[PDF] Trigonométrie dans le cercle - Lycée dAdultes

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DERNIÈRE IMPRESSION LE6 septembre 2014 à 14:48

Trigonométrie dans le cercle

Table des matières

1 Angles dans un cercle2

1.1 Cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Angles dans le cercle trigonométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Lignes trigonométriques5

2.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Relations entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tangente8

PAULMILAN1 SECONDES

1. ANGLES DANS UN CERCLE

1 Angles dans un cercle

1.1 Cercle trigonométrique

Définition 1 :On appelle cercle trigonométrique dans un repère orthogonal direct(O;-→ı;-→?), le cercle de centreOet de rayon 1. O 11 -1 -1

1.2 Le radian

Définition 2 :La radian est une unité de mesure d"un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l"arc entre 2 points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur deπet donc correspond à un angle deπ radian. On a alors : 180°=πrd 1 rd O 11 -1 -1

La mesure en degré de 1 radian vaut

donc :

1 rd=180

π?57°

Remarque :Le radian est une grande

unité qui n"est pas intuitive contraire- ment au degré qui est notre unité pre- mière.

Avantage: Permet de connaître la lon-

gueur d"un arc. Unité du système inter- national Il est important de connaître les angles remarquables en radian:

Degré30°45°60°90°

Radianπ

6 4 3 2

PAULMILAN2 SECONDES

1. ANGLES DANS UN CERCLE

Exemple :Convertir en radian les angles en degré suivants :

15° , 36° , 75° , 120° , 135° , 150°

Pour convertir un angle en radian, on utilise la conversion 180°=πrd, soit pourx degré on a :xπ

180radian.

On obtient alors :

Radianπ

12 5 5π 12 2π 3 3π 4 5π 6 Exemple :Convertir en degré les angles en radian suivant :

8,7π12,5π18,11π6

Pour convertir un angle en degré, on utilise la conversion 180°=πrd, soit poury radian on a : y180

πdegré.

Radianπ

8 7π 12 5π 18

11π

6

Degré22,5°105°50°330°

1.3 Angles dans le cercle trigonométrique

Définition 3 :La mesure d"un angleαrepéré par un pointMdans le cercle trigonométrique, est la valeur algébrique de la longueur de l"arcAMoùA(1;0) Le sens trigonométrique ou direct correspond au sens antihoraire. O 11 -1 -1M M"

On a représenté deux anglesαetβdont

l"un est positifαet l"autre négatifβ.

On remarquera que l"on a indiqué le

sens trigonométrique On peut noter les angles remarquables sur le cercle trigonométrique. Il est impor- tant de visualiser l"emplacement des angles pour s"en faire une idée.

PAULMILAN3 SECONDES

1. ANGLES DANS UN CERCLE

O?0 ?π6 π4 π3 π2

2π3

3π4

?5π6 ?-π6 ?-π4 -π3? -π2 -2π3 -3π4 ?-5π6 Propriété 1 :Un même angleαpeut avoir plusieurs mesures. Si un angleα, repéré par le pointMsur le cercle trigonométrique, a comme me- suresxety, alors on a la relation suivante : y=x+k2πou plus simplementy=x[2π]yégalxmodulo 2π Exemple :Soit deux mesures sur le cercle trigonométrique d"un même angle : O 11 -1 -1M xy

Sur la figure ci-contre on a tracé deux

mesures d"un même angle repéré par un point M.

Par exemplex=π

6ety=-11π6.

En effet :

6-? -11π6? =(1+11)π6=2π Définition 4 :On appellemesure principaled"un angleα, la mesurexqui se trouve dans l"intervalle]-π;π] Exemple :Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont :17π4 et-31π 6

PAULMILAN4 SECONDES

2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

17π

4est un mesure trop grande, il faut donc lui enlever un nombrekde tours (2π)

pour obtenir la mesure principale :

17π

4-k2π=π(17-8k)4=π4aveck=2

31π

6est une mesure trop petite, il faut donc lui rajouter un nombrekde tours

(2π) pour obtenir la mesure principale :

31π

6+k2π=π(-31+12k)6=5π6aveck=3

2 Lignes trigonométriques

2.1 Définitions

Définition 5 :Soit un angleαrepéré

par un point M sur le cercle trigonomé- trique. On appelle :

•cosα=OH projectiondeMsurl"axe

des abscisses

•sinα=OK projection de M sur l"axe

des ordonnées

•tanα=AM" intersection de (OM)

avec la tangente en A cosα sinαtanα O? A? M M" H? K

Remarque :Pour tout réelx, on a :

-1?cosx?1 et-1?sinx?1 cos

2x+sin2x=1 et 1+tan2=1

cos2x

2.2 Tableau des angles remarquables

Comme déjà vu dans le chapitre sur les configurations, voici le tableau à très bien connaître :

Angle0π

6 4 3 2 sin01 2 ⎷2 2 ⎷3 21
cos1 ⎷3 2 ⎷2 2 1 20 tan0 ⎷3

31⎷3?

PAULMILAN5 SECONDES

2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

2.3 Relations entre deux angles

a) Angles opposés sin(-α) =-sinα cos(-α) = +cosα tan(-α) =-tanα

On peut constater que les fonctions si-

nus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire Oα -αcosα sinα -sinα b) Angles supplémentaires et opposés supplémentaires

Angles supplémentaires

sin(π-α) = +sinα cos(π-α) =-cosα tan(π-α) =-tanα

Angles opposés supplémentaires

sin(π+α) =-sinα cos(π+α) =-cosα tan(π+α) = +tanα Oα

π+αcosα-cosα

sinα -sinα c) Angles complémentaires et opposés complémentaires

Angles complémentaires

sin?π

2-α?

=cosα cos

2-α?

=sinα

Oαπ

2-α

cosα sinα

Angles opposés complémentaires

sin?π

2+α?

=cosα cos

2+α?

=-sinα

Oαπ

2+α

cosα cosα sinα -sinα

PAULMILAN6 SECONDES

2. LIGNES TRIGONOMÉTRIQUES

2.4 Lignes trigonométriques dans le cercle

Voici sur le cercle trigonométrique l"ensemble des lignes trigonométriques des angles remarquables dans le cercle trigonométrique. 0π 2 2π 6π 4π

32π3

3π 4 5π 6 5π 6 3π 4 2π

3-π3-

4- 6

12⎷

2

2⎷

3 2-12- 2 2 3 21

2⎷

2

2⎷

3 2 1 2 2 2 3

2⎷

3 3+1 3+ 3 3+ -1+ 3+ Exemple :Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des angles suivants :

3,5π6,7π4

Avec-π3

cos? 3? =cosπ3=12 sin 3? =-sinπ3=-⎷ 2 2 tan? 3? =-tanπ3=-⎷3

PAULMILAN7 SECONDES

3. REPRÉSENTATION DES FONCTION SINUS, COSINUS ET TANGENTE

•Avec5π6

cos5π

6=cos?

π-π6?

=-cosπ6=-⎷ 3 2 sin 5π

6=sin?

π-π6?

=sinπ6=12 tan 5π

6=tan?

π-π6?

=-tanπ6=-⎷ 3 3

•Avec7π4=-π4[2π]

cos 7π

4=cos?

-π4? =cosπ4=⎷ 2 2 sin 7π

4=sin?

-π4? =-sinπ4=-⎷ 2 2 tan 7π

4=tan?

-π4? =-tanπ4=-1

3 Représentation des fonction sinus, cosinus et tan-

gente Les courbes des fonction sinus et cosinus s"appelle des sinusoïdes. Elle sont iden- tiques à une translation près. La courbe de la fonction tangente n"a pas de nom. On peut remarquer quela fonction tangente n"est pas définie enπ

2+kπaveck?Z.

0.51.01.5

-0.5 -1.0 -1.5π

2π3π2-π2-π-3π2O

sinxcosx tanx 2π

PAULMILAN8 SECONDES

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