[PDF] 1 D e nitions : local ou global

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SOL6MT04 Universite d'Orleans

Calcul Dierentiel et Optimisation 2019-2020

Probleme d'extremum

Attention!Dans ce chapitre, toutes les fonctions seront a valeurs reelles. Cela n'a pas de sens de chercher un maximum (ou un minimum) pour une fonction a valeurs vectorielles. On ne supposera pas toujours que le domaine de denition est ouvert (en particulier pour les denitions generales).

1 Denitions : local ou global

On donne les denitions dans un cas tres general m^eme si, dans la pratiqueXsera toujours une partie d'un espace vectoriel (voire deRp). Soitfune fonction denie d'un ensembleXa valeurs dansRetaun point deX: |aest un maximum (global) defsurXsi

8x2X; f(a)>f(x):

Ce maximum est strict si l'inegalite est stricte pourx6=a: |aest un minimum (global) defsurXsi

8x2X; f(a)6f(x):

Ce minimum est strict si l'inegalite est stricte pourx6=a: |aest un extremum siaest un maximum ou un minimum. Pour denir la notion d'extremum local, il faut pouvoir denir des voisinages. On supposera donc queXest une partie d'un espace metrique (E;d) (dans la pratique,Esera presque toujours un espace vectoriel norme). |aest un maximum local defsurXsi il exister >0 tel que

8x2B(a;r)\X; f(a)>f(x):

Ce maximum local est strict si l'inegalite est stricte pourx6=a: |aest un minimum local defsurXsi il exister >0 tel que

8x2B(a;r)\X; f(a)6f(x):

Ce minimum local est strict si l'inegalite est stricte pourx6=a: |aest un extremum local siaest un maximum local ou un minimum local. Remarque :siXest ouvert dansE, quitte a prendre un plus petitron peut supposer queB(a;r)X: Rappel :Lorsque (X;d) est un espace metrique compact (par exemple une partie compacte d'un espace vectoriel norme) etfune applicationcontinuedeXdansR;on sait deja qu'il existe (au moins) un maximum global defsurXet (au moins) un minimum global defsurX. On fera attention qu'une partie ouverte d'un espace vectoriel norme n'est jamais compacte. 1

2 Une condition necessaire d'ordre1

2.1 Rappel en dimension1.

Soitfune fonction denie sur un intervalle ouvertIdeR;a valeurs reelles et soitaun extremum local def. Sifest derivable enaalorsf0(a) = 0: Demonstration.On fait la preuve dans le cas d'un maximum. CommeIest ouvert eta2I;il exister >0 tel que, ]ar;a+r[Iet

8x2]ar;a+r[; f(x)6f(a):

On ecrit la formule du taux d'accroissement pourx > aet on fait tendrexversa:Puisquefest derivable enaon obtient en passant a la limite f

0(a)60:

Le m^eme raisonnement pourx < adonne

f

0(a)>0;

d'ou la conclusion.Lorsquefest denie et continue sur un intervalle compact [x;x+];et derivable sur l'ouvert ]x;x+[

on en deduit que ou bien le maximum est atteint enxou enx+ou bien il est atteint en un point a2]x;x+[ et alorsf0(a) = 0:Ce raisonnement est a la base de la preuve du theoreme de Rolle.

2.2 Generalisation

Soitfune fonction denie sur un ouvert

Rpa valeurs dansR. Supposons quea2

est un minimum local. Pour tout vecteurv2Rn, on denit la fonctionFvsur un petit intervalle qui contient 0 parFv(t) =f(a+tv). Il est evident que siaest un minimum local pourfalors, pour toutv,t= 0 doit ^etre un minimum local deFv. De plus, si la fonctionfest dierentiable enaalors la fonctionFvest derivable ent= 0 et F

0v(0) =nX

i=1v i@f@x i(a) =dfja(v): D'apres le critere en dimension 1, siaest un minimum local alors, necessairement

8v2Rp;nX

i=1v i@f@x i(a) = 0:

Cela n'est possible que si

816i6n;@f@x

i(a) = 0; ou encore df ja= 0: Le m^eme raisonnement s'applique pour un maximum local, on en deduit le critere suivant. Proposition 1.SoitEun espace vectoriel norme etfune application denie sur un ouvert Ea valeurs reelles. Soitaun extremum local tel quefest dierentiable enaalors df ja= 0: 2

Dans le cas ouE=Rp, dire quedfja= 0 equivaut a

816j6p;@f@x

j(a) = 0:

Denition 1.Soitfune application denie d'un ouvert

Ea valeurs reelles. On dit queaest un

point critique defsifest dierentiable enaet sidfja= 0: D'apres ce qui precede, on a donc lacondition necessaire d'ordre1 : sifest dierentiable sur l'ouvert Eet siaest un extremum local defalorsaest un point critique def:

3 Etude des points critiques

3.1 En dimension1

Soitfune fonction denie sur un voisinage de 0 qui admet un point critique en 0:On suppose quef est au moinsC2:D'apres la formule de Taylor-Young en 0 on a f(x)f(0) =12 f00(0)x2+o(x2) =x22 (f00(0) +r(x)); ourest une fonction qui tend vers 0 en 0:

Si 0 est un minimum local, on a donc

x 22
(f00(0) +r(x))>0: On divise parx2puis on fait tendrexvers 0 pour trouver f

00(0)>0:

Inversement, si 0 est un maximum local, on trouve quef00(0)60:Remarquons que m^eme si l'extremum est strict, l'inegalite ci-dessus reste large puisqu'elle est obtenue en passant a la limite. Reciproquement, sif00(0)6= 0, pourxassez petit, (f00(0) +r(x)) est du signe def00(0):On obtient donc les conditions susantes suivantes :

Si f00(0)>0 alors 0 est un minimum local.

Si f00(0)<0 alors 0 est un maximum local.

Sif00(0) = 0;les exemples suivants montrent qu'on ne peut pas conclure (sans hypotheses supplementaires)

quant a savoir si 0 est un extremum ou pas (ni, si c'en est un, sur la nature de cet extremum) P ourx7!x3, 0 est un point critique qui n'est pas un extremum local. P ourx7!x4, 0 est un point critique qui est un minimum local. P ourx7! x4, 0 est un point critique qui est un maximum local.

3.2 En dimension plus grande

En dimension plus grande, soitfdenie de l'ouvert

Rpau moinsC2et soitaest un point critique

def. On denit, comme precedemment, la fonctiont7!f(a+tv) et on essaie d'utiliser la caracterisation de la dimension 1. On doit donc chercher un developpement limite pour cette fonction. CommefestC2sur ;pour tout v,FvseraC2sur un petit intervalle qui contient 0. De plus, on peut calculer la derivee : F

0v(t) =pX

i=1v i@f@x i(a+tv); 3 et la derivee seconde : F

00v(t) =pX

i;j=1v ivj@2f@x i@xj(a+tv):

La formule de Taylor en 0 pourFvdonne donc :

f(a+tv)f(a) =t22 (Q(v) +r(t)) ourtend vers 0 quandttend vers 0 etQest la forme quadratique denie par

Q(v) =pX

i;j=1v ivj@2f@x i@xj(a)

D'apres le theoreme de Schwarz sur les derivees croisees, cette forme quadratique est associee a la forme

bilineaire symetrique representee par la matrice hessienne

H(a) =h@2f@x

i@xj(a)i

16;i;j6p:

C'est a dire queQ(v) =tV H(a)VouVest le vecteur colonne representantvdans la base canonique. On deduit de l'analyse precedente lacondition necessaire d'ordre2 : sifest au moinsC2sur l'ouvert , et si le point critiqueaest un maximum (resp. minimum) local alors, pour toutv; Q(v)60: (resp. pour toutv,Q(v)>0). Par contraposee, on peut formuler dieremment ce critere : si on trouve deux vecteursvetwtels que Q(v)Q(w)<0 alors le point critiquean'est pas un extremum local.

Ainsi, l'etude des points critiques est reliee a l'etude des formes quadratiques dont on rappelle dans

la partie suivante les resultats principaux vus enL2.

3.2.1 Rappels d'algebre lineaire

On travaille dansRpmuni du produit scalaire canonique. (ce qui revient a travailler dans un espace de

dimension niepmuni d'un produit scalaire de reference, pour lequel on a choisi une base orthonormee).

La forme quadratiqueQest donc representee par une matrice symetriqueAde sorte que

Q(X) =tXAX:

La forme quadratiqueQest ditepositivesiQ(X)>0 pour toutX;denie positivesiQ(X)>0 pour toutXnon-nul. On denit symetriquement les notions de forme quadratiquenegativeetdenie negative.

La forme quadratiqueQest ditenon-degenereelorsque

tY AX= 0;8Y2Rp=)X= 0: De facon equivalent,Qest non-degeneree si detA6= 0 (c'est a dire lorsque la matriceAest inversible). Theoreme 1.SoitQune forme quadratique surRpalors il existepnombres16266pet une base orthonormeeV1Vptelle que Q(pX i=1y iVi) =pX i=1 iy2i: De plus, lesisont les valeurs propres de la matrice qui representeQ. 4 Si on notePla matrice de passage de la base canonique a la base orthonormeeV1;Vp(c'est a dire queX=PY) alors on a tPAP= diag(1;p): PuisquePest orthogonale on atP=P1et donc on en deduit que la matrice symetriqueAest diago- nalisable (en base orthonormee) et lesisont les valeurs propres deA.

Corollaire 1.La forme quadratiqueQest non-degeneree si et seulement si toutes les valeurs propres sont

non-nulles. Elle est positive (resp. negative) si toutes les valeurs propres sont positives (resp. negatives).

Elle est denie positive (resp. denie negative) si toutes les valeurs propres sont strictement positives

(resp. strictement negatives).

LorsqueQest denie positive, pour toutX, on a

Q(X)>1p

X i=1y

2i>1kXk2

(ou, pour la derniere egalite, on a utilise le fait quePest orthogonale). De m^eme, lorsqueQest denie negative, pour toutXon a

Q(X)6jpjkXk2:

3.3 Une condition d'ordre2

On reprend le calcul donnant

f(a+tv)f(a) =t22 (Q(v) +r(t)) ourtend vers 0 quandttend vers 0 etQest la forme quadratique representee par la Hessienne enadans la base canonique. Dans ce calcul lerdepend en fait dev, lorsquefest au moinsC2, on peut en fait montrer, en un point critiquea, la formule de Taylor suivante (obtenue en posantv=thet en montrant que le restertend vers 0 uniformement par rapport a la direction) : f(a+h) =f(a) +12

Q(h) +khk2r(h);

ourtend vers 0 sihtend vers 0 (on ecrit parfoiso(khk2) au lieu dekhk2r(h)). Remarque :en un point quelconque, pas forcement critique, la formule de Taylor pour une fonction de R pdansRde classe au moinsC2s'ecrit : f(a+h) =f(a) +pX i=1h i@f@x i(a) +12 p X i;j=1h ihj@2f@x i@xj(a) +o(khk2): Dans le cas ouQest non-degeneree, on a le theoreme suivant.

Theoreme 2.Soitfdenie d'un ouvert

RpdansRune application de classe au moinsC2:Soita

un point critique tel que la hessienne enaest non degeneree. On est alors dans un des trois cas suivants.

|Qest denie positive etaest un minimum local. |Qest denie negative etaest un maximum local. |Qest non-degeneree mais n'est ni denie positive, ni denie negative. Alorsan'est pas un extre- mum local. On dit queaest un point-col (ou un point-selle). 5

Preuve : On repart de la formule de Taylor-Young,

f(a+h)f(a) =12

Q(h) +o(khk2):

SiQest denie positive, il existe1>0 tel que, pour touthon a

Q(h)>1 khk2

Pourhassez petit, on a donc

f(a+h)f(a)>14 khk2;

ce qui entra^ne bien queaest un minimum local. On ecrit une preuve similaire dans le cas ouQest denie

negative. LorsqueQest non-degeneree mais ni denie positive, ni denie negative, alorsQadmet des valeurs

propres de signes dierents. En prenantvetwdes vecteurs propres associes a des valeurs propres de signe

dierent, on aQ(v)Q(w)<0 ce qui entra^ne quean'est pas un extremum local. Remarque :SiQest degeneree, on peut trouvervtel queQ(v) = 0 et donc, dans cette direction, on ne peut rien dire.

3.4 En pratique

Dans un probleme d'optimisation, on peut souvent distinguer plusieurs types d'arguments : des argumen tsutilisan tplut^ otla con tinuiteet la compacit e. des argumen tsde t ypedi erentiel(rec herchede p ointscritiqu es, etudede la hessienne), Tres schematiquement, les premiers types d'arguments vont servir a assurerl'existenced'un certain type d'extremum, et les deuxiemes vont permettre de lelocaliser. La methode est compliquee par le

fait que les premiers arguments demandent en general de la compacite, alors que les deuxiemes s'utilisent

dans des ouverts. Ainsi, lorsqu'on est sur un compactK, on sait que les extremums existent mais, pour

pouvoir utiliser les methodes dierentielles il faut montrer que tel extremum est atteint dans l'interieur

deK. Ce qui se fait typiquement en etudiant ce qui se passe sur le bord deK. Inversement, si la fonction

est denie sur un ouvert, on peut mettre des conditions sur le comportement au bord pourgagner de la compacite. Le prototype d'un tel resultat est la proposition suivante. Proposition 2.Soitfune fonction denie et continue sur un ensemble ouvertXRp. On suppose quefestproprec'est a dire qu'elle verie la propriete suivante. Pour toutM >0;il existe un compact KXtel que, pour toutx2XnK; f(x)>M. Alorsfadmet un minimum global surX. Preuve : On commence par xer unadansXet on poseM=f(a) + 1:SoitKle compact associe aM

par l'hypothese,Kn'est pas vide puisqu'il contient le pointa. La fonctionfest continue sur le compact

Ket donc admet un minimumx:Puisquea2Kon a

f(x)6f(a)6M: Montrons quexest un minimum global, pour toutx2X, ou bienx2Ket alorsf(x)>f(x) puisque x est un minimum surK, ou bienx =2Kmais alorsf(x)>M+ 1>M>f(x): On en deduit que lorsquefest propre, on peut trouver le minimum en cherchant les points critiques. 6

4 Annexe

4.1 Formule de Taylor-Young

Soita2I, on suppose quefverie les deux hypotheses suivantes |festCn1surI, |f(n1)est derivable ena: alors, au voisinage deaon af(x) =f(a) +nX k=1(xa)kk!f(k)(a) +o((xa)n)Demonstration.On ecrit la derivabilite def(n1)ena:Pourt2I;on a f (n1)(t) =f(n1)(a) + (ta)f(n)(a) +o(ta): On va primitiver cette egalite entreaetx:Remarquons que par denition duo, pour tout", il existe tel que sijtaj6alorsjo(ta)j6"jtaj:Par integration, on a alors, pourjxaj6; Z x a o(ta)dt6"2 jxaj2: Ainsi la primitive deo(ta) est uno(xa)2. On trouve ainsi f (n2)(x) =f(n2)(a) + (xa)f(n1)(a) +(xa)22! f(n)(a) +o(xa)2:

Il reste alors a integrer encoren2 fois pour obtenir le resultat.Remarque :Cette formule est en particulier vraie en tout point deIdes quefestCnsurI:

4.2 Formule de Taylor-Lagrange

Soita2I, on suppose quefverie les deux hypotheses suivantes |festCnsurI, |f(n)est derivable surI: alors, pour touta < x2I, il existec2]a;x[ tel quef(x) =f(a) +nX k=1(xa)kk!f(k)(a) +(xa)n+1(n+ 1)!f(n+1)(c):7 Demonstration.On introduit une fonction auxiliaireg;denie sur [a;x] par la formule g(t) :=f(x)f(t)nX k=1(xt)kk!f(k)(t)A(xt)n+1; ou la constanteAest choisie de telle sorte queg(a) = 0:Par hypothese, la fonctiongest continue sur

[a;x], derivable sur ]a;x[ et verieg(a) = 0 =g(x):Le theoreme de Rolle s'applique donc et il existectel

queg0(c) = 0:Quand on deriveg, une simplication telescopique intervient de sorte que g

0(c) =(xc)nn!f(n+1)(c)(n+ 1)A(xc)n:

On peut alors simplier par (xc)n; on obtientA=1(n+1)!f(n+1)(c):Le resultat s'en deduit en reecrivant g(a) = 0:Remarque :La m^eme formule est vraie pourx < a(avec la m^eme preuve). 8quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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