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Fonction logarithme : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

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Savoir calculer avec des logarithmes

Simplier les expressions suivantes :

a) ln6ln2 b) lne2c) ln1e xd)eln4 e)e2ln5f)eln3g) lnpeh) lnexResoudre des equations avec des logarithmes et exponentielles

Resoudre dansRles equations suivantes :

a) lnx= 4 b) ln(2x) = 0 c) lnx=1 d)e32x= 5 e) 2ex+ 10 = 6 f) 2lnx+ 6 = 0Resoudre dansRles equations suivantes : a) ln(2x+ 1) + lnx= 0 b) ln(2x)2lnx= 0 c) lnx2= (lnx)2

Equation avec des logarithmes - Piege classique!

On souhaite resoudre dansRl'equation : ln(6x2) + ln(2x1) = ln(x).

Clara arme que cette equation admet deux solutions. A-t-elle raison? Justier.Resoudre des inequations avec des logarithmes

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a) ln(x)<2 b) ln 1 +2x lnx0 c) (lnx)2+ ln1x

0Resoudre dansR, les inequations suivantes :

a) ln(3x) 2 b) ln(lnx)<0Resoudre des inequations avec des exponentielles

Resoudre dansRles inequations suivantes :

a)ex>2 b) 4e3x0 c)e1x20 d)e2x2ex0Resoudre dansRles equations et inequations suivantes :

a) ln(x+ 1)ln(2x) = 0 b) ln(x+ 1)ln(2x)0 c) lnx+ ln(3x+ 2)>0Resoudre des equations avec des logarithmes en utilisant un changement d'inconnue

1) Resoudre dansR, l'equationX2+X6 = 0

2) En deduire les solutions des equations suivantes :

a)e2x+ex6 = 0 b) (lnx)2+ lnx6 = 0Signe d'une expression avec des logarithmes Determiner le signe des expressions suivantes sur l'intervalle I indique : a) 1lnxet I=]0;+1[ b) ln(1x) et I=] 1;1[ c) lnex et I=]0;+1[

Etudier une fonction avec des logarithmes

On considere la fonctionfdenie surRparf(x) = ln(1 +x2).

1) Justier quefest derivable surRpuis determiner, pour toutxreel,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsurR.1

On considere la fonctionfdenie sur ]1;+1[ parf(x) =xlnx.

1) Justier quefest bien denie sur ]1;+1[.

2) Justier quefest derivable sur ]1;+1[ puis determiner, pour toutxde ]1;+1[,f0(x).

3) Determiner le tableau de variations defsur ]1;+1[.On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) = (lnx)2lnx.

1) Justier quefest derivable sur ]0;+1[ puis determiner, pour toutx2]0;+1[,f0(x).

2) Determiner le tableau de variations defsur ]0;+1[.Dans chaque cas :

1) Justier que la fonctionfest derivable sur l'intervalle I indique.

2) Determiner la derivee defet le tableau de variations defsur I.

a)f(x) = ln(1ex) et I=] 1;0[ b)f(x) = ln2x

et I=]0;+1[ c)f(x) = ln(1 +ex) et I=RDans chaque cas, determiner la derivee defet le tableau de variations defsur l'intervalle I indique.

a)f(x) =1x + lnxet I=]0;+1[ b)f(x) =xlnxet I=]0;+1[

c)f(x) = ln(x26x+ 10) et I=Rd)f(x) =x2+ 5x3lnxetI=]0;+1[On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =e2x3x+ 1.

Determinerf0(x) pour toutxdeRpuis en deduire le tableau de variations defsurR.On considere la fonctionfdenie surRparf(x) =exe

3x+ 4.

1. Justier quefest bien denie surR.

2.Etudier les variations def.On considere la fonctionfdenie sur ]0;[ parf(x) = ln(sinx).

1. Justier quefest bien denie sur ]0;[.

2. Justier quefest derivable sur ]0;[ puis determiner, pour toutxde ]0;[,f0(x).

3. En deduire les variations de la fonctionfsur ]0;[.Limites et logarithme

Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!01lnxb) limx!+1ln2x c) lim x!+1xlnxx2+ 1 d) limx!0xlnxx2+ 1 e) lim x!1ln1 +exf) limx!+1ln1 +exg) limx!01lnxh) lim x!12 ln(1 + 2x)Determiner les limites suivantes et indiquer les equations des eventuelles asymptotes : a) lim x!+1xlnxx+ 1b) limx!+1xlnxx

2+ 1c) limx!+1ln2 +x5 +x2

d) lim x!2x>2ln2x2 +x e) lim x!+1lnx(lnx)2f) limx!0lnx(lnx)2g) limx!+1ln(1 +x)x

2h) limx!0ln(1 +x)x

22
L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxetlimx!0lnx

1) a) Completer : Six > :::alors lnx > A

b) Conclure.

2) On poseX=1x

a) Completer limx!0lnx= limX!:::::: b) Conclure.L'objectif de cet exercice est de determiner : lim x!+1lnxx etlimx!+1lnxpx etlimx!0xlnx

1) On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnx

a)

Etudier les variations def

b) En deduire que pourx >0, lnx < x c) Deduire du b) que pourx >0, lnx <2px d) Conclure.

2) On pose :X=px

a) Completer lim x!+1lnxpx = limX!:::::: b) En deduire lim x!+1lnxpx

3) On pose :X=1x

a) Completer limx!0xlnx= limX!:::::: b) Conclure.a) (un) est une suite geometrique de raisonq= 1:1 etu0=25 Determiner le plus petit entier naturelntel queun100. b) (un) est une suite geometrique de raisonq= 0:9 etu0= 20.

Determiner le plus petit entier naturelntel queun0:1.Dans chaque cas, determiner le plus petit entier naturelntel que :

a) 34
n

102b) 156

n >0:99 c) 5(1:2)n>103Probabilite et logarithme

1) Luc lance une piece non truquee.

Combien de fois doit-il lancer cette piece au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins 1 pile soit superieure a 0.99

2) Lot lance un de non truque a 6 faces.

Combien de fois doit-il lancer ce de au minimum pour que la probabilite d'avoir au moins un six soit superieure a 0.999.

3) On place un capital a 4% par an en inter^ets composes.

C'est a dire qu'a la n de chaque annee, les inter^ets s'ajoutent au capital. Au bout de combien de temps, le capital aura-t-il double?

4) Michel achete des poissons dans un magasin.

La probabilite qu'un poisson vive plus de deux ans est de 0.1 3 Combien doit-il en acheter au minimum pour la probabilite d'en avoir

encore un vivant apres de 2 ans soit superieure a 0.99On considere les fonctionsfetgdenies sur ]0;+1[ parf(x) = lnxetg(x) = (lnx)2

On noteCfetCgles courbes representatives defetg.

1)

Etudier les positions relatives deCfetCg.

2) Soit M et N les points deCfetCgd'abscissex.

Sur l'intervalle [1;e], pour quelle valeur dex, la distance MN est-elle maximale?On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.On rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela6= 0,a:::= 1

2) En deduire que pour tout reela >0,ln1a

=lna

3) En deduire que pour tous reelsaetbstrictement positifs,lnab

= lnalnbOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Completer : Pour tout reela0,pa:::=a

2) En deduire que pour tout reela >0,lnpa=12

lnaOn rappelle que pour tous reelsaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb.

1) Demontrer que pour tout reela >0 et tout entier natureln,ln(an) =nlna.

2) Demontrer que la propriete du 1) reste vraie pour toutnentier negatif.On rappelle que pour tout reela >0,elna=a.

En deduire que la fonctionlogarithme neperienestcroissantesur ]0;+1[.

On rappelle que :

La fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[

Pour tout reelx >0,elnx=x

En deduire pour tout reelx >0,ln0(x) =1x

.On rappelle que la fonction logarithme neperien est derivable sur ]0;+1[.

En deduire quelimx!0ln(x+ 1)x

= 1.On veut demontrer par deux methodes que pour toutaetbstrictement positifs,ln(ab) = lna+ lnb

1) On rappelle que pour touta >0,elna=a.

En deduire pour que toutaetbstrictement positifs, ln(ab) = lna+ lnb.

2) Pour toutx >0, on posef(x) = ln(ax)ln(a)ln(x) ouaest un reel strictement positif.

a) Determinerf(1). b) Determinerf0(x). c) Conclure.4

Suite et logarithme

On considere la suite denie paru0= 4 et pour tout entier naturelnparun+1=pu n.

1) On a represente la courbe de la fonction racine carree.

Determiner graphiquement les 4 premiers termes de la suite (un).

2) Conjecturer le sens de variation de (un).

3) (un) semble-t-elle converger?

Si oui, conjecturer sa limite.

4) Demontrer que pour tout entier natureln:

1un+1un

5) Demontrer ce qui a ete conjecture au 3)

6) On posevn= lnun

a) Demontrer que la suite (vn) est geometrique et preciser sa raison. b) Exprimervn, puisunen fonction den. c) Demontrer la conjecture du 3) en utilisant la question 6 b). Equation avec parametre - nombre de solutions - probleme ouvert

On considere l'equation (E

1) :exxn= 0.

ouxest un reel strictement positif etnun entier naturel non nul.

1. Montrer que l'equation (E

1) est equivalente a l'equation (E2) : ln(x)xn

= 0.

2. Pour quelles valeurs denl'equation (E1) admet-elle deux solutions?Logarithme decimal

La fonction logarithme decimal, notee log est la fonction denie sur ]0;+1[ par logx=lnxln10

1. Determiner log1, log10, log100, log1000.

2. Quelle conjecture peut-on faire?

3. Demontrer que pour tous nombresaetbstrictement positifs :

a) log(ab) = loga+ logb. b) logab = logalogb.

4. Demontrer la conjecture du 2.

5. Determiner le sens de variation de la fonction log.

6. Le pH d'une solution mesure l'acidite d'une solution.

On denit le pH par pH =log[H+]

ouH+designe la concentration en ions hydrogene en moles par litre. a) Une solution est dite neutre lorsque le pH vaut 7. Determiner la concentration en ionsH+pour qu'une solution soit neutre. b) Une solution est dite acide lorsque le pH est inferieur a 7. Une solution a une concentration en ionsH+de 21011.

Cette solution est-elle acide?

c) Matthias arme que lorsque la concentration en ionsH+diminue, le pH augmente.

Est-ce vrai?Nombre de chires d'un entier naturel

Soientnetpdeux entiers naturels tels que 10n6p <10n+1. 1. D eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede p. 2. Mon trerque n=E(logp) ou la fonctionEdesigne la fonction partie entiere. 3. A l'aide de la calculatrice, d eterminerle nom brede c hiresdans l' ecritured ecimalede 2

2018.5

On a trace la courbeCd'une fonctionfdenie sur ]0;+1[ et la tangente aCen A.On sait quef(x) = (ax+b)lnxou a et b sont des reels.

On cherche les valeurs deaetb.

1) A l'aide du graphique, determinerf(1),f(4) etf0(1) en justiant.

2) Determinerf0(x).

3) Montrer queaetbsont solutions du systeme :4a+b= 0

a+b=3

4) En deduire les valeurs deaetb.

5) Expliquer comment verier la coherence des resultats a l'aide d'une calculatrice.6

On a trace la courbe de la fonction logarithme noteeCdans un repere orthonorme (O;I;J).Soit M un point deCd'abscissex.

1) On considere le point M deCpour lequel la distance OM est minimale.

a) Placer approximativement le point M b) Quelle est alors la valeur dex? Tracer la tangenteTaCen M. c) Quelle conjecture peut-on faire concernantTet la droite (OM)?

2) On poseOM=pf(x) oux2]0;+1[

a) Determinerf(x) en fonction dex. b) Demontrer que pour toutx2]0;+1[,f0(x) =2x (x2+ lnx).

3) On noteu(x) =x2+ lnx.

a)

Etudier les variations deu.

b) Determiner les limites deuen 0 et +1. c) Montrer que l'equationu(x) = 0 admet une solution unique. d) En deduire le tableau de signe deu(x). e) Exprimer lnen fonction de.

4) L'objectif de cette question est de demontrer la conjecture du 1.b).

a) A l'aide de la question 3) determiner le signe def0(x). b) En deduire le tableau de variationsf. c) Que peut-on dire des variations defet deOM. d) En deduire les coordonnees du point M en fonction de pour lesquelles la distance OM est minimale. e) Determiner une valeur dea 101. Est-ce coherent?

5) L'objectif de cette question est de demontrer la conjecture du 1.c).

M est le point deCd'abscisse.

a) Determiner un vecteur directeur de la droite (OM). b) Determiner un vecteur directeur de la tangente aCen M. c) Demontrer la conjecture du 1.c)7 On a trace la courbe de la fonction logarithme neperien. a) Expliquer a l'aide de quelle transformation, on peut tracer les courbes des fonctionsf,geth. f(x) =lnx g(x) = 2 + lnx h(x) = ln(x+ 1)

b) Tracer les courbes des fonctionsf,geth.1) On considere la fonctionfdenie pourx >0 parf(x) = ln(x)(x1)

a) Determinerf0(x). b) En deduire le tableau de variations def. c) En deduire que pourx >0, lnxx1

2) Demontrer que pourx >0, 11x

lnx

3) En deduire que pourkentier naturel non nul,1k+ 1lnk+ 1k

1k

4) On considere la suite (un) denie pour tout entiern >0 parun=1n+ 1+1n+ 2+:::+12n.

a) Calculeru1,u2,u3. b) Montrer que 1n +1n+ 1+:::+12n1=un+12n. c) Ecrire l'inegalite du 3) pour toutes les valeurs dek=nak= 2n1.

d) Faire la somme de toutes ces inegalites et en deduire queunln2un+12ne) Quelle est la plus petite valeur denqui permet d'avoir un encadrement de ln2 d'amplitude 101?

f) Determiner un encadrement de ln2 d'amplitude 10 1. g) Demontrer que la suite (un) converge vers ln2.Theoreme des valeurs intermediaires et logarithme On considere la fonctionfdenie sur ]0;+1[ parf(x) =xlnxx+ 2.

1) Determiner les limites defen 0 et en +1.

2) Determiner, pour toutxde ]0;+1[,f0(x).

3) On noteula fonction denie sur ]0;+1[ paru(x) =x+ 2 + 2lnx.

a) Determiner, pour toutxde ]0;+1[,u0(x). En deduire les variations deu. b) Determiner les limites deuen 0 et +1. c) Montrer que l'equationu(x) = 0 admet une unique solutionsur ]0;+1[. d) En deduire le signe deu(x). e) Determiner un encadrementd'amplitude 102.quotesdbs_dbs1.pdfusesText_1

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