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DERNIÈRE IMPRESSION LE24 juin 2019 à 10:40

Fonctions trigonométriques

Table des matières

1 Angles orientés2

1.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Angle défini sur l"ensemble des réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Angles remarquables sur le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Trigonométrie3

2.1 Dans le triangle rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.4 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.1 Relations de symétrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.4.2 Relations de déphasage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.5 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.6 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Fonctions sinus et cosinus7

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.2 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.3 Variations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.4 Courbes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

PAUL MILAN1PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

TABLE DES MATIÈRES

1 Angles orientés

1.1 Le radian

Définition 1 :Le radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet correspond à un angle deπradian.

On a alors la conversion : 180°=πrd

La mesure en degré de 1 radian vaut :

1 rd=180

π≈57°

Degré30°45°60°90°

Radianπ

6 4 3 2

Remarque :Le radian est une grande

unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré. 1 rd O 11 -1 -1

Le cercle unité est aussi appelé

cercle trigonométrique.

1.2 Angle défini sur l"ensemble des réels

Définition 2 :On appelledla droite tangente au cercle unité en I. À un point M(1;x)ded, on associe un point M1par enroulement dedsur le cercle unité. Au réelx, on associe alors l"angle, en radian, formé par les points O, Iet M1 compté positivement ou négativement suivant le sens de la rotation. Le sens positif ou trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d"une montre.

•Si M1est un point du cercle d"anglex,

il est alors associé à tousx??Rtels que :x?=x+k×2π,k?Z.

•Réciproquement six,x??Rtels que

x ?=x+k×2π,k?Zalors,xetx? sont associés au même point M 1du cercle trigonométrique.

•On écrit alors :x?=x[2π]

OM x I M 1 x1 -11 2 3 4 5+ d

PAUL MILAN2PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

2. TRIGONOMÉTRIE

Exemple :-5π3=π3[2π]en effet,-5π3+2π=-5π+6π3=π3

1.3 Angles remarquables sur le cercle

Angles remarquables sur le cercle trigonométrique dans l"intervalle]-π;π] O?0 ?π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3 -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6

2 Trigonométrie

2.1 Dans le triangle rectangle

Définition 3 :Dans un triangle ABC rectangle en A, on définit les rapports suivants (qui ne dépendent que de la mesure des angles) : sin ?B=côté opposé hypoténuse=ACBC cos ?B=côté adjacent hypoténuse=ABBC tan ?B=côté opposé côté adjacent=ACABA BC côté adjacent hypoténuse côté opposé Remarque :Lorsque l"on veut connaître l"angle d"un sinus, cosinus ou tangente donnés, on utilise les fonctions réciproques : arcsin, arccos ouarctan.

Exemple :Soit ABC rectangle en A tel

que : ?ABC=20° et AB = 6

Calculer les longueurs BC et AC.

6A BC

20°

tan20°=AC

AB?AC=ABtan20°=6tan20°≈2,18

PAUL MILAN3PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

TABLE DES MATIÈRES

Soit ABC rectangle en A tel que :

BC = 7 et AC = 3. Calculer l"angle?ABC.

sin ?ABC=AC

BC=37?

ABC=arcsin3

7≈25,38°

37
AC B

2.2 Définition

Définition 4 :M est le point du cercle trigonométrique associé au réelx cosx=abscisse du point M sinx=ordonnée du point M tanx=sinx cosx

On a alors :

•-1?sinx?1 et-1?cosx?1

•sin2x+cos2x=1

11 -1 -1x cosx sinxM O

2.3 Tableau des angles remarquables

x0π 6 4 3 2 sinx01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cosx1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tanx0 ⎷3

31⎷3∞

Démonstration :On calcule sinπ3et cosπ3à l"aide d"un triangle équilatéral. Soient le triangle équilatéral ABC de côté 1 et H le pied de la hauteur issue de A. D"après les propriétés de triangle équilatéral H=m[BC] AH

2=AB2-BH2=1-1

4=34?AH=⎷

3 2 sin

3=AHAB=⎷

3

2et cosπ3=BHAB=12B CA

H 31
1 2

PAUL MILAN4PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

2. TRIGONOMÉTRIE

On calcule sinπ4à l"aide du carré ABCD de côté 1.

Dans le triangle isocèle rectangle ABC.

AC

2=AB2+BC2=1+1=2?BC=⎷

2 sin

4=BCAC=1⎷2=⎷

2

2B CDA

4 1 À l"aide de l"angle complémentaire, on déduit les autres valeurs des lignes trigo- nométriques. Par exemple sin

6=cos?π2-π6?

=cosπ3=12.

2.4 Relations trigonométriques

2.4.1 Relations de symétrie

Avec l"angle opposé :

sin(-x) =-sinx cos(-x) = +cosx

Avec l"angle supplémentaire :

sin(π-x) = +sinx cos(π-x) =-cosx

Avec l"angle diamétralement opposé :

sin(π+x) =-sinx cos(π+x) =-cosx sinx -sinx cosx-cosx xπ-x -xπ+x11 O Remarque :La fonction sinus est impaire et la fonction cosinus est paire.

2.4.2 Relations de déphasage

Avec le complémentaire

sin?π 2-x? =cosx cos 2-x? =sinx

Avec un déphasage d"un quart de tour

sin?π 2+x? =cosx cos 2+x? =-sinx sinx-sinx cosx xπ

2-xπ2+x

11 O

Exemple :Simplifier :A=cos?

x+π2? -3cos? -π2-x? -4sin(π-x) A l"aide des formules de symétrie et de déphasage, on a :

A=-sinx-3cos?π

2+x? -4sinx=-sinx+3sinx-4sinx=-2sinx

PAUL MILAN5PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

TABLE DES MATIÈRES

2.5 Équations trigonométriques

Résolution des équations dansR: cosx=aet sinx=aavec|a|?1

1) cosx=a?cosx=cosαavec

On détermineα?[0;π]tel queα=arccosaà l"aide du cercle unité. D"après les règles de symétrie :x=αoux=-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π cosx=a?x=α+2kπoux=-α+2kπ,k?Z Remarque :l"expressionx=α+2kπpeut s"écrirex=α[2π]

Exemple :Résoudre dansR:⎷2cosx-1=0

2cosx-1=0?cosx=1⎷2=⎷

2

2?cosx=cosπ4

Les solutions dansRsont :?????x=π

4+2kπou

x=-π

4+2kπ,k?Z

2) sinx=a?sinx=sinα

On détermineα??

2;π2?

tel queα=arcsinaà l"aide du cercle unité. D"après les règles de symétrie :x=αoux=π-α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de 2π

Exemple :Résoudre dansR: 2sinx-⎷3=0

2sinx-⎷

3=0?sinx=⎷3

2?sinx=sinπ3

Les solutions dansRsont :?????x=π

3+2kπou

x=π-π

3+2kπ=2π3+2kπ,k?Z

Autre exemple

Résoudre dansRl"équation : cos2x=1

2 cos2x=1

2?cos2x=cosπ3

?2x=π

3+2kπ

2x=-π

3+2kπ?x=π

6+kπ

x=-π

6+kπ,k?Z

?π6 ?-π6 ?5π6 ?-5π6

PAUL MILAN6PREMIÈRE SPÉCIALITÉ

3. FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.6 Lignes trigonométrie dans le cercle

0 1

π21

-1 -π2-1

π6π

4π

32π3

3π 4 5π 6 5π 6 3π 4 2π

3-π3-

4- 6 +1

2⎷

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