PRODUIT SCALAIRE
La norme du vecteur u ! notée u !
PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE
I. Produit scalaire de deux vecteurs orthogonal à tout vecteur admettant un représentant dans P. ... de vecteur directeur orthogonale à deux droites.
1 Produit scalaire et orthogonalité
Définition 1.2. Deux vecteurs sont dits orthogonaux s'ils sont conjugués : X.Y = 0. Page 2. 2. Théor`eme 1.2. Le vecteur nul est le seul vecteur qui
Produit scalaire et orthogonalité dans R
Définition 4 – Vecteurs orthogonaux pour un produit scalaire. Orthoganlité de deux vecteur. On dit que les vecteurs x ? Rn et y ? Rn sont orthogonaux
Produit scalaire dans lespace - Lycée Pierre Gilles de Gennes
Produit scalaire de deux vecteurs dans l'es- elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. ... Vecteurs orthogonaux vecteurs normaux .
Produit scalaire dans le plan Fiche
Il faut connaître trois produits scalaires particuliers : – si l'un des deux vecteurs est nul leur produit scalaire est nul ;. – deux vecteurs sont orthogonaux
Le produit scalaire
Le vecteur nul est donc orthogonal à tout vecteur. Application. Dire que deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires équivaut à dire que AB? . CD=
Terminale S - Produit scalaire dans lespace
= ?1 ? 1 + 2 = 0 Donc les vecteurs ? et sont orthogonaux. 2) vecteur normal à un plan. Un vecteur . non nul est normal à
Produit scalaire
II- Produit scalaire et orthogonalité. Définition : Deux vecteurs ? et sont dits orthogonaux lorsque leurs directions sont perpendiculaires.
Produit scalaire de deux vecteurs Prérequis
II-2- par projection orthogonale ; Produit scalaire de deux vecteurs.
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2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u ! et v ! deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u ! par v ! noté u
[PDF] PRODUIT SCALAIRE DANS LESPACE - maths et tiques
Théorème : Un vecteur non nul de l'espace est normal à un plan P s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P Démonstration : Elle est incluse dans
[PDF] Produit scalaire : Résumé de cours et méthodes 1 Introduction 2
1-1 Produit scalaire et orthogonalité PROPRIÉTÉ Dire que deux vecteurs ??u et ??v sont orthogonaux équivaut à dire que ??u·??v = 0
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Définition3 : Soit u et v deux vecteurs du plan On appelle produit scalaire de u par v noté uv le nombre réel définit par : a)
[PDF] Vecteurs : Produit scalaire et produit vectoriel
Définition • Le produit scalaire de deux vecteurs et noté est un scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs par le cosinus de leur angle
[PDF] Le produit scalaire de deux vecteurs CoursMathsAixfr
une formule utilisant le cosinus de l'angle formé par les deux vecteurs - un calcul utilisant la projection orthogonal d'un des vecteurs sur le deuxième une
[PDF] Propriétés de calcul du produit scalaire - Projeté orthogonal
2) Propriétés: Pour tous vecteurs et et tout nombre réel • ( ) = +
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III Propriétés du produit scalaire 1) Produit scalaire et orthogonalité a Vecteurs orthogonaux Soient ?u et ?v deux vecteurs non nuls du plan et A B
[PDF] Le produit scalaire et ses applications - Lycée dAdultes
17 mai 2011 · Définition 1 : On appelle produit scalaire de deux vecteurs u et v le tions orthogonales respectives de C et D sur la droite AB
[PDF] PRODUIT SCALAIRE ET GEOMETRIE REPEREE
17 avr 2021 · On appelle le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ? et l'unique réel noté ?? et ?? sont orthogonaux ? ??
Comment déterminer que deux vecteurs sont orthogonaux ?
Deux vecteurs sont perpendiculaires (ou orthogonaux) lorsqu'ils se coupent à angle droit. Ainsi, l'angle qui est formé par l'intersection de deux vecteurs orthogonaux est de 90?. 90?. Pour déterminer si deux vecteurs sont perpendiculaires, on peut effectuer le produit scalaire de ceux-ci.Comment trouver le produit scalaire de deux vecteurs ?
Dans un repère orthonormé, le produit scalaire de deux vecteurs est égal à la somme des produits de leurs composantes correspondantes. ?u??v=uxvx+uyvy. ?u??v=uxvx+uyvy+uzvz.Qu'est-ce que le produit scalaire de deux vecteurs ?
le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel; les deux opérandes d'un produit scalaire sont des vecteurs; les opérandes de la multiplication d'un vecteur par un scalaire sont un vecteur et un nombre réel; le résultat de la multiplication d'un vecteur par un scalaire est un vecteur.- On peut trouver réponse à cette question en examinant ce à quoi sert le produit scalaire en 1re S : il est utile pour démontrer que deux droites ou deux directions sont orthogonales, pour déterminer un angle géométrique (par calcul de son cosinus), et enfin pour établir le théorème d'Al-Kashi.
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e& 2eannéeChapitre | AL16 Produit scalaire et orthogonalité dansRnVersion du 10-08-2023 à 15:35Contexte
Dans tout ce qui suit, sauf mention contraire,ndésignera un entier naturel non nul.1.Produit scalaire et norme associée dansRnDéfinition 1| Produit scalaire euclidien et norme associée
On appelleproduit scalaire euclidien deRnnoté⟨•|•⟩l"application :⟨•|•⟩:R
n×Rn-→R (u1, ..., un)|{z} u,(v1, ..., vn)|{z} v7-→ ⟨u|v⟩=u1v1+u2v2+u3v3+...+unvnOn appellenorme euclidienne deRnnoté∥•∥l"application :∥•∥:R
n-→R(u1, ..., un)|{z} u7-→ ∥u∥=pu21+u22+...+u2nc"est à dire∥u∥2=⟨u|u⟩Proposition 1| Produit du produit scalaire euclidien deRnLe produit scalaire⟨•|•⟩ainsi défini surRnappelé aussiproduit scalaire canonique, possède les propriétes suivantes :Caractère symétrique
⟨u|v⟩=⟨v|u⟩Caractère linéaire à droite | Bilinéaire∀λ∈R,⟨u|λv+w⟩=λ⟨u|v⟩+⟨u|w⟩On en déduit qu"il est aussilinéaire à gauche. On dit
alors qu"il estbilinéaire.Caractère positif
⟨u|u⟩ ≥0Caractère défini (⟨u|u⟩= 0)⇔ uest le vecteur nulÉléments de preuve:Les caractères symétrique et linéaire à droite s"obtiennent directement à partir de la définition.CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:351AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeRemarque 1| Lien avec les vecteurs du plan ou de l"espaceÀ la représentation près des vecteurs deR2ouR3, on retrouve les formules de produit scalaire et de normes de vecteurs
pour les vecteurs du plan ou de l"espace :DansR2Pour -→uu1 u 2 et-→vv1 v 2 deux vecteurs du plan dont les coordonnées sont données dans un repère orthonormé du plan, on a : u .-→v=u1v1+u2v2et -→u =qu21+u22DansR3Pour
-→u u 1 u 2 u et-→v v 1 v 2 v deux vecteurs de l"espace dont les coordonnées sont données dans un repère orthonormé de l"espace, on a : u .-→v=u1v1+u2v2+u3v3et -→u =qu21+u22+u23Le produit scalaire euclidien surRnsatisfait les mêmes propriétés que le produit scalaire des vecteurs du plan ou de l"espace,
et prolonge simplement les définitions et résultats donnés en dimension 2 ou 3.Exemple 1| Première application numérique
DansR2, calculer le produit scalaire euclidien⟨(-2,3)|(-1,2)⟩:puis la norme euclidienne de(-3,4)∈R2:DansR3, calculer le produit scalaire euclidien⟨(2,1,3)|(-1,2,4)⟩:puis la norme euclidienne de(1,2,-3)∈R2:Théorème 1| Inégalité de Cauchy-Schwarz
Éléments de preuve:
Soit(x,y)∈Rn×Rn. On considère la fonctionP:t7-→ ⟨x+ty|x+ty⟩. La positivité du produit scalaire donne que :La bilinéarité du produit scalaire donne que :CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:352AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeAinsiPest une fonction polynôme de degré 2 qui est de signe constant, son discriminant est donc négatif ou nul.Proposition 2| Homogénéité de la norme et inégalité triangulaire
Pour tout(u,v)∈Rn×Rnetλ∈R:∥λu∥=|λ|∥u∥(∥u∥= 0)⇔
Éléments de preuve:
2=|t|.
Soitu= (u1, ..., un)∈Rn. On a :λu= (λu1, ..., λun). Par suite :∥λu∥2= (λu1)2+...+ (λun)2 =λ2u21+...+λ2u2n=λ2u21+...+u2nce qui donne∥λu∥2=λ2∥u∥2et finalement∥λu∥=|λ|∥u∥.
2.C"est une simple conséquence du caractère défini du produit scalaire.
De plus, par bilinéarité du produit scalaire :Proposition 3| Formules liant produit scalaire et norme
Pour tout(x,y)∈Rn×Rn, on a :Identités remarquables∥x+y∥2=∥x∥2+ 2⟨x|y⟩+∥y∥2∥x-y∥2=∥x∥2-2⟨x|y⟩+∥y∥2Identités de polarisation
⟨x|y⟩=12 ∥x+y∥2- ∥x∥2- ∥y∥2⟨x|y⟩=14 ∥x+y∥2- ∥x-y∥2CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:353AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeIdentité du parallélogramme ∥x+y∥2+∥x-y∥2= 2 ∥x∥2+∥y∥2Éléments de preuve:CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:354AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannée2.Distance dansRnDéfinition 2| Distance euclidienne On appelle distance euclidienne deRnnotéd(•,•)l"application :d(•,•) :R n×Rn-→R(u,v)7-→d(u,v) =∥u-v∥Remarque 2| Interprétation géométrique 0uvReprésentation vectorielleu-vu+v•
O•
A•
B Représentation dans le plan ou l"espace--→OA--→
OB--→
OA---→OBAB=
--→OA---→OB --→ABLa distance entre les deux vecteurs
--→OAet--→OBdont les coordonnées sont vues comme des éléments deR2ouR3estégale à la distance entre les deux pointsAetBProposition 4| Homogénéité et inégalité triangulaire pour la distance euclidienne
Inégalité triangulaire•-→
0uv-→
w(3) (1)(2) (1) = d(u,v) (2) = d(u,w) (3) = d(w,v)Éléments de preuve:CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:355AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannée3.Boules deRnDéfinition 3| Boule ouverte et boule fermée Soita∈Rnetr >0. On appelle :Boule ouverte de centreaet de rayonrB o(a,r) ={u∈Rn,d(a,u)< r}Boule fermée de centreaet de rayonrB 0aru 1u 2u 3u1......Bo(a,r)
u1......Bf(a,r)
u2......Bo(a,r)
u2......Bf(a,r)
u3......Bo(a,r)
u3......Bf(a,r)Remarque 3| Représentation des boules dansR,R2ouR3Pour se représenter les boules ouvertes et fermées dansRnavecn∈ {1,2,3}, on fera abstraction de la représentation
vectorielle des éléments deRntel qu"on vient de le faire dans la définition.Boules deR| Poura∈RR•a
Boule ouverte de
centreaet de rayonra-ra+rR•aBoule fermée de centre
aet de rayonra-ra+rOn reconnaît les intervalles ouverts et fermés.Boules deR2| Poura= (a1,a2)∈R2•a
Boule ouverte de
centreaet de rayonrr •aBoule fermée de centre
aet de rayonrr On reconnaît les disques, avec ou non leur bord.Boules deR3| Poura= (a1,a2,a3)∈R3ar On reconnaît les sphères, avec ou non leur surface.CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:356AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannée4.OrthogonalitéDéfinition 4| Vecteurs orthogonaux pour un produit scalaireOrthoganlité de deux vecteurs
On dit que les vecteursx∈Rnety∈Rnsontorthogonauxlorsque⟨x|y⟩= 0et on le notex⊥y.
Famille orthogonale
On dit que la famille(u1, ..., up)deRnest une
familleorthogonalede vecteurs deRnlorsque :∀(i,j)∈J1;pK×J1;pK, i̸=j, ui⊥ujAutrement dit :∀(i,j)∈J1;pK×
J1;pK, i̸=j,⟨ui|uj⟩= 0Famille orthonormée On dit que la famille(u1, ..., up)de vecteurs deRn est une familleorthonoméeou orthonormale de vec- teurs deRnlorsque c"est une familleorthogonaletelle que pour touti∈J1;pK,∥ui∥= 1.Proposition 5| Normer un vecteur
Soitx∈Rntel quex̸=-→0.
Alors le vecteur1∥x∥xest un vecteur unitaire.Éléments de preuve:1∥x∥x
=1∥x∥× ∥x∥
1∥x∥× ∥x∥
= 1Théorème 2| Théorème de Pythagore pour deux vecteurs deRnSoit(x,y)∈Rn×Rn. Alors :
(x⊥y)⇔ ∥x∥2+∥y∥2=∥x+y∥2Éléments de preuve:D"après l"identité de polarisation :Théorème 3| Théorème de Pythagore pour une famille dep≥3vecteurs deRnSi(u1, ..., up)une familleorthogonaledep≥3vecteurs deRn,alors∥u1+u2+...+up∥2=∥u1∥2+∥u2∥2+...+∥up∥2.
Réciproque fausse dans ce cas.
CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:357AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeThéorème 4| Liberté d"une famille orthogonale Si(u1, ..., up)est une familleorthogonalede vecteurs deRnne contenant pasle vecteur nul -→0,alorsla famille (u1, ..., up)est unelibredeRn.Éléments de preuve:5.Vecteur orthogonal à un sous-espaceDéfinition 5| Vecteur orthogonal à un sous-espace
Soitxun vecteur deRnetFunsous-espacedeRn.
On dit que le vecteurxestorthogonalàFlorsqu"il est orthogonal àtoutvecteur deF.Ainsi, on a :(xest orthogonal àF)⇔(∀f∈F,⟨x|f⟩= 0)Théorème 5| Famille génératrice et orthogonalité
SoitFun sous-espace vectoriel deRntel queF= Vect (f1,...,fp).Un vecteurx∈Rn
est orthogonal àF ∀i∈J1;pK,⟨x|fi⟩= 0Méthode 1| Vecteur orthogonal à un sous-espace Pour montrer qu"un vecteurxdeRnest orthogonal à un sous-espaceFdeRn, on peut :Étape 1 :chercher une familleF= (f1, ..., fp)génératrice deF, c"est à direF= Vect (f1,...,fp).
Étape 2 :montrer que pour touti∈J1;pK, le vecteurxest orthogonal au vecteurfi, c"est à dire :
∀i∈J1;pK,⟨x|fi⟩= 0Application 1|Réf.4065On munitR4de son produit scalaire canonique et on considère le sous-espaceFdeR4donné par :
F=(x,y,z,t)∈R4,2x-t= 0, x+ 2y-z= 0
Montrer que le vecteur
-→u= (1,-2,1,-1)est orthogonal àF.CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:358AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeDéfinition 6| Sous-espace orthogonauxSoientFetGdeux sous-espaces vectoriels deRn.
On dit queFetGsont orthogonaux lorsque :∀(f,g)∈F×G,⟨f|g⟩= 0Lorsque ce sera le cas, on noteraF⊥G.Exemple 2| Deux sous-espaces orthogonaux deR3Montrer queH=(x,y,z)∈R3, x+y+z= 0etG= Vect ((1,1,1))sont deux sous-espaces ortho-
gonaux deR3.6.Orthogonal d"un sous-espace vectorielDéfinition 7| Orthogonal d"un sous-espaceSoitFunsous-espacevectoriel deRn.
On appelleorthogonaldeFet on noteF
⊥, l"ensemble défini par : F ⊥={x∈E,∀f∈F,⟨x|f⟩= 0}On retiendra donc que :F ⊥est l"ensemble desvecteurs orthogonauxà tousles vecteurs deFIl vient notamment que :E⊥=n-→0o
etn-→0o ⊥=E.Théorème 6| Structure vectorielle de l"orthogonalSiFun sous-espace vectoriel deRn,alorsF⊥est unsous-espacevectoriel deRn.Éléments de preuve:
F ⊥⊂E:par définition deF⊥.-→0∈F⊥:en effet, le vecteur nul étant orthogonal à tous les vecteurs deRn, il est orthogonal à tous les vecteurs de
F.Stabilité deF⊥par combinaison linéaire :soientu1∈F⊥,u2∈F⊥etλ∈R. On posew=λu1+u2. Pour tout
f∈F, on a :Doncλu1+u2∈F⊥ce qui est ce que l"on voulait.CPGE-BL | 1 e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:359AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnBL | 1
e& 2eannéeProposition 6| Propriétés de l"orthogonal SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels orthogonaux deRn.SiF⊥G,alorsF∩G=n-→0o.Éléments de preuve:
Soitx∈F∩G. Il vient que⟨x|x⟩= 0carx∈Fetx∈G avecF⊥G. Donc∥x∥= 0ce qui donnex=-→0. D"où l"inclusionF∩G⊂n-→0o
, l"inclusion réciproque étant triviale.F∩F⊥=n-→0oÉléments de preuve: PuisqueFetF⊥sont orthogonaux d"après le point précédent, il vient queF∩F⊥=n-→0o .F⊂F⊥⊥.Éléments de preuve:
Par définition,
F⊥⊥=n
u∈E,∀f∈F⊥,⟨u|f⟩= 0oSoit alorsx∈F. Montrons quex∈
F⊥⊥, c"est à dire que :∀f∈F⊥,⟨x|f⟩= 0.Soit alorsf∈F⊥. Commex∈F, etf∈F⊥, il vient que⟨x|f⟩= 0, doncx∈
F⊥⊥d"où
l"inclusion voulue.Application 2|Réf.4067On munitR4de son produit scalaire canonique et on considère le sous-espaceFdeR4donné par :F=(x,y,z,t)∈R4,2x-t= 0, x+ 2y-z= 0.
Déterminer une base deF⊥.CPGE-BL | 1
e& 2eannée|Mathématiques Version du 10-08-2023 à 15:3510AL16| Produit scalaire et orthogonalité dansRnquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] bilan de matiere 1ere s
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