Factorielle et binôme de Newton Cours
Factorielle et binôme de Newton Pour tout k ? {0 1
Calcul Algébrique
k=0. 2k désigne la somme. 20 + 21 + 22 + 23 + ··· + 2n?1 + 2n . Il est souvent utile d'étendre la définition de la factorielle en convenant que 0! = 1.
Cours de mathématiques - Exo7
1. Pour un entier n fixé programmer le calcul de la somme Sn = 13 + 23 + 33 + ··· + n3. somme = somme + 1/(2*k+1) * (x ** (2*k+1)).
Sommes et séries
k=a uk = ua + ua+1 +. ··· + ub pour les petites sommes. ?n+1 k=0 Linéarité (découpage vertical) Somme de sommes. ... Ecriture factorielle de (n k. ) ...
Les symboles somme et produit - Lycée dAdultes
27 févr. 2017 Exemple : On peut utiliser le symbole D pour définir « factorielle » d'un entier naturel n noté n ! n! = n n k=1 k = 1 × ...
Sommes et produits
k=0 a. Solution : 1. Cette notation est valable pour tout objet mathématique pour lequel une opération associative. « somme » a été définie (pour certaines
Somme et factoriel
Somme et factoriel. Q1- Écrire la fonction factoriel(k) qui reçoit en paramètre un entier positif k et qui renvoie la valeur du factoriel de k : k! = 1 * 2
ALGO 1.1 œ Correction TD N°5.
Exercice 1. Remarque : On ne s'occupe pas de la situation où l'utilisateur saisit un entier strictement négatif. Rappel : 0 ! = 1. Calcul de la factorielle
Sur la somme de certaines séries de factorielles
~~3~ k+1 on en déduit. Passons au cas n 2: 1. La formule suivante [12
Sommes et produits
Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p. X k=2.
[PDF] Factorielle et binôme de Newton Cours
Exprimer un en fonction de n Exercice 4 (Formule du binôme de Newton et sommes) 1 Soit k et n deux entiers tel que 1 ? k ? n
Somme des k factorielle - Forum FS Generation
Bonjour/Bonsoir je sais que ce topique commence à dater mais j'ai trouvé une formule explicite qui donne la somme des k factorielles
[PDF] Sur la somme de certaines séries de factorielles - Numdam
wm = (ka 03C1)1/(k+1) e(i/(k+1))(2m03C0-03C9+03B1) Quand 03C1 ~ oo on a wm = La fonction étant analytique au voisinage de
[PDF] Calcul Algébrique
1 Cours 1 1 Sommes et produits Nous commençons par les sommes L'écriture 5 ? k=0 2k se lit « somme pour k allant de zéro à cinq de deux puissance k »
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Après un changement d'indice le nombre de termes dans la somme doit rester inchangé ! Exemples : E 1 p X k=2
[PDF] Sommes et produits
Exemple Calcul de la somme des 1 k(k + 1) Solution : Exemple Le calcul de la somme géométrique donné plus haut faisait aussi intervenir une somme
[PDF] Chapitre IV : Calculs algébriques I La somme ? et le produit ?
Exemple 12 : Calculer la somme des nombres impairs de 1 à 99 en utilisant une suite arithmétique Soient (un)n?N une suite de réels ou de complexes et q ? K
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27 fév 2017 · Exemple : On peut utiliser le symbole D pour définir « factorielle » d'un entier naturel n noté n ! n! = n n k=1 k = 1 ×
[PDF] Chapitre 4 Formules de Taylor
Définition 4 1 3 La somme n ? k=0 hk k! f(k)(x0) s'appelle le polynôme de Taylor de f `a l'ordre n au point x0 Par convention 0! = 1! = 1 Remarque
[PDF] Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices
Chapitre 24 SOMMES DE RIEMANN Enoncé des exercices 1 Les basiques Exercice 24 1 Soit (un)n?N* la suite définie par un = n ? k=1
![Sommes et séries Sommes et séries](https://pdfprof.com/Listes/17/24888-17Memento_SommesSeries.pdf.pdf.jpg)
Sommes et s´eries
1 Synth`ese sommes finies
D´efinitions
?b k=auk=ua+ua+1+···+ubpour les petites sommes.?n+1
k=0uk=?n k=0uk+un+1et?0 k=0uk=u0pour les r´ecurrences.1.1 Op´erations
Chasles(d´ecoupage horizontal) Valable uniquement si toutes les bornes sont en ordre croissant! Lin´earit´e(d´ecoupage vertical) Somme de sommes. Factorisationdes constantes par rapport `a l"indice de sommation. R´eindexationChange les deux bornes et le contenu. Mais ce n"est pas le meilleur moyen pour rectifier les bornes.Pourx?= 1,calculer (1-x)?n
k=0kxket en d´eduire?n k=0kxk. D´erivationPour les sommes finie!x→x0se d´erive enx→0.Calculer?n
k=1k·xk-1 Simplification diagonaleIl faut avoir exactement?n k=0uk+1-uk= u n+1-u0 In´egalit´esMontrer que pour toutk≥2 :1k en d´eduire un majorant de?n k=11k 21.2 Sommes usuelles
b k=0k=n(n+1)2 :?n k=0k2=n(n+1)(2n+1)6 ?n k=0k3=n2(n+1)24 k=aqk=?b-a+ 1 siq= 1 q a1-qb-a+11-qsiq?= 1?n k=0? n k?akbn-k= (a+b)n1.3 M´ethodesConstantessi elles sont en facteur!?n
k=02k+ 1Borne sup´erieure?n+2
k=0k2Borne inf´erieure
?n k=3k2Puissance manquante
?n k=0? n k?Puissance en puissancek?n
k=0q2kPuissance en produit par une constante
?n k=0qk+1Produit en puissance
?n k=02k·3kProduit en somme
?n k=0(k+ 1)(k+ 2) BinˆomeO`u doit on retrouver l"indice de sommation? O`u retrouve-t-on la puissance? Calculer?n k=0? n-1 k+1?Ecriture factorielle de
?n (n+ 1)! = (n+ 1)·n! uniquement sin≥0Transformation du coefficient : sym´etrie?n
k?=?n n-k?, Pascal?n k?+?n k+1?=?n+1 k+1?,par factoriellek·?n k?=n·?n-1 k-1? Formule changeanteJusqu"`a un indice (apparaˆıt souvent en proba- bilit´es)?3n k=0|n-k|.Suivant la parit´e?nk=0kpairk2:?2n
k=0k(-1)k1.4 Sommes doubles
BasiquesDistinguer variables et constantes.?n
i=0? i j=0i·jPermutation de sommes?n
i=1? n j=isomme pour tous les couples d"entiers (i,j) tels que : j=1? j i=1Calculer?n
i=1? n j=iijSynthse sommes et sriesPage 1/ 2
2 Cours s´eries
2.1 D´efinition
S´erienot´ee?
k≥1uk: s´erie de terme g´en´eral (uk)k≥1et de premier indice 1.S´erie convergentesignification?
Somme de la s´erienot´ee?+∞
k=1ukest? Aboslue convergenteSi elle est absolument convergente alors elle est convergente.Contre exemple?
Int´erˆet : crit`eres de convergence.
2.2 Usuelles
G´eom´etriques et d´eriv´eesConvergent si|q|<1 et divergent sinon.?++∞ k=0qk=11-q:?++∞ k=1kqk-1=1(1-q)2:?++∞ k=2k(k-1)qk-2=2(1-q)3 k=0kqk=q(1-q)2:?++∞ k=0k2qk=q(q+1)(1-q)3ExerciceD´emontrer les deux premi`eres.
Exponentiellesconvergent?+∞
k=0xkk!=exClassique
n=0? n k?2kn!ressemble `a une somme binomiale mais ...
Riemann?
k≥11k2.3 Op´erations
M´efianceChercher l"erreur :?+∞
k=02k= 20+?+∞ k=12k= 1 + 2?+∞ k=12k-1= 1 + 2?+∞ k=02kDonc (1-2)?+∞
k=02k= 1 et?+∞ k=02k=-1 somme de termes positifs! Conclusion? ..................................................... Prudence : on repart de la somme partielle.2.4 Crit`eres de convergence pour les s´eries `a termes positifs. RappelUne suite croissante et ............ est convergente, une suite croissante et non .........tend vers +∞. LemmeUne s´erie `a termes positifs est croissante. (Signification? Le d´emontrer). Que peut-on en d´eduire suivant qu"elle est major´ee ou non. si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveLes sommes partielles v´erifient les mˆemes in´egalit´es. Puis on a convergence ou divergence par minoration ou majoration. Th´eor`emeSivn≥0 etun≥0 et queun=o(vn) alors si? k≥0vkconverge alors? k≥0ukconverge (par majoration de termes positifs) si? k≥0ukdiverge alors? k≥0vkdiverge (par minoration de termes positifs) PreuveQue signifieun=o(vn)? et il existe un rangn0`a partir duquel On est alors ramen´e au th´eor`eme pr´ec´edent.Th´eor`emeSiun≂vnet quevn≥0 alors?
k≥0ukconverge si et seulement si? k≥0vkconverge. (par ´equivalence de termes positifs) PreuveQue signifieun≂vn? et il existe un rangn0`a partir duquel 12 d"o`u12 vnet la convergence ou la divergence par application du premier th´eor`eme. M´ethodeUn ´equivalent est une s´erie de r´ef´erence. Sinon, on fait apparaˆıtre un terme qui tend vers 0 fois une s´erie de r´ef´erence. ExerciceMontrer que la s´erie de terme g´en´eral? (-1)kln(k)·e-k? k≥1converge.Synthse sommes et sriesPage 2/ 2quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] obésité classe 1
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