[PDF] Baccalauréat STG - Mercatique - CFE - GSI Correction Antilles

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Baccalauréat STG - Mercatique- CFE - GSI

Correction Antilles-Guyaneseptembre 2011

EXERCICE14points

Monsieur Prévoyant place un capital de 3000 euros sur un compte rémunéré à intérêts composés.

Le taux de placement est de 3% l"an.

Tous les ans, au premier janvier, il ajoute 50 euros sur ce compte. SoitCnle capital, en euros, aprèsnannées de placement. On a ainsiC03000.

1.CalculonsC1. La somme étant placée à 3 %, elle a été multipliée par 1,03C130001,03503140.

2.DéterminonsC2.C231401,03503284,20

3.Pour tout entier natureln,Cn11,03Cn50, car le capital à l"issue de l"annéena été multiplié par 1,03 et à

ceci,il a été ajouté 50 .

4.Monsieur Prévoyant veut utiliser une feuille de calcul d"untableur pour déterminer son capital en fonction du

nombre d"années de placement. AB

1Taux de placement en %3

2Ajout annuel (en euros)50

3

4Nombre d"années de placementCapital en euros au bout denannées

503000,00

613140,00

723284,20

833432,73

943585,51

Le format des cellules B5 à B9 est monétaire avec 2 décimales.

a.Une formule à entrer en B6 qui, par recopie vers le bas, permetde compléter la plage de cellules B6 : B9 est

=B5*1.03+50.

RemarqueSi l"on veut pouvoir changer le taux d"intérêt et la somme ajoutée =B5*(1+$B$1)/100)+$B$2.

b.Le capital au bout de 4 années de placement est de 3585,71?. Résultat obtenu en utilisant la relation de

récurrence, les calculs intermédiaires figurent dans le tableau.

EXERCICE26points

L"INSEE publie le tableau suivant, donnant l"espérance de vie à la naissance des individus de sexe masculin (hors

autres critères) selon l"année de naissance. Année de naissance200020012002200320042005200620072008

Rang(xi)012345678

Age moyen au décès?yi?75,375,575,875,976,776,877,277,477,6

1.Calculons le taux d"évolution de l"espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. Le taux global d"augmenta-

tion entre 2000 et 2008 est valeur 2008valeur 2000 valeur 200077,675,375,30,03053,05%

2.Calculons le taux d"évolution annuel moyen de l"espérance de vie des hommes entre 2000 et 2008. Entre 2000

et 2008, il y a eu huit augmentations. Sitest le taux d"augmentation moyen annuel alors (1t)81,0305; Il en

résultet1,03051

810,003760,38%.

3.Représentons le nuage de points associé à la série statistique?xi;yi?dans un repère orthogonal.

Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSIA. P. M. E. P.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

GD

4.Calculons les coordonnées du point moyen G de cette série statistique. Le point moyen a pour coordonnées

x;y)

Les coordonnées de G sont : (4; 76,5)

obtenu par la méthode des moindres carrés esty0,3x75,2

Voir la droiteDdans le repère précédent.

6.En utilisant la droiteD, déterminons une estimation de l"espérance de vie des hommes nés en 2010. Le rang est

10.y0,31075,278,2.

Un homme, né en 2010, peut estimer avoir une espérance de vie de 78,2 ans.

EXERCICE34points

Un magazine publie une étude comparative sur des téléphonesportables proposant l"accès illimité à internet. Toutes

les personnes interrogées possèdent un téléphone portable. correction Antilles-Guyane2septembre 2011 Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSIA. P. M. E. P. Parmi les personnes interrogées, 60% ont acheté un téléphone de marque Alpha.

Parmi les personnes ayant acheté un téléphone de marque Alpha, 80% ont choisi un accès internet illimité.

Parmi les personnes n"ayant pas acheté un téléphone de marque Alpha, 70% ont choisi l"accès internet illimité.

On choisit une personne au hasard parmi les personnes interrogées. On appellepla probabilité associée à cette ex-

périence aléatoire.

La loi est l"équiprobabilité, la probabilité d"un événement A estp(A)nombre d"éléments de A

nombre d"éléments de l"univers.

On note :

A l"événement : "le téléphone de cette personne est de marqueAlpha», I l"événement : "le téléphone offre un accès internet illimité».

On note

A l"événement contraire de l"événement A.

1.Déterminons

a.La probabilitép(A) de l"événement A est 0,6 car 60% ont acheté un téléphone demarque Alpha.

p? A?

1p(A)10,60,4.

b.La probabilitépA(I) de l"événement I sachant A est 0,8, car parmi les personnes ayant acheté un téléphone

de marque Alpha, 80% ont choisi un accès internet illimité. c.La probabilitép A(I) de l"événement I sachantA est 0,7 car parmi les personnes n"ayant pas acheté un téléphone de marque Alpha, 70% ont choisi l"accès internet illimité.

2.Construisons un arbre pondéré décrivant la situation.

A 0,60I 0,80 I0,20

A0,40I

0,70 I0,30

3.Calculons les probabilitésp(AI) etp?

AI? des événements AI etAI. p(AI)p(A)pA(I)0,600,800,48 p(

AI)p(A)pA(I)0,400,700,28

4.Démontrons quep(I)0,76.

p(I)p(AI)p(

AI)0,480,280,76

5.On sait que la personne choisie possède un téléphone avec un accès illimité à internet.

Déterminons la probabilité pour que ce téléphone soit de marque Alpha. CalculonspI(A). p

I(A)p(AI)

p(I)0,480,760,63

EXERCICE46points

Une entreprise fabrique des tables de jardin. La productionest comprise entre 0 et 30 tables par jour. Toutes les tables

fabriquées sont supposées vendues.

Partie A

On considère la fonctionCdéfinie sur l"intervalle [1; 30] par

C(x)x250x100.

Le coût de production, exprimé en euros, dextables fabriquées est égal àC(x). Le coût de fabrication de 10 tables est de 700 euros. correction Antilles-Guyane3septembre 2011 Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSIA. P. M. E. P.

2.Calculons le coût unitaire, en euros, pour 10 tables produites. Nous répartissons ce coût total sur les 10 chaises;

donc le coût unitaire est de 70 euros. ( 700

1070 )

Partie B

À chaque quantitéxde tables produites, on associe le coût unitaire,C(x) x, exprimé en euros. On modélise ce coût par la fonctionf, définie sur l"intervalle [1; 30] parf(x)C(x) x.

On admet que la fonctionfest dérivable sur l"intervalle [1; 30] et on notefsa fonction dérivée.

La courbe représentative defest donnée dans le repère fourni en annexe.

1.Déterminons graphiquement une valeur approchée def(5) et def(25). Pour ce faire, lisons les ordonnées des

points de la courbe d"abscisses respectives 5 et 25.f(5)75;f(25)80.

2.Graphiquement, les quantités detables produites pour lesquelles le coût unitaire, en euros, est inférieur ou égal

à 80 sont les abscisses des points pour lesquels la courbe estsituée en dessous de la droite d"équationy80.

Les quantités appartiennent à l"intervalle [4; 26]

Partie C

1.Montrons quef(x)x50100

xpour tout réelxde l"intervalle [1; 30]. f(x)C(c) xx250x100xx2x50xx100xx50100x

2.Calculonsf(x).f(x)1100

x2x2100x2(x10)(x10)x2. Nous avons bien montré que, pour tout réelxde l"intervalle [1; 30],f(x)(x10)(x10) x2.

3.Puisquex[1 ; 30]x10

x20, par conséquent le signe def(x) est celui dex10. x100 si et seulement six10. f (x)?0 six[1 ; 10],f(x)?0 six[10 ; 30]. Étudions les variations de la fonctionfsur l"intervalle [1; 30].

Si pour toutxI,f(x)?0 alors la fonctionfest décroissante surI;fest donc décroissante sur [1 ; 10].

Si pour toutxI,f(x)?0 alorsfest croissante surI;fest donc croissante sur [10 ; 30].

Dressons un tableau de variations.

x13010 f

Variations

def0 151

7073,33

4.D"après le tableau de variations, la quantité de tables à fabriquer par jour pour que le coût unitaire soit minimal

est de 10 tables.

Le coût minimal est de 70 euros.

correction Antilles-Guyane4septembre 2011 Baccalauréat STG Mercatique-CFE-GSIA. P. M. E. P.

Annexe

À rendreavecla copie

EXERCICE 4

nombre de tables

Coût moyen (en euros)

102030405060708090100110120130140150

5 10 15 20 25 30102030405060708090100110120130140150160170

5 10 15 20 25 30

O[linewidth=0.75pt,linecolor=red,linestyle=dashed,arrows=->,arrowscale=1.5](*5 x+50+100/x) [linewidth=0.5pt,linecolor=green,linestyle=dashed,arro

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