1 Probl`eme 1
Calculer la quantité de mouvement des photons de longueur d'onde de 750 nm et de 350 nm. `A quelle vitesse a) un électron et b) une molécule de dihydrog`ene
1 Probl`eme 1
Calculer la quantité de mouvement des photons de longueur d'onde de 750 nm et de 350 nm. `A quelle vitesse a) un électron et b) une molécule de dihydrog`ene
Dualité onde-particule
Interférences avec des électrons. Des électrons en boîte longueur d'onde de de Broglie associée à la particule c'est là qu'intervient le.
Corrigé des TD de Physique Quantique 7 Onde associée de de
est la longueur d'onde associée aux électrons ainsi accélérés ? En déduire l'espacement entre deux plans du cristal de nickel utilisé.
X A Rb Rb
Energie de l'électron de l'atome d'hydrogène à l'état fondamental Calculer la longueur d'onde associée à un proton dont l'énergie cinétique EC =100 eV.
Introduction à la mécanique quantique
Les protons se recombinent ensuite avec les électrons pour donner l'atome dans son qui associe une onde de longueur ? à tout corpuscule matériel.
Lélectron est un objet quantique
Les longueurs d'onde associées à des corps matériels macroscopiques sont minuscules totalement inappréciables. C'est pourquoi le caractère ondulatoire de
TD 07 (Chap. 06) – Mécanique quantique
2.a Déterminer l'énergie cinétique maximale d'un électron émis par la cathode. Exprimer la longueur d'onde associée `a un tel neutron en fonction de la ...
Exercice n°1 : (8 points) Ici absorption de ? à partir du niveau n=2
Be3+ est un hydrogénoïde car il possède un seul électron. c) Définir l'énergie d'ionisation. La calculer pour l'ion Be3+. A quelle longueur d'onde cela.
Exercice 1 : Solution : Exercice 2 :
1 juin 2010 3 Calcul de la fréquence ? de l'onde associée à cette longueur ... a) Quelle est l'énergie cinétique acquise par ces électrons (en J et ...
[PDF] 1 Probl`eme 1 - Chm Ulaval
Quelles sont la longueur d'onde associée `a a) un électron se déplaçant `a 150 × 108cms?1 et b) une balle de tennis de 60 g se déplaçant `a 1500 cm s?1? 13 2
[PDF] 2 Principes de base de la mécanique quantique - EPFL
2) Quelle est la relation des longueurs d'ondes d'un électron et d'un proton ayant la même vitesse de 1 la vitesse de la lumière? A) ?el /?proton ca 2000 B)
[PDF] O5 (pdf)
La longueur de l'orbite (2? R) est un nombre entier de la longueur d'onde associée à l'électron: les orbites possibles sont donc celles pour lesquelles l'onde
[PDF] Lélectron est un objet quantique - Cahier de Prépa
Les longueurs d'onde associées à des corps matériels macroscopiques sont minuscules totalement inappréciables C'est pourquoi le caractère ondulatoire de
[PDF] Introduction à la mécanique quantique
La longueur d'onde associée est de l'ordre de grandeur de a0 d'où la nécessité d'un traitement « ondulatoire » 4 Equation de Schrödinger pour une particule
[PDF] Université Mohammed V-Agdal
VII- Calculer la longueur d'onde associée à chacun des cas ci-dessous: a- Un électron accéléré avec un potentiel de 100 V b- Un électron non relativiste de
[PDF] Dualité onde-particule - AC Nancy Metz
Pour fixer d'emblée des ordres de grandeur9 on peut donner la longueur d'onde de de Broglie associée à grain de poussière de masse 10-15 kg de diamètre 1 µm
[PDF] Équation de Schrödinger - Frédéric Legrand
En mécanique quantique la fonction d'onde associée à une particule est La longueur d'onde de de Broglie des électrons étaient de l'ordre de la distance
[PDF] Chapitre 51 – Les photons et leffet photoélectrique - Physique
Lorsque la longueur d'onde est très courte (fréquence élevée) le nombre d'électron éjecté est proportionnel à l'intensité de la lumière
[PDF] PHQ434 : Mécanique quantique II - Département de physique
30 mai 2018 · On suppose que le hamiltonien H permet à l'électron de sauter d'un atome à Les fréquences associées à ces longueurs d'onde sont appelées
MÉCANIQUE QUANTIQUE II
PHQ434
parDavid SÉNÉCHAL
Ph.D., Professeur Titulaire
UNIVERSITÉ DESHERBROOKE
Faculté des sciences
Département de physique
30 mai 2018
2Table des matières
Table des matières3
1 Rappels et principes de base9
A Postulats de la mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
1.A.1 État d"un système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.A.2 Grandeurs physiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
1.A.3 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12
1.A.4 Quantification canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
B Observables compatibles, ECOC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.B.1 Ensemble complet d"observables qui commutent. . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
1.B.2 Compatibilité des mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17
C Observables incompatibles et relations d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191.C.1 Incompatibilité des mesures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19
1.C.2 Relations d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
D Mouvement d"une particule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.D.1 Position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21
1.D.2 Moment conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22
1.D.3 Particule dans un potentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25
E Systèmes composés : produit tensoriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
1.E.1 Produit tensoriel d"espaces vectoriels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
1.E.2 Produit tensoriel d"opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
F Principe variationnel de Rayleigh-Ritz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29
2 L"oscillateur harmonique37
A États propres de l"oscillateur harmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.A.1 Opérateurs d"échelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38
2.A.2 États propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39
2.A.3 Opérateurs position et impulsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40
2.A.4 Fonctions d"onde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41
B Mouvement dans un champ magnétique : niveaux de Landau. . . . . . . . . . . . . . . .42C Le champ électromagnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2.C.1 Modes électromagnétiques dans une cavité simplifiée. . . . . . . . . . . . . . .45
2.C.2 Photons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47
D États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.D.1 Superposition d"états stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49
2.D.2 États cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50
3 Théorie du moment cinétique61
A Relations de commutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61
B Quantification du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63 34TABLE DES MATIÈRES
3.B.1 États propres du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .63
3.B.2 Matrices du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64
C Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .67
3.C.1 Moment cinétique orbital en coordonnées sphériques. . . . . . . . . . . . . . . .67
3.C.2 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69
D Moment cinétique et rotations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.D.1 Rotations en tant que transformations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.D.2 Rotations infinitésimales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74
3.D.3 Rotations finies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.D.4 Rotations d"une observable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
3.D.5 Invariance par rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77
E Niveaux de rotation des molécules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
3.E.1 Le rotor quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78
3.E.2 Le rigide quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79
4 Systèmes à deux niveaux87
A Spin1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
4.A.1 Moment cinétique intrinsèque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87
4.A.2 Spineurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88
4.A.3 Expérience de Stern et Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
B Description générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
4.B.1 Sphère de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91
4.B.2 Correspondance avec le spin1
2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92
4.B.3 Rotation d"un spineur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93
4.B.4 Observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
C Résonance magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.C.1 Précession de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95
4.C.2 Champ transverse et oscillations de Rabi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .96
4.C.3 Résonance magnétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97
D Autres systèmes à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
4.D.1 Restriction aux deux niveaux les plus bas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
E Interaction lumière-matière : modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . . . . .104
5 Potentiel central et atome d"hydrogène113
A Problème à deux corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113
B Mouvement d"une particule dans un potentiel central. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1145.B.1 Potentiel effectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .115
C Problème de Kepler : atome d"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
5.C.1 Solution de l"équation radiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .116
5.C.2 Quantification de l"énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119
5.C.3 Description des états propres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120
5.C.4 Raies spectrales de l"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122
5.C.5 Échelles caractéristiques et atomes hydrogénoïdes. . . . . . . . . . . . . . . . . .124
D L"oscillateur harmonique tridimensionnel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1256 Théorie des perturbations131
A Perturbations stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131
TABLE DES MATIÈRES5
6.A.1 Approximation du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132
6.A.2 Approximation du deuxième ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .133
6.A.3 Cas d"un niveau dégénéré au premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134
B Applications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.B.1 Effet Stark dans l"atome d"hydrogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135
6.B.2 Force de van der Waals. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .137
C Perturbations dépendant du temps et spectres continus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1416.C.1 Série de Dyson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141
6.C.2 Approximation du premier ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142
6.C.3 Règle d"or de Fermi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144
6.C.4 Processus de désintégration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .145
6.C.5 Absorption et émission stimulée de rayonnement par un atome. . . . . . . . . .147
7 Particules identiques153
A Particules indiscernables en mécanique quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1537.A.1 Rappels sur les permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154
7.A.2 Opérateur de permutation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .156
7.A.3 Fermions et bosons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157
B Fonctions d"ondes à plusieurs fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
7.B.1 Déterminants de Slater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159
7.B.2 Fermions sans interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
7.B.3 Spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161
7.B.4 Principe d"exclusion de Pauli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .163
C Atomes à plusieurs électrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
7.C.1 Potentiel effectif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .164
7.C.2 Couches électroniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .165
7.C.3 Addition des moments cinétiques, termes spectroscopiques et règles de Hund.167
8 Mesure et environnement177
A Matrice densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
8.A.1 Motivation : système comportant deux spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .177
8.A.2 Définition générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .178
8.A.3 Évolution temporelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180
8.A.4 Trace sur un sous-système. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181
8.A.5 Théorème de Gleason. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
8.A.6 Décomposition de Schmidt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182
8.A.7 Enchevêtrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184
B Le processus de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
8.B.1 Évolution temporelle de la matrice densité : systèmes découplés. . . . . . . .185
8.B.2 Évolution non unitaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185
8.B.3 Décohérence et réduction du paquet d"ondes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187
C Paradoxes de la réalité quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
8.C.1 Paradoxe d"Einstein-Podolsky-Rosen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .189
8.C.2 Le paradoxe de Greenberger-Horne-Zeilinger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190
8.C.3 Inégalité de Clauser-Horne-Shimony-Holt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192
8.C.4 Confirmations expérimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
6TABLE DES MATIÈRES
Index198
Table des problèmes
1.1 Commutateurs et anticommutateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.2 Égalité de deux opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.3 Matrice non hermitienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.4 Mesure de l"énergie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
1.5 Théorème de Hellmann-Feynman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.6 Sauts de particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31
1.7 Projecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
1.8 Bras et kets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
1.9 Principe d"incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.10 Particule libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.11 Théorème du viriel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33
1.12 Relation de Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
1.13 Relation de Campbell-Baker-Hausdorff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.14 Produits tensoriels d"opérateurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.15 Produit tensoriel de matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35
1.16 Clônage quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
1.17 Méthode de Rayleigh-Ritz appliquée au problème de Kepler. . . . . . . . . . . . . . . .36
1.18 Méthode de Rayleigh-Ritz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36
2.1 Incertitude dexetpdans les états stationnaires de l"oscillateur harmonique. . . . .56
2.2 Deux oscillateurs harmoniques couplés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.3 Oscillateur dans un champ électrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56
2.4 Oscillateur harmonique renormalisé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.5 Relation de fermeture pour les états cohérents. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.6 États cohérents : éléments de matrice de la position. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .57
2.7 Valeur moyenne de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.8 Oscillateur forcé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
2.9 États comprimés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58
3.1 Somme de moments cinétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.2 Incertitude sur Jx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.3 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.4 Harmoniques sphériques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83
3.5 Interaction d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
3.6 Invariance du produit scalaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
3.7 Rotation des états propres du moment cinétique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
3.8 Petite rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84
3.9 Matrice de rotation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
3.10 Moment cinétique et axes liés à un objet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
3.11 Molécule diatomique polaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85
4.1 Interaction d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .107
4.2 Expérience de Stern et Gerlach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
7Table des matières
4.3 Oscillateur fermionique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
4.4 Précession de Larmor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
4.5 Valeurs propres d"une matrice hermitienne 22. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
4.6 Renversement d"un spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
4.7 Système à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109
4.8 Écho de spin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
4.9 Modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.1 Perturbation en 1=r2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.2 Distance la plus probable entre proton et électron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.3 Mouvement dans une combinaison d"états stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . .127
5.4 Atome muonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
5.5 Mouvement sur un cylindre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
5.6 Coquilles concentriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128
5.7 Puits sphérique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129
6.1 Oscillateur anharmonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
6.2 Force entre un atome et une paroi conductrice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149
6.3 Oscillateur harmonique couplé à un système à deux niveaux. . . . . . . . . . . . . . . .149
6.4 Modèle de Jaynes-Cummings. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
6.5 Émission stimulée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
6.6 Impulsion sur un oscillateur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150
7.1 Exercices sur les permutations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
7.2 Relation de fermeture à deux fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
7.3 État à trois fermions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
7.4 Coprobabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .174
7.5 Répulsion coulombienne entre deux particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
7.6 Terme d"échange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .175
7.7 Terme spectroscopique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176
8.1 Matrice densité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
8.2 Enchevêtrement de spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
8.3 Paradoxe de Zénon quantique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
8.4 Appareil de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .196
8CHAPITRE1
Rappels et principes de base
Le coursMécanique quantique II(PHQ430) est le deuxième de l"axe " mécanique quantique » au
baccalauréat en physique de l"Université de Sherbrooke. Le premier cours de la série,Mécanique
quantique I(PHQ330), couvre les éléments suivants :1.Description des phénomènes quantiques qui ont suscité le développement de la théorie au début
du XXesiècle : aspects ondulatoires de la propagation des particules, aspects corpusculaires de l"interaction du rayonnement avec la matière, manifestations de la quantification de l"énergie dans les atomes, etc.2.Description de la première théorie quantique (Bohr-Sommerfeld).
3.Mécanique ondulatoire, basée sur le concept de fonction d"onde .
4.Formalisme mathématique de la mécanique quantique : espaces de Hilbert, opérateurs, notation
de Dirac.5.Postulats formels de la mécanique quantique.
6.Problèmes unidimensionnels : puits et barrières de potentiel, oscillateur harmonique.
7.Processus de mesure et probabilités
Le deuxième cours, l"objet de ces notes, se veut une continuité du premier. Il met plus à profit le
formalisme mathématique de la MQ en fonction d"opérateurs, traite de problèmes tridimensionnels,
introduit des méthodes d"approximation et traite de l"identité des particules.APostulats de la mécanique quantique
Il n"y a pas de manière unique d"énoncer les postulats de la mécanique quantique, ni même de les
dénombrer. Les postulats qui suivent sont formulés légèrement différemment de ce qui a été énoncé
en PHQ330, mais le contenu est strictement équivalent. 9Chapitre 1. Rappels et principes de base
1.A.1État d"un système
Postulat 1 : Principe de superposition
À chaque système physique est associé un espace projectif de HilbertE. L"état du système est
défini à chaque instanttpar un vecteurj (t)ideE. Tout vecteur qui diffère dej (t)ipar unfacteur multiplicatif2Creprésente le même état physique et est considéré équivalent.
1.Ce principe tire son nom du fait qu"une combinaison linéairej 1i+j 2ide deux vecteurs repré-
sente aussi un état possible du système. Cette propriété du monde quantique est primordiale.
2.Des vecteursj iet 0iqui sont des multiples l"un de l"autre (j i= 0i) étant considérés
équivalents, l"espace de HilbertEcomporte desclasses d"équivalences(des ensembles devecteurs équivalents) qui sont appeléesrayons. Un état physique correspond en fait à un rayon.
3.En pratique, on a l"habitude de considérer uniquement des états normés, tels queh j i=1.
Mais cette condition de normalisation ne suffit pas à spécifier de manière unique un état, car il
reste une liberté de phase, qui fait que les deux vecteurs normésj ieteij ireprésentent le même état.4.Tout espace vectoriel est défini sur un corps K. En particulier, l"espaceEest défini sur le corps
des complexesC. Il existe des systèmes pour lesquels une définition sur les réelsRest suffisante,
mais cela est l"exception.5.Le fait queEsoit un espace de Hilbert a un sens précis en mathématiques, relié à la convergence
du développement d"un état sur une basefjnigdans le cas d"un espace de dimension infinie. Cette exigence se traduit formellement par la libre utilisation de la relation de fermeture X n jnihnj=I(1.1) que nous allons utiliser régulièrement sans la remettre en question.1.A.2Grandeurs physiques
Postulat 2 : Grandeurs physiques
a)À toute grandeur physique mesurableAcorrespond un opérateur linéaire hermitienAagissantsur l"espace des étatsE. Cet opérateur est appelé l"observableassociée à la grandeur physique
A. b)Les seules valeurs possibles résultant d"une mesure deAsont des valeurs propresande l"opérateur A (icinsert d"étiquette pour les différentes valeurs propres). 10A. Postulats de la mécanique quantique
Postulat 3 : Processus de mesure
a)SoitP(an)l"opérateur de projection vers le sous-espace deEassocié à la valeur proprean(ce sous-espace peut être de dimension 1 ou plus). Si le système est dans l"étatj i, alors une mesure deAeffectuée dans cet état donnera la valeuranavec une probabilitéP(an) =jP(an)j ij2=h jP(an)j i(1.2)
b)Le processus de mesure change l"état du système : immédiatement après, le système est dans
l"état P(an)j iou, après normalisation,P(an)j iph jP(an)j i(1.3)
Remarques :
FLe fait que l"opérateur A soit hermitien assure que ses valeurs propres sont réelles. FRappelons qu"un projecteur P est un opérateur hermitien tel que P2=P. FSijiest un vecteur normalisé quelconque, le projecteur sur le sous-espace engendré par ce vecteur s"exprime ainsi :P=jihj. En effet, l"application dePsur un étatj idonne alors (hj i)ji, ce qui représente bien la projection du vecteurj idans la direction du vecteur ji.FL"observable peut être représentée en fonction des projecteurs sur ses différents espaces propres
de la manière suivante : A= X n a(n)P(an)(1.4) L"ensemble des valeurs propres deAforment sontspectre, et la décomposition ci-dessus en fonction des projecteurs porte le nom dereprésentation spectralede A.FSupposons en général qu"une valeur propreandeAsoit associée àdnvecteurs propres linéai-
rement indépendants, qu"on noteraj ri(r=1,2,...,dn). On peut toujours choisir cesdn vecteurs propres comme étant orthonormés. Dans ce cas, le projecteur P(an)s"exprime ainsiP(an) =
dnX r=1 j rih rj(1.5) et l"observable A elle-même peut s"exprimer comme suit : A= Xquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18[PDF] energie d'un electron formule
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