[PDF] Calculs de maximisation sous contrainte Consommateur et producteur

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EA Ȃ ECO1

Chapitres 1 et 2

Calculs de maximisation sous contrainte

Consommateur et producteur

C. Rodrigues / Lycée Militaire

EA - ECO1 1

Maximisation sous contrainte : protocole type

consommateur On considère un consommateur qui exprime une fonction d'utilitĠ répondant aux conditions du modèle de l'utilitĠ ordinale de Pareto. Cette fonction U est notée :

U(x,y) = X0,3. y0,7

Remarque mathématique :

Il s'agit d'une fonction à double variable dite de Cobb-Douglas homogène de degré 1 (la somme des deux exposants est égale

à 1).

Par ailleurs, on sait que ce consommateur subit une contrainte budgétaire. Son revenu (R) s'Ġtablit à 50 Φ et les prix respectifs des biens x et y sont de 2 Φ et 5 Φ.

C. Rodrigues / Lycée Militaire

EA - ECO1 2 L'objectif est de déterminer algébriquement le panier de biens x et y qui permet à ce consommateur de maximiser son utilité sous contrainte de son revenu. Mathématiquement, cet objectif s'Ġcrit :

Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7

s.c. R = px.x + py.y Il existe deux protocoles mathématiques pour atteindre ces objectif : 䐟Le multiplicateur de Lagrange ; 䐠La méthode par substitution.

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Maximisation sous contrainte : protocole type

Choix de la méthode par substitution !!!

La méthode par substitution consiste à exprimer une des variables de la fonction d'utilitĠ en fonction de l'autre variable à partir de la fonction de la contrainte budgétaire. Le but est de transformer une fonction complexe à deux étudier (notamment en identifiant son extremum local qui, dans les exercices de microéconomie, est toujours un maximum local !!).

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Maximisation sous contrainte : protocole type

Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7

s.c. R = px.x + py.y y = a.x + b (1) y = -px/py . x + R/py (2)

On a donc :

a = -px/py = -2/5 b = R/py = 50/5 = 10 Cependant, pour la rigueur de l'analyse, il est préférable de numériques une fois le résultat obtenu !

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Maximisation sous contrainte : protocole type

Maxx,y U(x,y) = x0,3. y0,7

s.c. y = ax + b On remplace dans la fonction d'utilitĠ U, l'edžpression de y relative à la contrainte :

U(x, ax + b) = x0,3. (ax + b)0,7

On obtient ainsi une fonction à une seule variable que l'on note par exemple F(x) :

F(x) = x0,3. (ax + b)0,7

Objectif : identifier la valeur de x pour laquelle cette fonction admet un extremum local (on admettra que cet extremum local est un maximum). Cette valeur de x correspondra à la quantité optimale de bien x à laquelle le consommateur peut prétendre compte tenu de ses préférences et de sa contrainte budgétaire ! On l'appelle conventionnellement xm (" m » pour maximum).

Question : par quelle méthode mathématique peut-on identifier cette valeur de x ?

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Maximisation sous contrainte : protocole type

Maximisation sous contrainte : protocole type //

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EA - ECO1

7 Tangente horizontale : F'(x) = 0

x (max) = ?? F(x) x

Maximisation sous contrainte : protocole type //

La fonction F(xm) admet un extremum (qui est un maximum par admission) pour la valeur de xm qui annule sa dérivée première.

On calcule donc эF(džm)ͬэdžm = 0

Rappel : propriété des dérivées :

΀u(dž) . ǀ(dž)΁' с u'(dž) . ǀ(dž) н u(dž) . ǀ'(dž)

On a donc :

F(xm) = xm0,3. (axm + b)0,7

Et donc :

э(F(dž)ͬэy с 0,3džm(0,3 - 1) . (axm +b)0,7 + xm0,3 . 0,7(axm + b) (0,7 - 1). a Après simplification et pour э(F(džm)ͬэdžm = 0 on obtient :

Xm = - 0,3 . b/a

Or : 0,3 = . La valeur générique de xm s'Ġcrit donc :

Xm = - ɲ . bͬa

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EA - ECO1 8 A partir de l'edžpression de džm, il suffit de remplacer celle-ci dans ym = - 2/5 xm + 10

Ù ym = -2/5 . (-0,3b/a) + 10

Ù ym = 0,6b/5a + 10

partir des valeurs algébriques de l'edžercice. On sait que a = -2/5 (rapport des prix relatifs des deux biens) et que b = 50/5 = 10 (Revenu / prix du bien y). Il vient : xm = 7,5 Et : ym = 7

On vérifie ainsi que :

Um = U (xm ; ym) = U (7,5 ; 7)

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

Maximisation sous contrainte : protocole type //

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10 CI1

CI2 CI3

Maximisation sous contrainte : protocole type //

consommateur On considère une modification du revenu de l'agent. Celui-ci s'Ġtablit dorénavant à 80 Φ.

Questions :

consommateur.

3.Commenter.

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Question 1 :

y = -Px/Py. x + R/py

Ù Y = -2/5 . X + 16

Graphiquement, la droite de budget se déplace parallèlement à elle-même sur la droite. a = -2/5 et b = 16.

En remplaçant, il vient :

Xm = - 0,3 . b/a

Xm = 12

On remplace ensuite cette valeur de xm dans la nouvelle droite de budget ci-dessous pour identifier ym :

ym = 11,2

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

Question 2 :

CI1 CI2 CI3

Courbe de consommation

revenu D1 D2 Etape n°3 : Détermination algébrique de la fonction d'Engel Pour les fonctions homogènes de degré 1 du type : f(x,y) = xɲ . Yɴ aǀec ɲ ф 1 et ɴ ф 1 et ɲ н ɴ с 1 la fonction d'Engel se détermine à partir de la valeur de xm

établie ci-dessus :

Xm = - ɲ. bͬa

Or, sachant que a = -px/py et que b = R/py, il vient :

Xm = (-ɲ . Rͬpy) /(-px/py)

Ù Xm с ɲͬpx . R

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

On considère à nouveau la fonction d'utilitĠ du consommateur et sa contrainte budgétaire initiale.

U(x,y) = X0,3. y0,7

Par ailleurs, on sait que ce consommateur subit une contrainte budgétaire. Son revenu (R) s'Ġtablit à 50 Φ et les prix respectifs des biens x et y sont de 2 Φ et 5 Φ.

On sait donc que :

ym = - 2/5 xm + 10 On suppose alors que le revenu du consommateur varie de période en période.

Questions :

1.Exprimer algébriquement la fonction d'Engel de ce consommateur.

2.Représenter graphiquement la fonction d'Engel.

3.Commenter en utilisant le concept d'ĠlasticitĠ.

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

Question 1 :

La fonction d'Engel se détermine pour tous les xm possibles comme suit :

Xm с (ɲͬpx) . R

Avec les données de l'edžercice, il vient :

Xm = (0,3/2) . R

On vérifie bien que :

1.pour px constant, f(R) est égal à xm et correspond à la fonction

d'Engel (le bien xm varie en fonction du revenu R) ;

2.f(R) est une fonction croissante ;

3.0,3/2 est son coefficient directeur.

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

-30-25-20-15-10-55101520 -30 -25 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 f(R) = (0,3/2).R R f(R) = xm

F(R) = Xm = (0,3/2) . R

ex/R = (эX/эR) . (R/X) = (эX/эR) / (X/R) ex/R = (0,3/2) . (R/X)

Exemple :

Quand R = 5 ֜

E0,75/5 = (0,3/2). (5/0,75) = 1

On vérifie que lorsque R = 20 ֜

E3/20 = (0,3/2). (20/3) = 1 !

Le bien x est un bien normal et puisque la fonction d'Engel est une fonction affine, l'ĠlasticitĠ est toujours égale à l'unitĠ.

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Maximisation sous contrainte : protocole type //

On considère un consommateur qui exprime une fonction d'utilitĠ répondant aux conditions du modèle de l'utilitĠ ordinale de Pareto. Cette fonction U est notée :

U(x,y) = X0,5. y0,5

Etape 1 : on sait que ce consommateur subit une contrainte budgétaire. Son revenu (R) s'Ġtablit à 100 Φ et les prix respectifs des biens x et y sont de 2 Φ et 8 Φ. Etape 2 : Le revenu du consommateur s'accroŠt et s'Ġtablit dorénavant à 120 euros. Question : établir les deux équilibres du consommateur et commenter. 19 EA - ECO1

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Maximisation sous contrainte : exercice

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