TABLE TRIGONOMETRIQUE
TABLE TRIGONOMETRIQUE. Degrés. Cosinus. Sinus. Tangente. 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.
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TABLE TRIGONOMETRIQUE
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Trigonométrie dans le cercle
Table des matières
1 Angles dans un cercle2
1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Lignes trigonométriques5
2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8
PAULMILAN1 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
1 Angles dans un cercle
1.1 Cercle trigonométrique
Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -11.2 Le radian
Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1La mesure en degré de 1 radian vaut
donc :1 rd=180
π?57°
Remarque :Le radian est une grande
unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.Avantage: Permet de connaître la lon-
gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:Degré30°45°60°90°
Radianπ
6 4 3 2PAULMILAN2 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°
Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ180radian.
On obtient alors :
Radianπ
12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :8,7π12,5π18,11π6
Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180πdegré.
Radianπ
8 7π 12 5π 1811π
6Degré22,5°105°50°330°
1.3 Angles dans le cercle trigonométrique
Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"On a représenté deux anglesαetβdont
l"un est positifαet l"autre négatifβ.On remarquera que l"on a indiqué le
sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.PAULMILAN3 SECONDES
1. ANGLES DANS UN CERCLE
O?0 ?π6 π4 π3 π22π3
3π4
?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xySur la figure ci-contre on a tracé deux
mesures d"un même angle repéré par un point M.Par exemplex=π
6ety=-11π6.
En effet :
6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6PAULMILAN4 SECONDES
2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
17π
4est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombrekde tours (2π)
pour obtenir la mesure principale :17π
4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2
31π
6est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombrekde tours
(2π) pour obtenir la mesure principale :31π
6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3
2 Lignes trigonométriques
2.1 Définitions
Définition 5 :Soit un angleαrepéré
par un point M sur le cercle trigonomé- trique. On appelle :cosα=OH projectiondeMsurl"axe
des abscissessinα=OK projection de M sur l"axe
des ordonnéestanα=AM" intersection de (OM)
avec la tangente en A cosα sinαtanα O? A? M M" H? KRemarque :Pour tout réelx, on a :
-1?cosx?1 et-1?sinx?1 cos2x+sin2x=1 et 1+tan2=1
cos2x2.2 Tableau des angles remarquables
Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien connaître :Angle0π
6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3
31⎷3?
PAULMILAN5 SECONDES
2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
2.3 Relations entre deux angles
a) Angles opposés sin(-α) =-sinα cos(-α) = +cosα tan(-α) =-tanαOn peut constater que les fonctions si-
nus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire Oα -αcosα sinα -sinα b) Angles supplémentaires et opposés supplémentairesAngles supplémentaires
sin(π-α) = +sinα cos(π-α) =-cosα tan(π-α) =-tanαAngles opposés supplémentaires
sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = +tanα Oαπ+αcosα-cosα
sinα -sinα c) Angles complémentaires et opposés complémentairesAngles complémentaires
sin?π2-α?
=cosα cos2-α?
=sinαOαπ
2-α
cosα sinαAngles opposés complémentaires
sin?π2+α?
=cosα cos2+α?
=-sinαOαπ
2+α
cosα cosα sinα -sinαPAULMILAN6 SECONDES
2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES
2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle
Voici sur le cercle trigonométrique l"ensemble des lignes trigonométriques des angles remarquables dans le cercle trigonométrique. 0π 2 2π 6π 4π32π3
3π 4 5π 6 5π 6 3π 4 2π3-π3-
4- 612⎷
22⎷
3 2-12- 2 2 3 212⎷
22⎷
3 2 1 2 2 2 32⎷
3 3+1 3+ 3 3+ -1+ 3+ Exemple :Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des angles suivants :3,5π6,7π4
Avec-π3
cos? 3? =cosπ3=12 sin 3? =-sinπ3=-⎷ 2 2 tan? 3? =-tanπ3=-⎷3PAULMILAN7 SECONDES
3. REPRÉSENTATION DES FONCTION SINUS, COSINUS ET TANGENTE
Avec5π6
cos5π6=cos?
π-π6?
=-cosπ6=-⎷ 3 2 sin 5π6=sin?
π-π6?
=sinπ6=12 tan 5π6=tan?
π-π6?
=-tanπ6=-⎷ 3 3Avec7π4=-π4[2π]
cos 7π4=cos?
-π4? =cosπ4=⎷ 2 2 sin 7π4=sin?
-π4? =-sinπ4=-⎷ 2 2 tan 7π4=tan?
-π4? =-tanπ4=-13 Représentation des fonction sinus, cosinus et tan-
gente Les courbes des fonction sinus et cosinus s"appelle des sinusoïdes. Elle sont iden- tiques à une translation près. La courbe de la fonction tangente n"a pas de nom. On peut remarquer quela fonction tangente n"est pas définie enπ2+kπaveck?Z.
0.51.01.5
-0.5 -1.0 -1.5π2π3π2-π2-π-3π2O
sinxcosx tanx 2πPAULMILAN8 SECONDES
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