divergence s ynthétique-vectoriel, e tc. (Re-)construire de la géométrie dans ma tête, avant d"essayer d"en intro- duire dans celle des élèves. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201311 / 63Introduction
Au travail!
La géométrie des triangles est-elle un (bon)modèlede la géométrie des tétraèdres?Beaucoup de questions!Quelques réponses ...
La question de la méthode ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201312 / 63Qu"est-ce qu"un tétraèdre?
Qu"est-ce qu"un tétraèdre?
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201313 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Présentation des figurantsI. Présentation des figurants
@(ABC) =BCAC+AB@(ABCD) =BCDACD+ABDABCPhilippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201314 / 63
Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
II. Des exemples
1. Qu"est-ce qui correspond à un triangle équilatéral?Un tétraèdre régulier ...
Question
Comment dessiner (correctement) un tétraèdre régulier? Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201315 / 63Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
II. Des exemples
1. Qu"est-ce qui correspond à un triangle équilatéral?Un tétraèdre régulier ...
Question
Comment dessiner (correctement) un tétraèdre régulier? Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201315 / 63Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
2. Qu"est-ce qui correspond à un triangle rectangle?Un tétraèdre trirectangle ...
Question
Quelle peut être la forme de la facenon triangle rectangled"un tétraèdre trirectangle?Question
Existe-t-il un tétraèdre donttoutesles faces sont des triangles rectangles?Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201316 / 63
Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
... ou un tétraèdre quadrirectangle, ou orthoschème Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201317 / 63Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
3. Qu"est-ce qui correspond à un triangle isocèle ... ou équilatéral?
Si on s"intéresse aux propriétés des faces, ou des arêtes ...QuestionCaractériser les tétraèdres dont les périmètres des faces triangulaires sont constants.
Question
Caractériser les tétraèdres dont les aires des faces triangulaires sont constantes.!tétraèdresisocèles, ouéquifaciaux.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201318 / 63
Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Des exemples
4. PérilsLa botanique des tétraèdres se révèle celle d"une jungle, dans laquelle
il est prématuré - ou même dangereux! - de trop s"aventurer.Le foisonnement des détails, propriétés remarquables, etc. a, de plus,
probablement tué le sujet (cfr. la période après 1900 ...)5. Des contre-exemples, pour d"autres questionsQu"est-ce qu"un polyèdre régulier convexe?
Un tétraèdre isocèle a toutes ses faces isométriques; le " double tétraèdre régulier » n"est
formé que de triangles équilatéraux, etc.Tous les polyèdres sont-ilstétraédralisables, comme le pensait
Lagrange?
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201319 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Un fantôme précieuxIII. Un fantôme précieux
Un cube permet de réaliser un représentation fidèle - et utile! - d"un tétraèdre régulier.Cela n"est pas limité au tétraèdre régulier!C"est ce qu"on appelle le
parallélipipède-enveloppe du tétraèdre.Il n"a pas de " correspon-
dant triangulaire »! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201320 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Un fantôme précieux Le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre mérite qu"on s"y intéresse : il est utile!Question Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre trirectangle.Question
Dessiner et caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre quadrirectangle.Question
Caractériser le parallélipipède-enveloppe d"un tétraèdre isocèle. Le parallélipipède-enveloppe parle aux arêtes gauches du tétraèdre! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201321 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?IV. Plus simple qu"un tétraèdre?
Un tétraèdre est formé de 3quadrilatères gauchesqui sont " bien enchaînés ». Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201322 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? Heureusement, les arêtes d"un quadrilatère gauche sont aussi gauches que le quadrilatère ...... et permettent de retrouver le tétraèdre qui se cache derrière le quadrilatère. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201323 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?1. Un peu de caractérisations
Dans toutes les questions suivantes, on ne s"intéresse qu"aux quadrilatères gauchesnon dégénérés, c"est-à-dire non plans.QuestionCaractériser les quadrilatères gauches dont tous les angles sont droits, et les côtés opposés
sont égaux.Caractériser les quadrilatères gauches dont tous les angles sont droits.Question
Caractériser les quadrilatères gauches dont 3 angles sont droits, et un couple de côtés opposés sont égaux.Caractériser les quadrilatères gauches dont 3 angles sont droits. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201324 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? Dans le plan, les angles opposés d"un parallélogramme sont égaux - et donc supplémentaires! - et cela suffit à caractériser un parallélogramme.Question Caractériser les quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux etsupplémentaires.Caractériser les quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux.
Un tétraèdre équifacial est un bon sujet d"expérience pour cette question.Mais on peut construire des quadrilatères gauches dont les angles opposés sont égaux et dont
tous les côtés sont de longueurs différentes. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201325 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre?2. Un peu de généralisationsUn classique : le parallélogramme (plan) médian. C"est un fantôme du
fantôme! Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201326 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? " CACAC » est uncritère d"isométriedes quadrilatères plans. Pour les quadrilatères gauches, il faut le faire évaluer en : " CA C DAC ».Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201327 / 63 Qu"est-ce qu"un tétraèdre?Plus simple qu"un tétraèdre? La somme des angles (intérieurs) d"un quadrilatère gauchen"estpas constante, et les exemples ne manquent pas! Une relation élémentaire, qui réduit pas mal de questions :0 Question
Si on choisit un point sur chaque côté d"un quadrilatère gauche, à quelle(s) condition(s) ces 4 points sont-ils coplanaires?Si les côtés opposés d"un quadrilatère gauche sont égaux, il possède
unaxede symétrie.Etc. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201328 / 63 Anatomie d"un tétraèdre
Anatomie d"un tétraèdre
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201329 / 63 Anatomie d"un tétraèdreQu"est-ce qui détermine un tétraèdre? I. Qu"est-ce qui détermine un tétraèdre?
Le modèle : les cas d"isométrie des triangles (CCC:::;CAC;ACA).Une adaptation : quelques cas d"isométrie des tétraèdres.
P resqueévident : CCCCCC . ..
U nair connu : CA
C DAC L ecas " vecto riel» : CA CACAQuestion
Construire le tétraèdre pour lequelb=c=d=1etb0=c0=d0=0;55.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201330 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! II. Il y a trop d"angles dans un tétraèdre!
Dans un triangle, il y a 3 angles (intérieurs), et Pangleintérieur=.
1. Les 22 candidatsLes angles " tout à fait plans » : ce sont les angles (intérieurs) de
face, aux sommets du tétraèdre. Il y en a 34=12.
On a évidemment :
Xangleintérieurde face=4Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201331 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " dans l"espace mais plans » : ce sont lesangles dièdresle long des arêtes du tétraèdre. Il y en a donc 6.Comme 66=5, il devrait y avoir une relation ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201332 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " tout à fait dans l"espace » : ce sont lesangles trièdres aux sommets du tétraèdre. Il y en a donc 4.Dans un trièdre, il y a tout : angles de face et dièdres! CACACA)les angles de face
doivent déterminer les angles dièdres. Et la réciproque est vraie. Les angles trièdres pourraient correspondre aux angles (intérieurs) d"un triangle... Pour que ce soit intéressant, Il faut savoir les mesurer. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201333 / 63 Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! 2. L"angle solide
Comme un angle trièdre est " tout à fait dans l"espace », il possède une mesure appropriée, analogue à la mesure d"angle sur le cercle : c"est l"angle solide.(D) =b+c+d0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201334 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Deux trièdres de même angle solide ne sont donc pas nécessairement isométriques. ... Mais ils sontéquidécomposables! Lasommedes angles solides d"un tétraèdre est-elle constante?Question Calculer la somme des angles solides
d"un tétraèdre régulier; d"un tétraèdre trirectangle " cubique »; d"un tétraèdre quadrirectangle " cubique ». 12Arc cos13
4=2;205142394:::6Arc cosp3
3 =2;590307055:::23 =2;094395102:::.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201335 / 63
Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ... III. Une petite merveille ...
1. ... Dans un triangle!
a! b cLesvecteurs (unitaires) normaux extérieurs1 èresrelations :
!b;!c=A Etc.2 èmerelation :
!b;!c+\!c;!a+\!a;!b=23 èmerelation :
a!a+b!b+c!c=!0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201336 / 63
Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ... Pourquoi est-ce merveilleux?Les 1
èresrelations ne sont peut-être pas si merveilleuses que ça, mais avec la 2 èmerelation, on en déduit :
A+B+C=La 3
èmerelation - écrite " en composantes » - impliqueen même temps larègle des sinus et laforme généralisée du théorème de Pythagore!Ladémonstrationde la 3èmerelation est remarquablement simple :
une rotation de2 !Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201337 / 63 Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ... 2. ... Mais surtout dans un tétraèdre!
ABC! ACD BCD! ABDLesvecteurs (unitaires) normaux extérieurs1
èresrelations :
!ABC;!ABD=b0 Etc.2 èmerelation :
!ABC;!ABD;!ACD+!ABC;!ABD;!BCD+ !ABC;!ACD;!BCD+!ABD;!ACD;!BCD =43 èmerelation :
S(ABC)!ABC+S(ABD)!ABD+
S(ACD)!ACD+S(BCD)!BCD=!0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201338 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
IV. ... Son langage ...
1. Les outilsLe calcul vectoriel.
Le produit scalaire "» et ses propriétés.Le produit vectoriel "» et ses propriétés géométriques;
-les définitions (vecteur normal à un plan vectoriel, aire orientée d"un parallélogramme, ...) -les significations géométriques (orthogonalité, orientation et antisymétrie, ...)-les propriétés algébriques (bilinéarité, antisymétrie, ...)
8 !u:!u!u=!0() 8!u;!v:!u!v=!v!u Et tout n"est pas dit ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201339 / 63 Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
Le déterminant,et ses propriétés géométriques. -les définitions : dét !u;!v;!w=!u!v!w =VOL!u;!v;!w-les propriétés qui s"ensuivent,-et les autres propriétés, par exemple dét(A B) =détA détB Et là aussi, tout n"est pas dit ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201340 / 63 Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
2. Un exemple
La preuve de la 3
èmerelation
Par définition :
8>>>< >>:S(ABC)!ABC=!AB!BC S(ABD)!ABD=!AB!BD
S(ACD)!ACD=!AC!CD
S(BCD)!BCD=!BC!CD
Or, !AB!BC!AB!BD=!AB!BC+!DB =!AB!DC AC!CD!BC!CD=!AC+!CB
!CD=!AB!CD Dès lors ...
Avec^et, ce sera encore plus proche de la démonstration du cas triangulaire ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201341 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Et ses conséquences V. ... Et ses conséquences
Au point de vue des angles trièdres : rien, si ce n"est Xangleintérieurde face=4Au point de vue des angles dièdres : larelation de Clausen(qui confirme que 66=5). dét 0 B B@1cosb0cosc0cosd
cosb01cosd0cosc cosc0cosd01cosb cosdcosccosb11 C CA=0 Par produits scalaires de la 3
èmerelation avec les v.u.n., on forme
un système linéaire homogène en lesS(ABC), ... Etc. !Conjecture de Stoker ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201342 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Et ses conséquences Pour la relation généralisée de Pythagore, le cas du triangle est un modèle parfait. ka!ak2=kb!bc!ck2 Etc. Dans le cas du tétraèdre, les formules sont plus longues, et font intervenir les angles dièdres des arêtes.Pour la règle des sinus, on travaille par produit vectoriel dans le cas du
triangle. Dans le cas du tétraèdre, par déterminants géométriques, on obtient : où sntAest lesinus triédrique(oueckensinus) du trièdre de sommet A- et pas de l"angle solide(A)! - défini par :
sntA:=sinc0sinA1sinb0=sinc0sinA2sind0=sinb0sinA3sind0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201343 / 63
Anatomie d"un tétraèdreLe retour du volume
VI. Le retour du volume
1. Une formule très simple, et très compliquée
Le parallélipipède-enveloppe et le déterminant géométrique montrent que le volumeVd"un tétraèdreABCDest donné par V=16 dét!AB;!AC;!AD Or, on a la relation :
0 @AB xAByABz AC xACyACz AD xADyADz1 A 0 @AB xACxADx ABquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Question
Si on choisit un point sur chaque côté d"un quadrilatère gauche, à quelle(s)condition(s) ces 4 points sont-ils coplanaires?Si les côtés opposés d"un quadrilatère gauche sont égaux, il possède
unaxede symétrie.Etc. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201328 / 63Anatomie d"un tétraèdre
Anatomie d"un tétraèdre
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201329 / 63 Anatomie d"un tétraèdreQu"est-ce qui détermine un tétraèdre?I. Qu"est-ce qui détermine un tétraèdre?
Le modèle : les cas d"isométrie des triangles (CCC:::;CAC;ACA).Une adaptation : quelques cas d"isométrie des tétraèdres.
P resqueévident : CCCCCC . ..
U nair connu : CA
C DACL ecas " vecto riel» : CA CACAQuestion
Construire le tétraèdre pour lequelb=c=d=1etb0=c0=d0=0;55.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201330 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre!II. Il y a trop d"angles dans un tétraèdre!
Dans un triangle, il y a 3 angles (intérieurs), etPangleintérieur=.
1. Les 22 candidatsLes angles " tout à fait plans » : ce sont les angles (intérieurs) de
face, aux sommets du tétraèdre.Il y en a 34=12.
On a évidemment :
Xangleintérieurde face=4Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201331 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " dans l"espace mais plans » : ce sont lesangles dièdreslelong des arêtes du tétraèdre. Il y en a donc 6.Comme 66=5, il devrait y avoir une relation ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201332 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Les angles " tout à fait dans l"espace » : ce sont lesangles trièdresaux sommets du tétraèdre. Il y en a donc 4.Dans un trièdre, il y a tout : angles de face et dièdres! CACACA)les angles de face
doivent déterminer les angles dièdres. Et la réciproque est vraie. Les angles trièdres pourraient correspondre aux angles (intérieurs) d"un triangle... Pour que ce soit intéressant, Il faut savoir les mesurer. Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201333 / 63 Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre!2. L"angle solide
Comme un angle trièdre est " tout à fait dans l"espace », il possède une mesure appropriée, analogue à la mesure d"angle sur le cercle : c"est l"anglesolide.(D) =b+c+d0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201334 / 63
Anatomie d"un tétraèdreIl y a trop d"angles dans un tétraèdre! Deux trièdres de même angle solide ne sont donc pas nécessairement isométriques. ... Mais ils sontéquidécomposables! Lasommedes angles solides d"un tétraèdre est-elle constante?QuestionCalculer la somme des angles solides
d"un tétraèdre régulier; d"un tétraèdre trirectangle " cubique »; d"un tétraèdre quadrirectangle " cubique ».12Arc cos13
4=2;205142394:::6Arc cosp3
3 =2;590307055:::23=2;094395102:::.Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201335 / 63
Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ...III. Une petite merveille ...
1. ... Dans un triangle!
a! b cLesvecteurs (unitaires) normaux extérieurs1èresrelations :
!b;!c=A Etc.2èmerelation :
!b;!c+\!c;!a+\!a;!b=23èmerelation :
a!a+b!b+c!c=!0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201336 / 63
Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ...Pourquoi est-ce merveilleux?Les 1
èresrelations ne sont peut-être pas si merveilleuses que ça, mais avec la 2èmerelation, on en déduit :
A+B+C=La 3
èmerelation - écrite " en composantes » - impliqueen même temps larègle des sinus etlaforme généralisée du théorème de Pythagore!Ladémonstrationde la 3èmerelation est remarquablement simple :
une rotation de2 !Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201337 / 63 Anatomie d"un tétraèdreUne petite merveille ...2. ... Mais surtout dans un tétraèdre!
ABC! ACD BCD!ABDLesvecteurs (unitaires) normaux extérieurs1
èresrelations :
!ABC;!ABD=b0 Etc.2èmerelation :
!ABC;!ABD;!ACD+!ABC;!ABD;!BCD+ !ABC;!ACD;!BCD+!ABD;!ACD;!BCD =43èmerelation :
S(ABC)!ABC+S(ABD)!ABD+
S(ACD)!ACD+S(BCD)!BCD=!0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201338 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
IV. ... Son langage ...
1. Les outilsLe calcul vectoriel.
Le produit scalaire "» et ses propriétés.Le produit vectoriel "» et ses propriétés géométriques;
-les définitions (vecteur normal à un plan vectoriel, aire orientée d"un parallélogramme, ...)-les significations géométriques (orthogonalité, orientation et antisymétrie, ...)-les propriétés algébriques (bilinéarité, antisymétrie, ...)
8 !u:!u!u=!0() 8!u;!v:!u!v=!v!uEt tout n"est pas dit ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201339 / 63Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
Le déterminant,et ses propriétés géométriques. -les définitions : dét !u;!v;!w=!u!v!w =VOL!u;!v;!w-les propriétés qui s"ensuivent,-et les autres propriétés, par exemple dét(A B) =détA détBEt là aussi, tout n"est pas dit ...
Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201340 / 63Anatomie d"un tétraèdre... Son langage ...
2. Un exemple
La preuve de la 3
èmerelation
Par définition :
8>>>< >>:S(ABC)!ABC=!AB!BCS(ABD)!ABD=!AB!BD
S(ACD)!ACD=!AC!CD
S(BCD)!BCD=!BC!CD
Or, !AB!BC!AB!BD=!AB!BC+!DB =!AB!DCAC!CD!BC!CD=!AC+!CB
!CD=!AB!CDDès lors ...
Avec^et, ce sera encore plus proche de la démonstration du cas triangulaire ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201341 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Et ses conséquencesV. ... Et ses conséquences
Au point de vue des angles trièdres : rien, si ce n"est Xangleintérieurde face=4Au point de vue des angles dièdres : larelation de Clausen(qui confirme que 66=5). dét 0 BB@1cosb0cosc0cosd
cosb01cosd0cosc cosc0cosd01cosb cosdcosccosb11 C CA=0Par produits scalaires de la 3
èmerelation avec les v.u.n., on forme
un système linéaire homogène en lesS(ABC), ... Etc.!Conjecture de Stoker ...Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201342 / 63
Anatomie d"un tétraèdre... Et ses conséquences Pour la relation généralisée de Pythagore, le cas du triangle est un modèle parfait. ka!ak2=kb!bc!ck2 Etc. Dans le cas du tétraèdre, les formules sont plus longues, et fontintervenir les angles dièdres des arêtes.Pour la règle des sinus, on travaille par produit vectoriel dans le cas du
triangle. Dans le cas du tétraèdre, par déterminants géométriques, on obtient : où sntAest lesinus triédrique(oueckensinus) du trièdre de sommetA- et pas de l"angle solide(A)! - défini par :
sntA:=sinc0sinA1sinb0=sinc0sinA2sind0=sinb0sinA3sind0Philippe TILLEUILLa géométrie des tétraèdresS.B.P.M. - 27 août 201343 / 63
Anatomie d"un tétraèdreLe retour du volume
VI. Le retour du volume
1. Une formule très simple, et très compliquée
Le parallélipipède-enveloppe et le déterminant géométrique montrent que le volumeVd"un tétraèdreABCDest donné par V=16 dét!AB;!AC;!ADOr, on a la relation :
0 @AB xAByABz AC xACyACz AD xADyADz1 A 0 @AB xACxADx ABquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] calculer un volume maximal
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