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MODÈLES DE DURÉE

Support de cours 2022-2023

Frédéric PLANCHET

Version 4.5 Décembre 2022

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SOMMAIRE

1. Le processus de Poisson ................................................................................................... 3

1.1. Définition et premières propriétés ........................................................................... 3

1.2. Lien avec la loi de Poisson......................................................................................... 4

1.3. ǯ .......................................................................... 5

1.4. ǯ .................................................. 5

1.5. Martingales associées au processus de Poisson ..................................................... 7

1.6. Le processus de Poisson non homogène ................................................................ 8

2. Rappels sur les processus markoviens ............................................................................ 9

2.1. Chaînes de Markov en temps discret ....................................................................... 9

2.1.1. Définition et propriétés de base ........................................................................... 9

2.1.2. Distribution stationnaire ...................................................................................... 11

2.1.3. Le temps de séjour dans un état ......................................................................... 11

2.2. Chaînes de Markov en temps continu ..................................................................... 12

2.2.1. Générateur infinitésimal ...................................................................................... 12

2.2.2. Distribution stationnaire .................................................................................. 13

2.2.3. Temps de séjour dans un état ......................................................................... 13

2.3. Processus de naissance et de mort ......................................................................... 13

2.3.1. Le processus de naissance et de mort comme chaîne de Markov .................... 14

2.3.2. Le raisonnement différentiel ........................................................................... 15

3. ǯ ..................................................................................... 15

3.1. ǯ .............................................................................. 16

3.2. La file M/M/1 .............................................................................................................. 17

3.2.1. Propriétés de base ............................................................................................... 17

3.2.2. ǯǯ ................................................... 18

3.3. La file M/G/1 ............................................................................................................... 18

3.4. La formule de Pollaczek-Khintchine ........................................................................ 18

3.5. Applications .............................................................................................................. 21

4. Références ....................................................................................................................... 22

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1. Le processus de Poisson

Le processus de Poisson est un outil extrêmement utilisé dans les phénomènes de

comptage. Il apparaît en effet naturellement dans ces situations, comme on va le voir ci- après.

1.1. Définition et premières propriétés

pour tout 0t @t,0 tN

On définit alors le ǯ

0O comme un processus tN satisfaisant les conditions suivantes : P1 : le processus est à accroissements indépendants, i.e. ntttd..210 , les variables aléatoires

11, ,..,iiN t N t i n

sont globalement indépendantes ; P2 : le processus est à accroissements stationnaires, i.e. 0ht, , la loi de

N t h N t

ne dépend que de h ; P3 :

1P N t h N t h o h t

2P N t h N t o h

La condition P3 signifie que sur un petit intervalle de temps, on observe 0 ou 1

événement, et que la ǯ

écoulé. On peut remarquer que

00N

Les trajectoires sont par définition croissantes, continues à droite avec une limite à

Fig. 1 : ǯ

On vérifie par ailleurs sans difficulté que si 1 tN et 2 tN sont deux processus de Poisson 1 et 2 , alors 21
tttNNN est un processus de 21O
. Pour le vérifier on remarque que tN est un processus à

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Ce résultat admet la réciproque suivante : si tN est un processus de Poisson et que nT ǯnième saut, et si on se donne des variables aléatoires de Bernoulli nX indépendantes des instants de saut et de paramètre p, on peut construire deux processus en affectant les sauts de tN 1nX

ǡǯ ; les 2 processus ainsi obtenus

sont des processus de Poisson indépendants, de paramètres respectifs p et p1

1.2. Lien avec la loi de Poisson

Le processus de Poisson vérifie :

Propriété : pour tout

0t la variable tN suit une loi de Poisson de paramètre t , i.e. : !n tenNP n t t

Démonstration ǣǯ

0n ; par croissance de tN et P1 on a

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1. Le processus de Poisson ................................................................................................... 3

1.1. Définition et premières propriétés ........................................................................... 3

1.2. Lien avec la loi de Poisson......................................................................................... 4

1.3. ǯ .......................................................................... 5

1.4. ǯ .................................................. 5

1.5. Martingales associées au processus de Poisson ..................................................... 7

1.6. Le processus de Poisson non homogène ................................................................ 8

2. Rappels sur les processus markoviens ............................................................................ 9

2.1. Chaînes de Markov en temps discret ....................................................................... 9

2.1.1. Définition et propriétés de base ........................................................................... 9

2.1.2. Distribution stationnaire ...................................................................................... 11

2.1.3. Le temps de séjour dans un état ......................................................................... 11

2.2. Chaînes de Markov en temps continu ..................................................................... 12

2.2.1. Générateur infinitésimal ...................................................................................... 12

2.2.2. Distribution stationnaire .................................................................................. 13

2.2.3. Temps de séjour dans un état ......................................................................... 13

2.3. Processus de naissance et de mort ......................................................................... 13

2.3.1. Le processus de naissance et de mort comme chaîne de Markov .................... 14

2.3.2. Le raisonnement différentiel ........................................................................... 15

3. ǯ ..................................................................................... 15

3.1. ǯ .............................................................................. 16

3.2. La file M/M/1 .............................................................................................................. 17

3.2.1. Propriétés de base ............................................................................................... 17

3.2.2. ǯǯ ................................................... 18

3.3. La file M/G/1 ............................................................................................................... 18

3.4. La formule de Pollaczek-Khintchine ........................................................................ 18

3.5. Applications .............................................................................................................. 21

4. Références ....................................................................................................................... 22

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1. Le processus de Poisson

1.1. Définition et premières propriétés

On définit alors le ǯ

11, ,..,iiN t N t i n

N t h N t

1P N t h N t h o h t

2P N t h N t o h

événement, et que la ǯ

écoulé. On peut remarquer que

Fig. 1 : ǯ

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ǡǯ ; les 2 processus ainsi obtenus

1.2. Lien avec la loi de Poisson

Le processus de Poisson vérifie :

Propriété : pour tout

Démonstration ǣǯ

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