[PDF] 1 Produit scalaire et orthogonalité

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1 Produit scalaire et orthogonalite

1.1 Denitions

Denition 1.1SoitEunR-espace vectoriel.

1. On dit que cet espace vectoriel est prehilbertien reeldes qu'il a ete muni

d'une forme bilineaire symetrique, dont la forme quadratique associee est denie positive.

2. La forme polaire est alors appelee produit scalaire.

3. Si de plus, on est en dimension nie, on dit que l'espace est euclidien.

Theoreme 1.1SoitEun espace vectoriel euclidien.

L'applicationEdansE, qui aXassociepX:Xest une norme, dite norme euclidienne.

Remarque 1

1. SoitEl'espace vectoriel des fonctions d'une variable reelle continues sur un segment[a;b]

donne. Alors < f;g >=Z b a f(x)g(x)dx est un produit scalaire. En particulier, les inegalites de Cauchy-Schwartz et de Minkowsi sont vraies.

2. Toutes les normes ne sont pas des normes euclidiennes. Cela bloque au moment de prouver

la linearite de l'addition pour la forme polaire associee. On peut d'ailleurs remarquer qu'une norme est euclidienne si et seulement si elle verie l'identite du parallelogramme.

1.2 Vecteurs orthogonaux

Dans toute la suite, on se place dans le cadre d'un espace vectoriel euclidienE, et on note le produit scalaire "." Denition 1.2Deux vecteurs sont dits orthogonauxs'ils sont conjugues :X:Y= 0. 2 Theoreme 1.2Le vecteur nul est le seul vecteur qui soit orthogonal a tout vecteur deE. Theoreme 1.3Une condition necessaire et susante pour que deux vecteursXetYsoient orthogonaux est qu'ils verient : jjX+Yjj2=jjXjj2+jjYjj2

1.3 Bases orthonormees

Denition 1.3Un systemeVest dit orthogonalsi deux vecteurs distincts deVsont orthogo- naux. Un systemeVest dit orthonormes'il est orthogonal et que tous les vecteurs sont de norme 1. Proposition 1.4Tout systeme orthogonal qui ne contient pas0est libre.

Theoreme 1.5 (Procede d'orthogonalisation de Schmidt)SiEest un espace vectoriel euclidien, etE0un sous-espace deEde dimension

nie, alorsE0admet au moins une base orthonormale.

Preuve du Theoreme 1.5:Cette preuve est a connaitre puisqu'elle fournit la construction d'une base orthonormale a partir

d'une base quelconque. Remarquons qu'il sut d'obtenir une base orthogonale, puis de la normer i.e. de diviser chacun des vecteurs de base par sa norme. E

0est de dimension niep, donc il existe une base deE0: notons lae1;e2;:::;ep.

3 On posev1=e1, et on cherchev22V ect(e1;e2), qui soit orthogonal av1, et qui forme une famille libre : v

2=e2v1

Le calcul montre qu'il sut de prendre=e1:e2jje1jj2. Supposons maintenant avoir construitv1;v2;:::;vn1une base orthogonale deV ectfe1;:::;en1g, avecn < p.

On cherchevnde la formeenn1X

i=1 ivi. Commevivk= 0 des quei6=k, les conditionsvivn= 0 implique que8i2[[1;n1]], on ai=envijjvijj2. La propriete de recurrence est donc aussi vraie au rangn.

On peut conclure.

Proposition 1.6Si(e1;:::;en)est une base orthonormee, et si- Xet-

Ysont des vecteurs de

coordonneesX= (xi)etY= (yj)dans cette base, alors- X:- Y=nX i=1x iyi: =det(tX:Y) =det(tY:X) jj- Xjj=v uutn X i=1x 2i Le resultat des courses est interessant : siEest un espace vectoriel reel donne, muni d'une base quelconque, il sut de considerer le produit scalaire- X:- Y=nX i=1x iyipour le munir d'une structure euclidienne (ce qui revient a considerer arbitrairement que cette base est orthonormee). Ainsi lorsqu'on parle deRncomme espace vectoriel euclidien, c'est que l'on considere que sa base canonique est orthonormee. De m^eme un isomorphisme entre deux espaces vectoriels euclidiens garde la structure euclidienne s'il envoie une b.o.n sur une b.o.n. Donc tout espace euclidien de dimensionnest isomorphe d'une innite de maniere aRnmuni de sa structure euclidienne. Theoreme 1.7L'ensembleE00des vecteurs orthogonaux a tous les vecteurs d'un sevE0est un sev deE; on dit que c'est le sous-espace vectoriel orthogonaldeE0

Si un vecteur-

Vest orthogonal a tous les vecteurs d'une partieAdeE, alors il est orthogonal au sev engendre parA. Pas de surprise dans ce theoreme qui avait deja ete vu. Par contre, comme la forme quadratique est denie positive, on a le theoreme suivant : 4 Theoreme 1.8SiEest un espace vectoriel euclidien de dimensionn, et siE00est le sous- espace orthogonal du sous-espaceE0, le sous-espace orthogonal deE00estE0; E

0etE00sont supplementaires.

Ils sont dits sous-espaces orthogonaux.

2 Groupes Orthogonaux

Dans cette section, on considereEunK-espace muni d'une forme quadratique non degeneree, de forme polaire'. Certaines propretes du produit scalaire restent neanmoins vraies :

1. Tout systeme de vecteurs 2 a 2 conjugues dont aucun n'est le vecteur nul est libre,

2. SiEest de dimension nie, le procede d'orthogonalisation de Schmidt reste pertinent,

3. SiEest de dimension nie, siE00est l'espace conjugue deE0, alorsE0est celui deE00et

ils sont supplementaires. On a en plus siKest algebriquement clos, la propriete suivante : Proposition 2.9En dimension nie, siKest algebriquement clos, ou siEest euclidien, alors il existe des bases reduites dans lesquelles la matrice deet donc de'estIn. On dira alors que ces bases sont orthonormeees relativement a'. Theoreme 2.10 (et Denition)Les deux proprietes suivantes d'un endomorphisme deEsont equivalentes : (i)8-

X2E(f(-

X)) = (-

X) (ii)8(- X;-

Y)2E2'(f(-

X);f(-

Y)) ='(-

X;- Y): Quandfpossede ces proprietes, on dit qu'il conserveet'. Denition 2.4Tout automorphismefdeEconservant la forme quadratiqueest dit operateur orthogonal deE, relativement a; 5 Theoreme 2.11 (et Denition)L'ensembleO'(E)des operateurs orthogonaux deE, relativement a'est un sous-groupe deGL(E); on dit queO'(E)est le groupe orthogonal deErelativement a'.

On se place desormais en dimension nie:

Theoreme 2.12Tout endomorphismefd'un espace vectoriel de dimension nie qui conserve la forme quadratique est un operateur orthogonal. Theoreme 2.13SoitBune base deEdans laquelle'est representee par la matrice (symetrique)A. L'endomorphismefdeEest un operateur orthogonal relativement a'si et seulement si la matriceSqui representefdansBverie :

A=tSAS:

Quand on applique ce theoreme a un operateur orthogonal dans une base orthonormee, cela donne Corollaire 2.14fest un operateur orthogonal si et seulement si sa matriceSdans une base orthonormee verie tSS=In Corollaire 2.15Le determinant d'un operateur orthogonal est +1 ou -1. Theoreme 2.16 (et Denition)L'ensembleSO'(E)des operateurs orthogonaux deE, relativement a', dont le determinant est 1 est un sous-groupe distingue deO'(E). On dit queSO'(E)est le groupe special orthogonal deE, relativement a'. 6

Preuve du Theoreme 2.16:Il sut de remarquer que l'applicationdetdeO'(E) dansf1;1gest un morphisme de groupe.

Son noyauSO'(E) est un sous-gruope distingue deO'(E). Il faut d'ailleurs remarquer que cela

marche encore si l'on part deGL(E), puisqu'on arrive dansR.Remarque 2SiBest une base orthonormale,f2 L(E)est un operateur orthogonal si et

seulement sif(B)est une base orthonormale. Theoreme 2.17SiBest une base orthogonale, etSla matrice de passage deBdans une autre baseB0,B0est orthogonale si et seulement sitSS=In. Theoreme 2.18Pour une matrice carree d'ordrensur un corps commutatifK, les trois condi- tions suivantes sont equivalentes : 1. tSS=In,

2.StS=In,

3.Sest inversible etS1=tS.

On dit alors que la matriceSest orthogonale.

Corollaire 2.19Srepresente un operateur orthogonal si et seulement siSest une matrice orthogonale. Remarque 3Ca ne coute rien de remarquer qu'une matrice est orthogonale si et seulement si la somme des carres des elements de chaque ligne (colonne) vaut 1, et que la somme des produits termes a termes des deux lignes distinctes (colonnes distinctes) vaut 0. On peut aussi dire qu'une matrice est orthogonale si et seulement si ses lignes (colonnes) forment une base orthonormee de l'espace vectorielKnmuni de sa structure canonique. Remarque 4SiSest une matrice orthogonale, en utilisant la matrice des cofacteurs (St(Com(S)) =det(S)In), on trouve en appelantSijle cofacteur desijque S ij=det(S)sij:

Et commedet(S)vaut +1 ou -1, ...

Remarque 5Dans un espace euclidien de dimension nie, une matrice de passage transforme une b.o.n en une b.o.n si et seulement si elle est orthogonale. 7 Denition 2.5SoitEun espace vectoriel de dimension nie, muni d'une forme quadratique non degeneree, soitBune base de reference. On dira qu'une autre baseB0a m^eme orientationqueBsi le determinant de la matrice de passage de l'une a l'autre est positif. Dans le cas contraire, on dira qu'elles ont des orientations opposees. On distinguera donc les notions d'orientation directe, et d'orientation indi- recte. Denition 2.6Dans un espace vectoriel euclidien, toute notion qui depend de l'orientation est une notion axiale.quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34

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