Centre et rayon dun cercle passant par trois points donnés
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Calcul du rayon du cercle inscrit à un triangle rectangle
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cercle de centre ? et de rayon est l'ensemble des points dans le plan ( ) qui vérifient 2)Ecrire l'équation du cercle circonscrit au triangle.
TRIANGLES RECTANGLES ET CERCLES
On appelle cercle circonscrit à un triangle le cercle qui passe par les 3 sommets de ce triangle. Son centre est toujours le point de concours des
= = = = = ?3
précisera le centre et le rayon. Le triangle ABC étant rectangle en C le cercle circonscrit au triangle ABC a pour centre ?.
Conclusion:
Tracer un cercle de centre O inscrit au triangle ABC. Cercle circonscrit à un triangle rectangle. ... Déterminer le centre du cercle circonscrit aux.
Triangle équilatéral
29 juil. 2009 Dans un triangle équilatéral le cercle circonscrit a un rayon double de celui du ... Car
Baccalauréat Première Métropole-La Réunion série générale e3c
Le but de cet exercice est de déterminer les coordonnées du centre du cercle circonscrit au tri- angle ABC et le rayon de ce cercle.
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3.2: Déterminer l'équation du cercle défini par les conditions suivantes: a) le centre est C(2 ; -3) et le rayon vaut 7 ; b) le cercle passe par
Cercle et constructions aux compas (triangles milieu)
Trace le cercle de centre B et de rayon BC . Remarque. On parle aussi d'un rayon pour un segment dont une extrémité est le centre et l'autre est
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Fiche explicative de la leçon : Équation dun cercle - Nagwa
Dans cette fiche explicative nous allons apprendre à déterminer l'équation d'un cercle à partir de son centre et d'un point sur le cercle ou du rayon
Comment déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit ?
En pratique, il suffit de tracer deux médiatrices pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle. On trace les médiatrices du triangle (il suffit d'en tracer deux). Leur point d'intersection O donne le centre du cercle circonscrit.Pour obtenir les coordonnées du centre et le rayon du cercle donné par une équation développée, il faut :
1écrire l'équation sous la forme x2?2ax+y2?2by+c=0 ;2considérer x2?2ax et y2?2by comme le début de (x?a)2 et (y?b)2 ;3remplacer dans l'équation ces termes en pensant à enlever le terme constant ;
Leçon 10 Triangle rectangle et cercle
Activité I
Cercle circonscrit à un triangle
a. Médiatrice d'un segmentSoit un segment tAB] de longueur 4,5 cm
- Tracer la médiatrice (d) de [AB]. - Sur (d), placer le point M. - Comparer les longueurs MA et MB. b. Médiatrice des côtés d'un trianqleSoit un triangle ABC
- Tracer les médiatrices (d1), (d2) et (d3) des côtés [AB], tACl tBCl respectivement. - Que constate-t-on ? - Tracer un cercle de centre O inscrit au triangle ABC.Compléter les pointilles:
. O est un point de la médiatrice (dr) du eote [AB-], on a OA ..... OB. . O est un point de la médiatrice (dt du core [AC], on a OA ..... OC. . O est un point de la médiatrice (d:) du cote [BC], on a OB ..... OC.Conclusion: c Si OA ..... OB ; OA ..... OC ; OB ..... OC, alors OA ..... OB .....OC tels que OAI ; [OB] ; [OC] soient ..... Du cercle et O est ..... du cercle inscrit au triangle ABC.Remarque :
Le point d'intersection de trois médiatrices d'un triangle est le centre du cercle inscrit à ce triangle.Activité2
Cercle circonscrit à un triangle rectangle.
Soit AMI un triangle rectangle en A.
a. Tracer la droit (d), la médiatrice de lAMl, (d) coupe [MI] en O b. Compléter les pointilles + (d) est la médiatrice du cote [AM, on a : (d) a et [AI] l- tAMDonc (d)ll .
10. triangle rectangle-Cercle | 57
+ (d) est la médiatrice du cote ..... et (d)// . Donc, (d) coupe [MI] en son milieu et OM . . .. . .. OI O est sur la médiatrice (d) du côté ..., donc OA ....... OM Donc, OA..... OM..... OI et [OA]; tOMl; [OI] sontlesrayons du cercle circonscrit au triangle rectangle AMIDonc,oA=1 .. ..'2
Activité 3
Cercle circonscrit à un quadrilatère? estun cercle de centre O et de diamètre B [BD]. a. Sur â, placer le point A distinct de B et D. b. Tracer le diamètre [AC] c. Compléter les pointillés. - Si A est un point de C de centre .... et de diamètre ..., alors BAD est un .... sur - Si [AC] est.. .. ducercle T,alorsAC ...... BD.' - Si le quadrilatère ABCD possède deux diagonales [AC] et [BD], alors .. .. et nÀn - BÔD = 90", alors ABCD est un .. et est un cercle circonscrit à ..Activité 4
Distance d'un point à une droite
D'après la figure, compléter les
pointillésAE ..... AI{, AB ..... AII, AC ..... AH.
tAB] est ............... du triangle ABH rectangle en H.Donc,4H...... AB.
(AH) I (EC), AH est la longueur la plus courte. Donc, AH est appelée la distance du point A à la droite (EC).10. triangle rectangle-Cercle | 58
Activité 5
Tangente à un cercle
a. Tracer un cercle E de centre O et de rayon r. b. Tracer la droite (d) de chacun des cas suivants :1. la distance de O a la droite (d) est inferieure à r.
2. la distance de O a la droite (d) est égale à r.
3. la distance de O aladroite (d) est supérieure à r.
c. Pour chaque cas ci-dessus, citer les points d'intersection de la droite (d) et le cercle Z d. Tracer la tangente (d) en A au cercle â Quelle est la position relative de la droite (d) et le rayon [OA] de ce cercle. Remarque : lorsque la droite (d) à un seul point A commun avec le cercle, on dit que cette droite (d) est la tangente en A à ce cercle.Le cours
1. Triangle rectangle et propriété
Propriété
B ABC est un triangle et M est le milieu de [BC].Si ABC est rectangle en A, alorsMA: MB: MCPropriété réciproque :
ABC est un triangle et M est le milieu de tBCl. Si MA : MB : MC alors ABC est rectangle en A. Exemple : Soit un triangle MA[, rectangle en . O est le milieu de l'hypoténuse [MI]. Calculer la longueur AO tel que MI : 9 cm.Solution: *n
HypothèseMAI est un triangle
rectangle en AO est le milieu de [MI]MI:9 cm
Calculer AO.Conclusion
10. triangle rectangle-Cercle | 59
Le triangle MAI est rectangle en A. o est le milieu de [MI]. on a doncOM: OI D'après la propriété d'un triangle rectangle, on a:Ao =oM=oI=l1fl2
x9 = 4,52. Triangle rectangle et cercle.
Propriété
Si ABC est un triangle rectangle en A, alors ABC est inscrit dans un cercle de diamètre [BC].Propriété réciproque :
Si ABC est un triangle inscrit dans un cercle de diamètre [BC], alors ABC est rectangle en A. est le milieu de AO :1 2Le cercle circonscrit à
un triangle a pour diamètre I'hypoténuse cI'hyp'oténuse [BC].OA: OB : OCB
t Un point d'un cercle de diamètre donné. - Si AIIIB = 90" alors, M est un A point du cercle de diamètre [AB]. - Si M est un point du cercle de diamètre lABl (M distinct de A et B) alors,AhB = 90'.
Théorème:
Tout quadrilatère ABCD convexe ou croisé qui a deux angles opposés A et C égaux à un angle droit est inscriptible dans le cercle de diamètre [BD]10. triangle rectangle-Cercle | 60
3. Distance d'un point à une droite
(d) est une droite et A est un point non situé sr:r (d). Le point de (d) le plus proche de A est le point H tel que (Alt) r (d). AH est appelée la distance du point A à ta droite (d).Remarque :
Lorsque A appartient à (d); la distance de A à (d) est nulle.4. Positions relatives d'une droite et d'un cercle.
La tangente
* Une droite est dite sécante à un cercle lorsqu'elle le coupe en deux points. * Une droite est dite tangente à un cercle si elle a un point commun unique avec ce cercle. * Une droite est dite extérieure si tous ses points sont extérieurs au cercle.Théorème :
Pour qu'une droite soit tangente à un cercle il faut et il suffit qu'elle soit perpendiculaire à un rayon en son extrémité.I Application.Exemple 1:
Soit un triangle MNP, rectangle en M. I est le milieu de I'hypoténuse tI.IPl. a. Construire le cercle C circonscrit à ce triangle. b. Calculer le rayon de ce cercle tel que NP: 7 cm dr d rta. (a) et M * HAlors AH < AM
I I'..110. triangle rectangle-Cercle | 61
Solutions:
HypothèseMNP est un triangle
rectangle en M I est le milieu de [NP]NP:7 cmConclusiona. Construire le cercle
circonscrit au triangle MNP b. Calculer MI. ?est un cercle circonscrit au triangle rectangle MNp donc ?apottr diamètre tlVPl et de centre I.Calculer MI.
tblPl est le diamètre du cercle C et [MI] est le rayon, donc1lMI: ittp=i"7=3,5 d'oùMI:3,5 cm22Exemple 2 :
À partir du point A extérieur au cercle ?decentre O, on a construit lesdroites (d) et (d') tangentes à ? respectivement en T et T'.a. Quelle est la nature des triangles OAT et OAT,?
b. Démontrer que AT = AT' c. Quel est le centre du cercle circonscrit au triangle oAJ ? au triangle OAT'?Solutions
Hypothèse
Conclusion
e esfun cercle de centre OA est un point à l'extériew de ?
la droite (d) tangente à 7 en T, passant par A la droite (d) tangente à 7 en T' passant par A a. La nature de ATO et AT'O b. Montrer que AT-AT' c. Déterminer le centre du cercle circonscrit aux triangles ATO et AT'OI 0. Triangle rectangle-Cercle162
a. - (AT) est la tangente au cercle de centre o, donc ATo est un triangle rectangle en T. - (AT') est la tangente au cercle de centre o, donc AT'o est un triangle rectangle en T'. - Les triangles rectangles ATo et AT'o possèdent la même hypoténuse toAl b. Montrer que AT:AT'D'après le théorème de Pythagore
Le triangle ATO est rectangle en T, on a : O* : Ot' + AT2 Le triangle AT'O est rectangle en T', on a : OA2 = OT'2+AT'2Donc OT2 +AT2 = OT'2+AT'2
D'autre part OT = OT' (rayon du cercle)
On obtient donc : AT2 = AT'2 soit AT = AT'.
c. Puisque les triangles rectangles ATO et AT'O possèdent la même hypoténuse [OA]. Le cçntre du cercle circonscrit aux deux triangles rectangles ATO et AT'O est le milieu de [OA].10. Triangle rectangle-Cercle | 63
Exercices
1. ABC est un triangle tel que Ê = 60'et Ô = 30' . euel est le centre o du
cercle C circonscrit au triangle ABC, puis construire ce cercle.2. a. Construire un rectangle BIEN. b. Déterminer o, le centre du cercle C circonscrit au triangle BEN.c. Montrer que I est un point du cercle C.3. C est un cercle de centre O. A et M sont deux points de C tel que tAM] n'est
pas le diamètre de C. La perpendiculaire à (AM) passant par M, coupe le cercle C en B. a. Faire la figure b. Montrer que les points A, O et B sont alignés. c. N est un point de C, montrer que (AN) a (BI.l) 4. a. Reproduire la figure ci-contre. b. Pourquoi peut-on affirmer que les points N, U, I et T appartiennent à un même cercle. c. Tracer ce cercle en précisant son centre.5. Soit ABC un triangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport
à A. Montrer que BCD est untriangle rectangle en C.6. ABC est un triangle rectangle en A. D est le milieu de [BC].
Montrer que les triangles ABC et ADB sont isocèles en D.7. Soit un triangle ABC tels que AI| : 4,2 cm AC : 6 cm et BC : 5,3 cm.
Tracer la hauteur AH et les cercles circonscrits aux triangles ABH et ACH.8. a. Construire un triangle ABC avec AC : 4 cm; nÀC = 52 et ,AÔn = 38"
b. Tracer le cercle de centre A et de rayon AB. c. Expliquer pourquoi la droite (BC) est tangente à ce cercle en B.9. a. Construire un triangle CAT tels que CA: 7 cm; AT: 6 cm et CT: 8 cm.
b. Construire un cercle de centre O circonscrit au triangle CAT. c. Tracer trois tangentes à ce cercle aux points C, A et T.10. a. Tracer un cercle C de centre O, puis tracer le diamètre [AB] de ce
cercle. Placer le point M sur le cercle tel que nÔU = 55'10. triangle rectangle-Cercle | 64
b. Tracer la tangent en M au cercle c. Elle coupe la droite (AB) en un point C. c. Calculer la mesure de I'angle OÔU .11. Soit un triangle tels que CP: 13 cm; CU: 5 cm et UP : 12 cm. I est
le milieu de [CP]. Montrer que I est le centre du cercle circonscrit au triangle CLIP.12. Construire un triangle tels que FA : 10 cm; F =32" et A = 58"
Calculer la longueur de la médiane [TI]
13. Soit un triangle tels que AB : 6 cm; BC :8 cm et AC: 10 cm.
La médiane issue de B coupe [AC] en M. calculer la longueur BM.14. a. Tracer un cercle C de centre o et placer un point A sur ce cercle.
b. Avec le compas, placer un point M sur C tel que AM:OA. c. Avec la règle et le compas, placer le symétrique T de o par rapport à M. d. Démontrer que la droite (AT) est la tangente au cercle C en A.15. 1.a. Construire le cercle C de centre T. A est un point extérieur de C.
b. Passant par A, tracer (d), la tangente à C en N et (d'), la tangente àC en N'.
c. Quelle est la nature du triangle ANT et AN'T ? d. Montrer que AN:AN'. e. Déterminer le centre du cercle circonscrit aux triangles ANT et AN'T.2. a. Construire le cercle C de centre O et A est un point extérieur de C.
b. A l'aide de la règle et du compas, décrire les étapes de construction deux tangentes au cercle C passant par A.L6. Ladémonstration:
Compléter les rectangles
HypothèsesPropriétés Conclusion
M est un pomt d'un
cercle de diamètre [AB] - -ABC est un triangle
rectangle en A--+ BC2:AIl2 + AC2 \iÀi2:PM2+PN2 --Triangle MNP
- - + est rectangle en10. Triangle rectangle-Cercle | 65
17. ABCD est un rectangle tel que
AIi :3 cm F BC: 2 cm.
I est le milieu de [AD] et J est
le milieu de [DC] tel que DJ: 2 cm.Le triangle IJB est-il rectangle ?
Expliquer.
18. Un cercle C de centre O et un cercle C' de centre O' se coupent en A
et B. On trace la droite (d) perpendiculaire en A à la droite (AB). La droite (d) recoupe C en D et C' en E. Quel est le cercle qui est circonscrit au triangle ABD? Au triangle ABE? Quelle est la nature du triangle ABD ? du triangle ABE ? Citer un diamètre du cercle C et un diamètre du cercle C'. Expliquer.19. a. Construire le triangle ABC rectangle en A tel que AB:4 cm AC:5 cm.
b. Quelle est la distance de B à la droite (AC) ? c. Quelle est la distance de C à la droite (AB) ?20. a. Tracer une droite (d). Placer un point M situe à 3cm de la droite (d).
b. Marquer le point N symétrique de M par rapport à la droite (d).Quelle est la distance de N à (d) ?
c. Placer quafe points situés à 3cm de (d). Où se trouvent tous les points situés à 3cm de (d) ? A f\r"f ,t8g\10. triangle rectangle-Cercle | 66
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