[PDF] Topologie et Calcul Différentiel 2MA216





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Exercices corrigés

L'extremum local atteint en (0 −1) n'est donc pas global. (c) On a f(x



Optimisation 1 Extrema

f admet un maximum global en x0 si : ∀x ∈ Df



´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Un extremum (extrema au pluriel) désigne soit un maximum soit un minimum. Exercice 1. Graphiquement donner les extrema locaux et globaux de la fonction.



Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

L'extremum local atteint en (0 −1) n'est donc pas global. (c) On a f(x



ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

Cette version contient des exercices corrigés. Cet ouvrage est en plusieurs Montrer que f n'admet aucun extremum global sur D. 3. Déterminer les points ...



Extremums locaux gradient

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf



TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et

Si on etude le signe de g (r) pour r ≥ 0 on trouve que r = 0 est un minimum local pour g et r = 1 est un maximum local pour g. Donc les points Phk sont des 



Exercice 1

extrémum local en l'origine : ... de α pour que la fonction f admette un minimum local en l'origine. Solution: Par définition f admet un minimum local ( ...



Recueil dexercices de calcul différentiel

23 mars 2022 mum local maximum global



Exercices corrigés

1. Trouver les extrema locaux de f sur R2. 2. Montrer que f poss`ede un minimum global sur R2 et qu'elle ne poss`ede pas de maximum global. Corrigé.



´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs

Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 4.2 Extrémum local d'une fonction de plusieurs variables .



Extremums locaux gradient

http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf



ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE

doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice sans avoir préalablement essayé Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur R2.



TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et

Donc les points Phk sont des points de maximum local pour f. f) f(x



Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes

1. Trouver les extrema locaux de f sur R2. 2. Montrer que f poss`ede un minimum global sur R2 et qu'elle ne poss`ede pas de maximum global. Corrigé.



Topologie et Calcul Différentiel 2MA216

5.1 Extremum local et extremum global . Ce polycopié est parsemé d'exercices dont les corrigés sont fournis en annexe (accessibles par.



Exercices de mathématiques - Exo7

[005557]. Exercice 6 **T. Trouver les extrema locaux de Correction de l'exercice 1 ? ... On admet que f admet un maximum global sur le triangle fermé.



Exercices corrigés

aussi un maximum global en (1 1) sur D. Comme f n'a pas d'autres points critiques sur D (qui est ouvert)





TD 2 - Corrigé - Mathématiques 1 - Warning: TT: undefined - Studocu

telle que pour qu’au voisinage de (0;0) les coordonnées x et y du point (x;y) satisfassent à l’équation yex +ey sin(2x) = 0 il faut et il suf?t que y = h(x); de même il existe une fonction k de la variable y dé?nie au voisinage de 0 telle que h(0)=0 et telle que pour qu’au voisinage de (0;0) les coordonnées x et y du point (x;y



1 D e nitions : local ou global

et si le point critique aest un maximum (resp minimum) local alors pour tout v; Q(v) 60: (resp pour tout v Q(v) >0) Par contrapos ee on peut formuler di eremment ce crit ere : si on trouve deux vecteurs vet wtels que Q(v)Q(w)

Quel est le maximum global d'un extremum ?

Il n’y a pas de maximum global. Exercice 2 (extremum local) :Etudierla présence d'un extremum (au moins) local pour les fonctions suivantes : Rappels de cours :

Comment calculer un extremum local ?

1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.

Comment calculer les extremums par étude de fonction ?

Exercice 1 (extremums par étude de fonction) : Réaliser l’étude complète de la fonction suivante et en déduire tous les extremums (locaux et globaux) : 2 ( ) ( 7 11) x f x ? ? ?x x e Rappel de cours : Etudier une fonction (ou faire l’étude d’une fonction) f c’est : • Déterminer son domaine de définition

Comment savoir si un extremum est globaux ?

Il y a deux points critiques : 0 et 2. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2 e ordre. f x''( ) 6??x 6 donc f''(0)? ? ?6 0et f''(2) 6 0? ? Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 2 et un maximum (au moins) local en x = 0. Remarque : Ces deux extremums ne sont pas globaux car 3 lim ( ) lim lim () xx x

Topologie et Calcul Différentiel 2MA216

SorbonneUniversité

LicencedeMathématique s,2ème année

TopologieetCalculDi!érentiel

2MA216

NinaAguillo n,Jean-YvesChemin,AymanMouss a

Tabledesmati ères

1No rmessurR

n etsu itesconvergentes9

1.1Rapp elssurR

n etnotat ions...............................9

1.2Normessu rR

n ......................................10

1.2.1Trois exemplesimportants denormes.....................11

1.2.2Normes équ ivalentes...............................14

1.3Converg encedessuitesdansR

n .............................15

1.3.1SuitesdeCau chy.................................17

2TopologiesurR

n 19

2.1Boules ouvertes,bou lesfermées.............................19

2.2En semblesouverts....................................20

2.3En semblesfermés.....................................23

2.4Intérie ur,adhérenceetpartiesdense s..........................26

2.5Compaci té.........................................27

3Fo nctionscontinues33

3.1En semblededéfinitiond'unef onction.........................33

3.2Limited 'une fonctionenunpointetcon tinuité....................34

3.3Fon ctionscontinues:propriétéset exemples......................39

3.3.1Opération ssurlesfonctions continues.....................39

3.3.2P rolongementparcontinuité..........................40

3.4Continu itéettopologie..................................43

3.5Connexi tépararcs....................................47

3.6Unif ormecontinuitéetthéorème deHeine.......................48

4Dér ivéespartiellesetfo nctionsdeclasseC

1 49

4.1Fon ctionsdérivables,fonctions di!érentiables.....................49

4.2Dérivée partielle,matricej acobienne..........................51

4.2.1Dériv éespartielles................................51

4.2.2M atricejacobienn e,gradient..........................52

4.3Fon ctionsdeclasseC

1 ..................................53

4.4Opération ssurlesfonctions declasseC

1 ........................57

4.4.1Combinaison linéaireetproduit.........................57

4.4.2Compositio n...................................58

4.5Legrad ient d'unefonctionnu mérique.........................61

3 4

5Rec herched'extremum65

5.1Extrem umlocaletextremumglobal..........................65

5.2Poin tscritiquesetextrema...............................65

5.3Leretou rde lacompacité................................67

5.4Dérivées partiellesd 'ordredeux.............................68

5.5Nature despoints critiques:descritères aveclahessienne..............72

ARa ppelsdethéoriedesensem bles77

BUn brefaper çudesfonctio nsholomorph es79

B.1Ladéri vabil itéausenscomplexe............................79 B.2Lafor mulede Cauchy..................................80 B.3Formu ledeCauchyetanalyticit é............................82

CCo rrigésdesexercices85

Préambule

Cepo lycopiéestparseméd'exercic esdontles corrigéssontfournise nannexe(accessiblespar lienscliquables surlaversionélectroniqued ecedocume nt).Le lecteurestfortemen tencouragé ànepaslirelescorrigésinstantanémentetàsedonnerletempsdecher cherlesexercices.Ceci estd'aut antpluscrucialpourles exercicesfondament auxqu'ilestabsolument nécessairedesa voir résoudrepourvalidercette UE. 5 6

Introduction

Cemo duleestconsacréàl 'étudedes fonctionsàplusieursvari ab les.Quandonchercheàmo dé-

liserunphén omène(c'e st-à-direàtrouverdeséquationsmathématique squidécriventcorrectement

cequ' onobserve),qu' ilsoitphysique,biologique,économi queouautre,ilestplut ôtrarequ' ilne dépendequed' unseulparamèt re.Parex emple,l atempératuredansunepiècepeutêtr evuecomme unefonct iondutempsetdelaposit ion dansl'espace. L'objetdececours n'estpas depropose rdesmodèl esmaisd'étudierlesou tilsmathématiques

quipermette ntdelesanalyser.Voussave zdéjàtrè sbien,à partirdesonexpress ion,étudierun e

fonctiond'unevariable réelle: trouversespointsdediscontinui té,salimiteen+!etsonmi nim um parexemple. Voussavezéga lementfairedesdév eloppementslimités oucalculerdesintégrales. Danscec oursnous allonsnousattacher àgénéralisercertaine sdeces notionsauxfonction sde

plusieursvariables, éventuellementàvaleursvectorielles. Maisavantmêmedechercheràétudier

lesfonc tions,ilnousfaudragénéraliserp lusie ursnotionsexploré esdanslecadred'un evariable réelle.Parexemple :qu'est-c equ'unesuitedevecteu rsde R n convergente?Commentdéfinirla continuitéd'unefonctiondeR n dansR p ?Peut-on"dériver»unetellefonction?

Rappelsd'analyseréell e

Commenouslepr écisionsci- haut,u nebonnepartiedececoursapourbu tdegénéraliserdes notionsquevousavezdéjà rencontré danslecadrede l'étudedel'ensem bledes nombreréelset desfonct ionsdéfiniessurcelui-ci.Nousr appelons ci- aprèsquelquesunesdecesnotio nsquenous généraliseronsauseinducours etqu'il vous fautimpérativ ementconnaître. Commençonsparladéfinitiondel alimited 'unesu ite.

Définition

Soit(x

k k!N unesuite denombreréels.Ondi tqu elasuite(x k k!N convergeversunréel!siet seulementsi "">0,#k /k$k =%|x k

Lanotation signifiequ elerangk

inférieureà"dela limite !dépendde".Nousl'adopteronstoutdulongdupolycopié. Onvoit queladé finitiondec onve rgenced'unesuitedonn éeiciutilis elanotiondedistance entredeuxpoints,donnéepar lav aleurabsolue.Six k estunv ecteur etnonunréel,onv erra qu'i l 7 8 L'unedespropri étésremar quablesdessuitesréellesestlet héorèmesuivant.Ilsignifieque l'onpe utchoisircertainsterme sdelasuitedesorte que,sionoublielesau tres,lasuiteobte nue converge.

Théorème(deBolza no-Weierstrass)

Soit(x

k k!N unesuite d'élémentsd'unint ervalleferméetborné[a,b]deR.Il exist eunesous-suite dela suite(x k k!N quiconver geversunélément!de[a,b].

L'undesrésu ltatstrès importantsdececoursseralag énéralisati onduThéorèmedeBolzano-

Weirestrassaucasdesuitesvector ielles .Enplusdu compo rtementdessuites,n ousallonsnous

intéresseràl'analyseetladescriptiond esv ariationsdefonction s.L'uned esp remièresnotionsqu'il

nousfaudra traduiredansl ecasdeplusieursvariablesestla continuité,dontnousrappelonsicila définitiondanslecasd'unefo nctiond'une variabl eréelle.

Définition

Soitxunréel .Lafonctionf:R'Restcontinueaupoi ntxsietseul ementsi "">0,## >0,|x&y|<# =%|f(x)&f(y)|<". Celasigni fiequesionprenduntubed ediamètr e",aussipetitquesoit",onvapouvoirle couperàunelongueur # (quidép endde")desortequelegraphedelafonctionrestedansle tubeautourdup oint(x,f(x)).Ladéfinitiondelacontinuitéd'unefonctiondeplusieursvariables serappr ocherabeaucoupdecequiprécède;l'e !ortseconcentr era enfaitsurlatraductiondela notionde"proximité »,dans R n leschose ssecompliquerontunpeu :nepouv antdiviserparunvecteuril nousfaud ratrouverune formulationcohérentedanslecasdeplusieur svariables.

Définition

Soitfunefoncti ondeRdansRunefonction etxunpoint deR.On ditque festdérivab leau pointx,dedé riv éef (x),si lim h#0 f(x+h)&f(x) h =f (x).

Chapitre1

NormessurR

n etsuite sconvergentes

1.1Rappelss urR

n etnot ations Nousallonsd anscettes ectionintroduire lanotiondenormesu runespacevec torielquinous permettradedéfinirunedista nceas sociée.Avantdedonn erunedéfi nition,rappelonsquel'en- sembleR n estunespace vect oriel surRdedimensi onfinieégaleàn(quiest unentierstricte ment positif).Sesélémentssont appelésde svecteurs.Entantqu'espa cevectoriel dedimensionn,il existeunebase{e 1 ,...,e n },i.e.unefami llelibreetgénératrice, desortequetout vecteur xdeR n peuts'écr iredemanièreunique x= n i=1 x i e i oùlesn omb resréelsx 1 ,...,x n désignentlescoordo nnéesdexdanslabase {e 1 ,...,e n }.Laplupart dutemps onutil iseralaba secanoniquedéfiniepar e 1 1 0 0 0 0 ,e 2 0 1 0 0 0 ,···,e n 0 0 0 0 1 etoni dent ifieralevecteurxaveclama trice colonnedetaillen(1 x 1 x n 'etonécr ir ax= x 1 x n t (x 1 ,...,x n

Attention!

Lefait derepr ésenter unvecteurdeR

n sousfor med'unvecteurcolonne seraessentiel lorsquel'ondevrae !ectuerdespro duits matrices/vecteurs.Dansl esautressituations,lare- présentationd'unvecteursousformed'unecolo nneoud'unel igneneserapa sparticul ièrement importanteetpour cetteraison, nousferonsp arfoisdesabus denotations(surtout autableau). 9

10CHAPITRE1.NORMESSU RR

N

ETSUITES CONVERGENTES

Danslepolyc opié, nousnotonssouventunv ecteur

t (x 1 ,···,x n ),l'exposant" t

»indiquantla

transposée;ils'agitdoncenfaitd'unv ec teurcolonn e.

Enta ntqu'espacevectoriel ,R

n possède - uneloiinte rne(l'addition):six= t (x 1 ,...,x n ))R n ety= t (y 1 ,...,y n ))R n ,alors x+y déf t (x 1 +y 1 ,...,x n +y n ))R n - uneloiexte rne(lamu ltiplicationparunréel):six= t (x 1 ,...,x n ))R n et$)R,alors $x déf t ($x 1 ,...,$x n ))R n

1.2Normes surR

n Ladé finitionsuivanteintroduit leconceptfondamentaldenorme surR n ;intuitivementuntel objetpermetdem esurerla"taille»d esvect eurs.Ils'agitd'unprér equise sse ntielàdenombreux concepts(conv ergence,continuité...)que nousallonsexplorerdanslecourslesquelsex igentde

quantifierla"petitesse» des vec teurs.Enréalité,dansladéfi nitionqu isuit,onpeut remplacer

R n parunespace vecto rielquelco nque,maiscen'estpasl'objetdececo ursdetravaillerent oute généralité.

Définition1.1

Onappell enormesurR

n uneapplicati onNdeR n dansR telleque,pourtou tvecteursx,y deR n ettoutr éel$, (i)Séparation:N(x)=0sietseul ementsix=0 R n= t (0,···,0); n ettout$)R; n Aucollè geouaulycéeles vec teurs sontdéfiniss elontroisattribu ts:direction,sensetlongueur.

Lespropriété s(i)et(ii)dela Définitio n1.1coïncidentavecl' attribut"longueur» :ilestentendu

queleve cteu rnulestleseulayantun elongueurnu lleetsiondilateu nve cteurd'unfacteur $

(enchange antéventuellementsonsen s),salongueurvaêtredilatéed'unfacteur|$|.Lapropriété

(iii)estrel iéeàuneautreexigenceq uel' onpeut comprendreenintro duisantlanotion dedistance relativeàunen orme.

Définition1.2

Étantdonnéeune normeNsurR

n ,ladistance(relativeàN)en tredeuxvecteurs xetyestle nombrepositifN(x&y)=N(y&x). Remarque1.1Ilexis teunenotiongénéralede distance(su runensemble quelconque)quenous

avonschoiside nepasprésenter ici .Parmil espropri étésexigéesfigurel'inégal itétriangulair e:la

distanceentreAestBestpluspet itequela distanceobtenueenajout antun"détour »parun

troisièmepointC.Dan slecasd'un edistanc erelati veàunenorme, ceprincipenaturelest vérifié

grâceàl'inég alit étriangulaire(delanorme). Ilpe utêtreunpeus urprenantde parler d'unedist anceentredeuxpointsrelativeàunenorme donnée.Ona uraitenv iededirequeladistanceen tredeuxpoints,c' estsimpl ementlalongueur dusegm entquilessépare...et pourtant !Ilnousarr ivesouvent,dansla viedetous lesjou rs,de

1.2.NORME SSURR

N 11 manipulerdesdistances quinecor responden tpasfor cément àlalignedroite:lorsquel'ontraverse unqua rtierremplid'immeubles(voirl anormedeManhat tanàlaProposi tion1.2)oulorsqu'on regardeladistanceent redeux stationsdemétrosurlerés eaudelaRATP(mêm esidansceder nier cas,il n'yapasde normesous-jacente). Proposition1.1(Inégalitétriangulairerenve rsée)

SoitNunenormesu rR

n .Al orspourtoutx,ydansR n ona |N(x)&N(y)|*N(x&y). Démonstration.Enuti lisantl'inégalitétriangula ire,onobtient

N(x)=N(x&y+y)*N(x&y)+N(y),

N(y)=N(y&x+x)*N(y&x)+N(x).

comme &N(x&y)*N(x)&N(y)*N(x&y) cequi constituel erésultatrecherché.

1.2.1Trois exemplesimportan tsdenormes

Nousdonnon sdansceparagraphetroisexemple sfondamentaux denormes surR n ,quinous accompagneronttoutaulongde cesnotes.

Proposition1.2(Normed eManhattan)

L'application+·+

1 définiesurR n par +x+ 1 déf n j=1 |x j |=|x 1 |+|x 2 |+···+|x n estunenor me.Onl'appe llenorme1ounormedeManhattan . Démonstration.Commençonsparunrappelimport ant:uneso mmedet ermespositifsestnul le sietse uleme ntsitouscestermessontnuls. Icionas ommédesvale ursabsolu edoncdestermes positif.Onadonc+x+ 1 =0sietseul ementsi tousles|x j |sontnuls, doncsietseulementsitous lesx j sontnuls, doncsix=0 R n:laséparationestétablie.quotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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