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Factorielle et binôme de Newton

Cours

Définition 1.- On note pour toutn?N?,

n! = 1×2×3× ··· ×(n-1)×n(" factoriellen») et l"on pose0! = 1. On peut définirn!par récurrence selon(n+ 1)! =n!×(n+ 1). Rappel.- Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles (par exemple succès et échec). Un schéma de Bernoulli est une répétition d"épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Supposons que l"on répètenépreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. Notons

pla probabilité de succès à chaque épreuve. On obtient ainsi un schéma de Bernoulli de

paramètresnetpque l"on peut représenter par un arbre. Définition 2.- Pour toutk? {0,1,...,n}, le nombre de chemins fournissantksuc- cès sur lesnrépétitions est?n k? ("kparmin»).

On peut démontrer que

?n k? =n!k!(n-k)!=n(n-1)...(n-k+ 1)k!.

On peut aussi montrer que

?n k? représente le nombre de sous-ensembles dekéléments d"un ensemble ayantnéléments, ou encore le nombre de façons de choisirkéléments dans un ensemble ayantnéléments. On peut établir par récurrence que pour toutn?Net pour tousx,y?R(formule du binôme de Newton),(x+y)n=?n 0? x n+?n 1? x n-1y+···+?n n-1? xy n-1+?n n? y n=n? k=0? n k? x n-kyk ?n 0? y n+?n 1? xy n-1+···+?n n-1? x n-1y+?n n? x n=n? k=0? n k? x kyn-k.Les nombres ?n k? sont encore appelés " coefficients binomiaux ». Ils vérifient les pro- priétés suivantes : a) pour tousk,n?Ntels quek6n,?n n-k? =?n k? b) ?n 0? =?n n? = 1,?n 1? =?n n-1? =n,?n 2? =?n n-2? =n(n-1)2 c) pour tousk,n?Ntels quek6n-1,?n k? +?n k+ 1? =?n+ 1 k+ 1? (formule du triangle de Pascal).Pour calculer ?n k? pour de petites valeurs deketn, on peut utiliser le triangle de

Pascal :a

aakn0 1 2 3 4 5 6 7 8 01 11 1

21 2 1

31 3 3 1

41 4 6 4 1

51 5 10 10 5 1

61 6 15 20 15 6 1

71 7 21 35 35 21 7 1

81 8 28 56 70 56 28 8 1

Notation.- Soitp,q?Ntels quep6qetup,up+1,...,uq-1,uqdes nombres. On note q? i=pu i=up×up+1× ··· ×uq-1×uq.

Par exemple,n! =n?

i=1i,eΣn i=1ui=n? i=1e uiet siu1,...,un>0,ln? n? i=1u i? =n? i=1lnui. Application 1 : linéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule d"Euler, pour tout entiern>2, on peut transformercosn(x)etsinn(x)en sommes de termes de la formecos(kx)etsin(kx),k?N?. Exemple :par la formule d"Euler,sin3(x)=?eix-e-ix2i 3 . Donc, grâce au binôme, sin

3(x) =1-8i?(eix)3+ 3(eix)2(-e-ix) + 3(eix)(-e-ix)2+ (-e-ix)3?

=-18i ?e3ix-3eix+ 3e-ix-e-3ix?=-18i ?2isin(3x)-3×2isin(x)? =-14 sin(3x) +34 sin(x). Application 2 : antilinéarisation.- À l"aide du binôme de Newton et de la formule de De Moivre, pour tout entiern>2, on peut transformercos(nx)etsin(nx) en sommes de termes de la formecosk(x)sinl(x),k,l?N. Exemple :on acos(3x) =?e?ei(3x)?etsin(3x) =?m?ei(3x)?. Or, par la formule de

De Moivre et le binôme de Newton,

e

3ix=?eix?3= (cosx+ isinx)3= cos3x+ 3cos2x(isinx) + 3cosx(isinx)2+ (isinx)3

?cos3x-3cosxsin2x?+ i?3cos2xsinx-sin3x?. D"où, en prenant partie réelle et partie imaginaire, cos(3x) = cos3x-3cosxsin2x= cos3x-3cosx(1-cos2x) = 4cos

3x-3cosx,

sin(3x) = 3cos2xsinx-sin3x= 3(1-sin2x)sinx-sin3x = 3sinx-4sin3x.

Factorielle et binôme de Newton

Exercices

Exercice 1 (Factorielle)

1. Donner la valeur den!pourn? {0,1,2,...,7}.

2. Calculer

50!46!

3. Simplifier

(2n+ 3)!(2n+ 1)!,(n+ 1)!(n-2)!+n!(n-1)!,(n-1)!n!-n!(n+ 1)!.

4. Montrer que

(2n)!n!est un entier pour toutn?Net le calculer pourn? {1,2,3,4}.

5. Montrer que pour toutn?N?,n?

k=1(2k) = 2nn!etn? k=0(2k+ 1) =(2n+ 1)!2 nn!.

6. Montrer que pourn>10,n!>9!×10n-9. En déduire la limite den!9

nlorsque n→+∞.

7. Montrer, à l"aide dek!>2k-1valable pour toutk?N?, que pour toutn?N?,n?

k=11k!6n? k=112 k-1<2.

8. Trouver le nombre de façons d"ordonnernobjets distincts, c"est-à-dire trouver le

nombre de permutations denéléments.

9. Trouver le nombre de façons de choisir des suites ordonnées dekobjets distincts

choisis parminobjets distincts.Exercice 2 (Formule du binôme de Newton)

1. Calculer

?5 2? ,?50 2? ,?50 49?

2. Développer(a+b)6,(2x-1)5.

3. SoitPla fonction définie surRparP(x) =x4+ 2x3-1. CalculerP(x+ 1).

4. Déterminer les coefficients dea4b2c3eta4b3c3dans le développement de(a-b+2c)9.

5. Utiliser la formule du binôme de Newton pour montrer que1.0110≈1.105. Trouver

de même une valeur approchée de0.998à10-3près.

6. Linéarisercos6x. En déduire une primitive dex?→cos6x.

7. Écrirecos(5x)sous la formeP(cosx)oùPest une fonction polynomiale à détermi-

ner.

8. En considérant la fonctionf:x?→(1+x)n(n?N), calculer les sommes suivantes :

S 1=n? k=0? n k? ,S2=n? k=0(-1)k?n k? ,S3=n? k=0k?n k? ,S4=n? k=01k+ 1? n k? .Pour les insatiables...

Exercice 3 (Factorielle)

On suppose queu0= 1et que pour toutn?N?,un=-nun-1. Exprimerunen fonction den.Exercice 4 (Formule du binôme de Newton et sommes)

1. Soitketndeux entiers tel que16k6n. À l"aide de l"inégaliték!>2k-1, montrer

que? n k?n k612 k-1.

2. Pour toutn?N?, calculer la sommen?

k=112 k-1.

3. Soitn?N?. On poseSn=?

1 +1n n (a) CalculerS1,S2etS3. (b) montrer queSn= 1 +n? k=1? n k? 1n k. (c) Déduire des questions précédentes que pour toutn?N?,Sn63.

4. Question annexe. - Calculer la limite de?

n k?n klorsquen→+∞.Exercice 5 (Formule du binôme de Newton et sommes)

1. À l"aide de l"identité(x+1)2n= (x+1)n(x+1)n, montrer quen?

k=0? n k? 2 =?2n n?

2. En écrivant

?2n+ 1 k? =?2n k-1? +?2n k? pour tout entier positifk62n, obtenir la valeur de la somme n? k=0(-1)k?2n+ 1 k? pour toutn?N. Combien vautS4?

3. En écrivant

?k p? =?k+ 1 p+ 1? -?k p+ 1? pour tout entierk>p+1, obtenir la valeur de la somme q? k=p? k p? pour tousp,q?Ntels quep6q.

Application. - Soitn?N.

(a) Calculer les sommes n? k=1? k 1? (pourn>1) etn? k=2? k 2? (pourn>2). (b) En déduire les valeurs des sommes n? k=0ketn? k=0k(k-1), puisn? k=0k 2.

Exercice 6 (Quelques probabilités)

SoitXune variable aléatoire discrète prenant les valeursx1,...,xn. On rappelle que la loi de probabilité deXest la donnée des nombrespk=P{X=xk},16k6net que son espérance et sa variance sont respectivement données par

E(X) =n?

k=1p kxk,V(X) =E?(X-E(X))2?=n? k=1p k[xk-E(X)]2.

Une autre expression de la variance est

V(X) =E?X2?-?E(X)?2avecE?X2?=n?

k=1p kx2k.

1.Loi uniforme discrète

Soitn?N?. On considère une variable aléatoireXsuivant la loi uniforme sur {1,2,...,n}, c"est-à-dire une variable aléatoireXà valeurs dans{1,2,...,n}de loi de probabilité définie par?k? {1,2,...,n},P{X=k}=1n .Toutes les valeurs de1ànsont équiprobables. CalculerE(X)etV(X).

2.Loi binomiale

Soitn?N?etp?]0,1[. On considère une variable aléatoireXsuivant la loi binomiale de paramètresnetp, c"est-à-dire une variable aléatoireXà valeurs dans {0,1,...,n}de loi de probabilité définie par?k? {0,1,...,n},P{X=k}=?n k? p k(1-p)n-k.C"est la probabilité du nombre de succès obtenus au cours d"une suite denépreuves de Bernoulli indépendantes. CalculerE(X)etV(X).quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

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