[PDF] Rappels sur la fonction exponentielle. Fonction logarithme népérien

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EXERCICES11 juillet 2021 à 9:41

Rappels sur la fonction exponentielle.

Fonction logarithme népérien

Rappels sur la fonction exp

EXERCICE1

Calcul de la constantee

1) Montrer que :?x?R,ex?x+1

On pourra étudier les variations surRdefdéfinie par :f(x) =ex-(x+1)

2) En déduire que pour tout entier natureln, les deux inégalités suivantes :

a)e?? 1+1 n? n b)1e?? 1-1n? n c) En déduire alors l"encadrement : 1+1 n? n ?e?? 1-1n? -n

3) On prendn=1000, donner un encadrement à 10-3dee.

EXERCICE2

Simplifier l"expression suivante :?ex+e-x2?

2 -?ex-e-x2? 2

EXERCICE3

Résoudre dansRles équations et inéquations suivantes :

1)ex2-2=e5x+4

2)xe2x-2e2x=0

3)e2x-1ex+5=e3-2x

4)e3-xe2x-1=?e5+x?25)e2-3x?1

6)e2x+3<1

e 7) ex+3 ex+1>2

EXERCICE4

Déterminer les limites suivantes :

1) lim

x→+∞3xe-x

2) lim

x→-∞(3-x)ex

3) lim

x→01-ex

2x4) lim

x→-∞x2e1+x

5) lim

x→+∞e x-1 x3

6) lim

x→1e x-1-1

3(x-1)

EXERCICE5

Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =exex-x

PAUL MILAN1TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

1) Déterminer les limites defen+∞et-∞.

2) Déterminer la fonction dérivée def.

3) En déduire les variations defpuis dresser son tableau de variations.

ReprésenterCfainsi que les asymptotes éventuelles. Unité graphique 2 cm sur les deux axes etx?[-3 ; 3],y?[-1 ; 3].

EXERCICE6

Tangente passant par l"origine

On considère la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =xex-1+1 On noteCfsa courbe représentative dans un repère orthonormé(O,?ı,??).

Partie A : étude de la fonction

1) Déterminer la limite defen-∞. Que peut-on en déduire pour la courbeCf?

2) Déterminer la limite defen+∞.

3) Déterminer la fonction dérivéef?.

4) Étudier les variations defsurRet dresser son tableau de variation surR.

Partie B : recherche d"une tangente particulière Soitaun réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s"il existe une tangente àCfau point d"abscissea, qui passe par l"origine du repère.

1) Soit T

ala tangente àCfau point d"abscissea. Donner une équation de Ta.

2) Démontrer qu"une tangente àCfen un point d"abscisseastrictement positive

passe par l"origine du repère si et seulement si 1-a2ea-1=0.

3) Montrer que 1 est l"unique solution sur]0 ;+∞[de : 1-x2ex-1=0..

4) Donner alors une équation de la tangente recherchée.

EXERCICE7

Le directeur d"un zoo souhaite faire construire un toboggan pour les pandas. Il réalise le schéma ci-contre de ce toboggan en perspective cavalière. Le profil de ce toboggan est modélisé par la courbeCreprésentant la fonctionfdéfinie sur l"intervalle [1; 8] par : f(x) = (ax+b)e-xoùa?Netb?N La courbeCest tracée ci-dessous dans un repère orthonormé dont l"unité est le mètre.

1) On souhaite que la tangente à la courbeCen

son point d"abscisse 1 soit horizontale.

Déterminer la valeur de l"entierb.

2) Onsouhaitequelehautdutoboggansoitsitué

entre 3,5 et 4 mètres de haut.

Déterminer la valeur de l"entiera.

1 2 3 4 5 6 7 81

234O
C

PAUL MILAN2TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

Ln : simplification et ensemble de définition

EXERCICE8

1) Simplifier les écritures suivantes : A=eln3; B=e3+ln8e2+ln4; C=eln8e3ln2

2) Simplifier les fonctionsfetg:f(x) =eln(x-1)+lnx;g(x) =lne1

x+e-lnx

EXERCICE9

Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes :

1) ln(x-3)2) ln(1-x)3) ln(x2)4)1

xln(1+x) 5) 1 lnx6) ln(x2+4x)7) ln?x-32-x?

8) ln(ex-1)

9) ln|x+1| -ln|x-1|10)ex+ln|x|11) lnex-eln(x+1)

Ln : équations et inéquations

EXERCICE10

Résoudre les équations suivantes en précisant leur ensemble de validité :

1) ln(2-2x) =1

2) ln(2-x) =-3

3) ln(x2-8) =0

4) ln?

1-1 x? =2

5)ex+2=36)ex

x+1=2

7)(ex+1)(ex-4) =0

8) ln(3x-4) =ln(x2-4)

9) ln(-3x) =ln(x2-4)

10) ln(x-2) =ln2

11) ln(x-2) =ln(x2-2)

EXERCICE11

Résoudre les inéquations suivantes en précisant leur ensemble de validité :

1) lnx<1

2) lnx?2

3)-1?lnx?2

4) ln(2x-1)?-1

5)ex-1<2

6)ex+1

x>3 7) 1

2?ex?28)(ex+1)(ex-4)?0

9) ln(x-2)?ln(2x-1)

10) ln(-3x)?ln(x2-4)

11) ln

1+2 x? ?lnx

12) lnx?ln(x2-2x)

PAUL MILAN3TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

Propriétés de la fonction logarithme

EXERCICE12

1) Simplifier :a=ln3+ln13;b=ln116;c=12ln⎷2

2) Exprimer en fonction de ln2 et ln5 :a=ln50 ;b=ln16

25;c=ln250

3) Démontrer que : ln(2+⎷

3) +ln(2-⎷3) =0

4) Résoudre les inéquations suivantes d"inconnuenentier naturel :

a) 2 n?106b)?1 3? n ?10-4c)?25? n ?2×10-3d)?

1+3100?

n ?2

EXERCICE13

Simplifier au maximum chacun des nombres suivants :

1) A=lne3-lne2

2) B=lne⎷

e

3) C=ln2+ln(16e)-ln(4e2)4) D=ln?12?

2 ln1e? 2

5) E=3(ln3+ln5)-ln27-2ln10-ln1

4

EXERCICE14

Résoudre les équations suivantes en précisant leur ensemble de validité :

1) 2lnx=ln(x+4) +ln2x

2)e3x=4ex3)e2x-5ex+4=0

4)e-2x-5e-x+6=0

EXERCICE15

Résoudre les inéquations suivantes en précisant leur ensemble de validité :

1) ln(5-x)-ln3+ln(x-1)?0

2)e2x<2ex3)ex+2?3

ex4) ln

2x-2lnx-3?0

5) 3e2x-7ex+2<0

EXERCICE16

Pour tout réelx, on pose :f(x) =2x3+5x2+x-2

1) a) Vérifier quef(-1) =0 puis en déduire une factorisation def(x)

b) Résoudre alors l"inéquation :f(x)?0

2) En utilisant les résultats du 1) résoudre : 2lnx+ln(2x+5)?ln(2-x).

EXERCICE17

Soitn?N?. On considère l"équation (E1) sur]0 ;+∞[:ex-xn=0

1) Montrer que l"équation (E

1) est équivalente à l"équation (E2) : ln(x)-x

n=0

2) Pour quelles valeurs denl"équation (E1) admet-elle deux solutions?

PAUL MILAN4TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

Limites

EXERCICE18

Déterminer les limites au point considéré :

1)f(x) =x+1+lnx

xen+∞

2)f(x) =1

x+lnxen 03)f(x) =ln(ex+2)en-∞et+∞

4)f(x) =ln?ex+12ex+3?

en-∞et+∞

Dérivées

EXERCICE19

Pour les fonctions suivantes calculer la fonction dérivée en donnant auparavant l"ensemble sur lequel la dérivée est définie :

1)f(x) =ln(1+x2)

2)f(x) =ln?x-1

x+1?

3)f(x) =ln(lnx)

4)f(x) =ln(x+1)

lnx5)f(x) =e-xlnx

6)f(x) =exlnx

7)f(x) =ln(1+ex)

8)f(x) =ln(e2x-ex+1)

Études de fonctions

EXERCICE20

fest la fonction définie sur]0;+∞[par :f(x) =lnxx2

1) a) Déterminer les limites defen 0 et en+∞

b) Étudier les variations defet dresser son tableau de variations.

2) a) On note A le point deCfd"abscisse 1.

Trouver une équation de la tangenteTàCfen A. b) ConstruireT, puisCf(unités 2 cm sur (Ox) et 5 cm sur (Oy)).

EXERCICE21

Partie A

Soitfla fonction définie surRpar :f(x) =x-ln(x2+1).

1) Résoudre dansRl"équation :f(x) =x.

2) Justifier tous les éléments du tableau de variations ci-dessous à l"exception de

la limite de la fonctionfen+∞que l"on admet. x f ?(x) f(x) -∞1+∞ 0+

PAUL MILAN5TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

3) Montrer que, pour tout réelxappartenant à [0; 1],f(x)appartient à [0; 1].

4) On considère l"algorithme suivant :

frommathimport? " entrezlavaleura" a=float(input() ) n=0 whilen-log (n??2+1)Partie B

Soit(un)la suite définie par?u

0=1 u n+1=f(un)

1) Montrer par récurrence que, pour tout entier natureln,unappartient à [0; 1].

2) Étudier les variations de la suite(un).

3) Montrer que la suite

(un)est convergente vers?.

4) Déterminer la valeur?de la limite de la suite(un)

EXERCICE22

Projectile dans un fluide

Lors d"une expérience, on lance un projectile dans un milieu fluide. L"objectif est de déterminer pour quel angle de tirθpar rapport à l"horizontale la hauteur du projectile ne dépasse pas 1,6 m. Le projectile ne se déplace pas dans l"air mais dans un fluide, le modèle parabolique n"est pas adopté. On modélise le projectile par un point qui se déplace, dans un plan vertical, sur la courbeCfde la fonction fdéfinie sur l"intervalle [0; 1[ par : f(x) =bx+2ln(1-x) b?2 est un paramètre réel,xetf(x), exprimés en mètres, sont l"abscisse et l"ordonnée du projectile.

0,5 1,00,5

1,01,5

O

1) a) Calculer la fonction dérivéef?sur l"intervalle [0; 1[

b) Montrer que la fonctionfadmet un maximum sur [0; 1[.

2) On veut déterminer les valeurs du paramètrebpour lequel la hauteur maxi-

male du projectile ne dépasse pas 1,6 mètre. On pose la fonctiongdéfinie sur I =[2 ;+∞[par :g(x) =x-2+2ln2-2lnx. a) Montrer que le problème revient à résoudreg(x)?1,6

PAUL MILAN6TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

b) Montrer que la fonctiongest strictement croissante sur I. c) Montrer que l"équationg(x) =1,6 admet une unique solutionαsur I. Déterminer un encadrement de la valeur deαà 10-3près. d) Déterminer les valeurs debrépondant au problème.

3) Dans cette question, on choisitb=5,69.

L"angle de tirθcorrespond à l"angle entre l"axe des abscisses et la tangente deCfau point d"abscisse 0. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l"angleθ.

EXERCICE23

Soit la fonctionfdéfinie sur I =[-2,5 ; 2.5]par :f(x) =ln(-2x2+13,5)

1) Montrer que :?x?I,f(x)?0

2) Déterminer la parité de la fonctionfsur I. Que peut-on en déduire pourCf.

3) Déterminer la dérivéef?puis dresser le tableau de variation de la fonctionf

sur I. Retrouver alors le résultat de la question 1).

4) La courbeCfest-elle un arc de cercle de centre 0? Justifier la réponse.

EXERCICE24

Soit la fonctionfdéfinie sur]-1 ;+∞[par :f(x) =x2-2,2x+2,2ln(x+1)

1) Visualiser, sur la calculatrice, la courbeCf:X?[-2 ; 4]etY?[-5 ; 5]

Reproduire l"allure de la courbeCfobtenue sur la calculatrice.

2) À partir de cette représentation graphique, quelles conjectures peut-on faire :

a) Sur les variations de la fonctionf. b) Sur le nombre de solutions de l"équationf(x) =0.

3) On se propose maintenant d"étudier la fonctionf.

a) Calculer la dérivéef?. b) En déduire le sens de variation de la fonctionf. c) Étudier la limite en-1. On admettra que limx→+∞f(x) = +∞. d) Dresser le tableau de variation de la fonctionf. e) Déduiredecetteétude,enprécisantleraisonnement,lenombredesolutions de l"équationf(x) =0. f) Les résultats 3 b) et 3 e) confirment-ils les conjectures émises au2)?

4) On veut représenter, sur la calculatrice, la courbeCfde la fonctionfsur l"in-

tervalle[-0,1 ; 0,2], de façon à visualiser les résultats de la question 3). Quelles valeurs extrêmes de l"ordonnéeYproposez-vous pour mettre en évi- dence les résultats de la question 3) c) dans la fenêtre de votre calculatrice?

Vérifier le ensuite sur votre calculatrice.

EXERCICE25

Partie A

Soitula fonction définie sur]0 ;+∞[par :u(x) =lnx+x-3.

PAUL MILAN7TERMINALE MATHS SPÉ

EXERCICES

1) Justifier que la fonctionuest strictement croissante sur l"intervalle]0 ;+∞[.

2) Démontrer que l"équationu(x) =0 admet une unique solutionα?[2 ; 3].

3) En déduire le signe deu(x)en fonction dex.

Partie B

Soitfla fonction définie sur]0 ;+∞[par :f(x) =? 1-1 x? (lnx-2) +2.

1) Déterminer la limite de la fonctionfen 0.

2) a) Démontrer que, pour tout réelx?]0 ;+∞[,f?(x) =u(x)

x2. b) En déduire le sens de variation de la fonctionfsur l"intervalle]0 ;+∞[.

Partie C

SoitC?la courbe d"équationy=ln(x).

1) Démontrer que, pour tout réelx?]0 ;+∞[,f(x)-lnx=2-lnx

x. En déduire queCfetC?ont un seul point commun dont on déterminera les coordonnées puis étudier les positions relatives deCfetC?.

2) Calculer lim

x→+∞2-lnx x. Que peut-on dire deC?par rapport àCf?

Logarithme décimal

EXERCICE26

Le plus grand nombre premier, montré en janvier 2016, est égal à274 207 281-1.

Combien a t-il de chiffres?

EXERCICE27

Lors d"une réaction acide/base, le pH de la solution est donné par : pH=pKA+log[Base] [Acide] où pK

A=-logKA, avec KA=[Base][H3O+]

[Acide], appelé constante d"équilibre. On considère une solution contenant le couple NH +4/NH3de KA=6,3×10-10 On suppose que, dans cette solution, l"ammoniac est l"espèce prédominante : il y a vingt fois plus de molécules d"ammoniac que d"ion hydronium (NH +4). Déterminer le pH de la solution considérée

PAUL MILAN8TERMINALE MATHS SPÉ

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