[PDF] Annales sur la géométrie dans lespace

View - Download Annales sur la géométrie dans lespace

Previous PDF

Next PDF

TerminaleSAnnales sur la géométrie dans l"espace

Exercice I :

France juin 2003

Soientaun réel strictement positif etOABC

un tétraèdre tel que :

OAB,OACetOBCsont des triangles

rectangles enO,

OA=OB=OC=a.

On appelleIle pied de la hauteur is-

sue deCdu triangleABC,Hle pied de la hauteur issue deOdu triangleOIC, etDle point de l"espace défini par!HO=!OD.1)Quelle est la nature du triangle ABC? 2) Démontrer quelesdroites(OH)et(AB)sontorthogonales,puisqueHestl"orthocentre du triangleABC. 3)

Calcul de OH

a) Calculer le v olumeVdu tétraèdreOABCpuis l"aireSdu triangleABC. b) Exprimer OHen fonction deVet deS, en déduire queOH=ap3 3 4)

Étude du tétraèdre ABCD.

L"espace est rapporté au repère orthonormal

O;1a !OA;1a !OB;1a !OC! a) Démontrer que le point Ha pour coordonnées :0BBBBB@a3 ;a3 ;a3 1

CCCCCA.

b) Démontrer que le tétraèdre ABCDest régulier (c"est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur). c) Soit le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreABCD. Démontrer que est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.paul milan1/111 ermai 2010 exercicesTerminaleSExercice II :

Polynésie 2003

Partie A

Dans l"espace muni d"un repère orthonormal

O;!{ ;!| ;!k

, on considère les points

A,B,CetDde coordonnées respectives :

A(0;0;3);B(2p2 ; 0 ;1);C(p2 ;p6 ;1);D(p2 ;

p6 ;1) 1)

Démontrer que ABCDest un tétraèdre régulier, c"est-à-dire un tétraèdre dont toutes

les arêtes sont de même longueur. 2) On note R,S,TetUles milieux respectifs des arêetes [AC], [AD], [BD] et [BC]; démontrer queRSTUest un parallélogramme de centreO. 3) Ce parallélogramme a-t-il des propriétés supplémentaires ?Expliquer .Partie B

On dispose de trois tétraèdres identiques au précédent, parfaitement équilibrés. Cha-

cun d"eux a une face peinte en bleu, une face peinte en jaune et deux faces peintes en rouge. On lance les trois tétraèdres simultanément (on remarquera que, lorsqu"on lance un tel tétraèdre, une seule face est cachée et trois faces sont visibles). 1) Calculer la probabilité pour qu"au moins trois f acesrouges soient visibles sur les trois tétraèdres. 2) Calculer la probabilité pour que la couleur bleue ne soit visible sur aucun tétraèdre. 3) Calculer la probabilité de l"évènement E"les six faces rouges sont visibles». 4) On répète nfois l"expérience qui consiste à lancer les trois tétraèdres. Calculer la probabilitépnpour que l"évènementEsoit réalisé au moins une fois.

Calculer lim

n!+1pn.

Exercice III :

La réunion 2003

On considère un cubeABCDEFGHd"arête 1.

Le nombreadésigne un réel strictement positif. On considère le pointMde la demi-droite [AE) défini par!AM=1a !AE.paul milan2/111 ermai 2010 exercicesTerminaleS1)Déterminer le v olumedu tétraèdre ABDMen fonction dea. 2) Soit Kle barycentre du système de points pondérés : n

M;a2;(B; 1);(D; 1)o:

a)

Exprimer

!BKen fonction de!BMet de!BD. b)

Calculer

!BK!AMet!BK!ADpuis en déduire l"égalité!BK!MD=0. c)

Démontrer l"ég alité

!DK!MB=0. d) Démontrer que Kest l"orthocentre du triangleBDM. 3)

Démontrer les ég alités

!AK!MB=0 et!AK!MD=0. Qu"en déduit-on pour la droite (AK)? 4) a) Montrer que le triangle BDMest isocèle et que son aire est égale àpa

2+22aunité

d"aire. b) Déterminer le réel atel que l"aire du triangleBDMsoit égale à 1 unité d"aire. Déterminer la distanceAKdans ce cas.Exercice IV :

Nouvelle Calédonie 2004

On considère le cubeABCDEFGHci-

contre. O

1etO2sont les centres des carrés

ABCDetEFGH, etIest le centre de gra-

vité du triangle EBD.

Soitmun nombre réel etGmle bary-

centre du système de points pondérés : f(E; 1);(B; 1m);(G; 2m1);(D; 1m)gpaul milan3/111 ermai 2010 exercicesTerminaleSPartie A 1)

Justifier l"e xistencedu point Gm.

2)

Préciser la position du point G1.

3) Vérifier que G0=A. En déduire que les pointsA,IetGsont alignés. 4)

Démontrer que

!AGm=m!AO2. En déduire l"ensemble des pointsGmlorsquempar- court l"ensemble des nombres réels. 5) a) Vérifier que les points A,Gm,EetO1sont coplanaires. b) Déterminer la v aleurde mpour laquelleGmse trouve sur la droite (EI).

Partie B

Danscette question,l"espace estrapportéau repèreorthonormal (A;!AB;!AD;!AE). 1) Démontrer que la droite ( AG) est orthogonale au plan (EBD). En déduire une équation cartésienne du plan (ABD). 2)

Déterminer les coordonnées du point Gm.

3) Pour quelles v aleursde m, la distance deGmau plan (EBD) est-elle égale àp3 3

Exercice V :

Centre Etranger 2005

SoitABCDun tétraèdre tel queABC,ABDetACDsoient trois triangles isocèles rectangles enAavecAB=AC=AD=a. On appelleA1le centre de gravité du triangle BCD. 1)

Montrer que la droite

(AA1)est orthogonale au plan (BCD).

On pourra par exemple calculer!AA1!CDet!AA1!BC:

2) En e xprimantde deux f açonsdi érentes le volume du tétraèdreABCD, calculer la longueur du segment [AA1]. 3) On appelle Gl"isobarycentre du tétraèdreABCDetIle milieu de [BC]. a) Montrer que Gappartient au segment[AA1]et déterminer la longueurAG. b) Déterminer l"ensemble des points Mde l"espace tels que !MA+!MB+!MC+!MD =2 !MB+!MC 4)

Soit Hle symétrique deApar rapport àG.

a)

Démontrer que 4

!GA+!AC+!AD=!BA. b)

Démontrer l"ég alitéHC2HD2=!DC!BA.

c)

En déduire que HC=HD.

On rappelle que le volume d"une pyramide de hauteur h et d"aire de base associée b est V=13 bh:paul milan4/111 ermai 2010 exercicesTerminaleSExercice VI :

Nouvelle Calédonie nov 2004

Dans cet exercice, une réponse par " VRAI » ou " FAUX », sans justification, est de- mandée au candidat en regard d"une liste d"armations. Toute réponse conforme à la

réalité mathématique donne0,4point. Toute réponse erronée enlève0,1point. L"absence

de réponse n"est pas comptabilisée. Le total ne saurait être négatif. On donne le cubeABCDEFGH, d"arête de longueur 1, et les milieuxIetJdes arêtes [AB] et [CG]. Les éléments utiles de la figure sont donnés ci-contre.

Le candidat est appelé à juger chacune des10armations suivantes.On utilisera pour répondre la feuille annexe, qui sera rendue avec la copie.

ArmationVRAI ou FAUX

1.!

AC!AI=12

2.!

AC!AI=!AI!AB3.!

AB!IJ=!AB!IC4.!

AB!IJ=ABICcos3

On utilise à présent le repère orthonormal

A;!AB;!AD;!AE

.paul milan5/111 ermai 2010 exercicesTerminaleSArmationVRAI ou FAUX

5.Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8

>>><>>>:x=t+1 y=2t z=t, le paramètretdécrivantR.6.Une représentation paramétrique de la droite (IJ) est :8 >>>>>>><>>>>>>>:x=12 t+1 y=t+1 z=12 t+12

, le paramétretdécrivantR7.6x7y+8z3=0 est une équation cartésiennede la droite (IJ).8.L"intersection des plans (FIJ) et (ABC) est la droitepassant par l et par le milieu de l"arête [DC].9.Le vecteur de coordonnées

0

BBBBBBBB@4

1 21
CCCCCCCCAest un vecteurnormal au plan (FIJ).10.Le volume du tétraèdreEFIJest égal à16 .Exercice VII :

Asie 2006

On considère le cubeABCDEFGHreprésenté ci-dessous.Dans l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonormal (A;!AB;!AD;!AE).

On noteIle point de coordonnées 13

; 1 ; 1! 1)

Placer le point Isur la figure.

2) Le plan ( ACI) coupe la droite (EH) enJ. Démontrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.paul milan6/111 ermai 2010 exercicesTerminaleS3)On note Rle projeté orthogonal deIsur la droite (AC). a) Justifier que les deux conditions sui vantessont vérifiées : i)quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

[PDF] comment calculer le volume d'une boite sans couvercle

[PDF] calculer un volume maximal

[PDF] optimisation volume boite

[PDF] volume maximal de la boite

[PDF] pourcentage de dioxygène dans l'air

[PDF] air comprimé

[PDF] exercice patron pyramide

[PDF] calcul de probabilité maths seconde

[PDF] cours nombres complexes terminale sti2d

[PDF] calcul vecteur unitaire

[PDF] calcul vectoriel pdf

[PDF] projection des forces

[PDF] décomposition d'une force suivant 2 directions

[PDF] projection de vecteur dans un repère

[PDF] determiner les composantes d'une force