Exercices corrigés
L'extremum local atteint en (0 −1) n'est donc pas global. (c) On a f(x
Optimisation 1 Extrema
f admet un maximum global en x0 si : ∀x ∈ Df
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Un extremum (extrema au pluriel) désigne soit un maximum soit un minimum. Exercice 1. Graphiquement donner les extrema locaux et globaux de la fonction.
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
L'extremum local atteint en (0 −1) n'est donc pas global. (c) On a f(x
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
Cette version contient des exercices corrigés. Cet ouvrage est en plusieurs Montrer que f n'admet aucun extremum global sur D. 3. Déterminer les points ...
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
Si on etude le signe de g (r) pour r ≥ 0 on trouve que r = 0 est un minimum local pour g et r = 1 est un maximum local pour g. Donc les points Phk sont des
Topologie et Calcul Différentiel 2MA216
C'est un cas particulier de connexité par arcs! Page 65. Chapitre 5. Recherche d'extremum. 5.1 Extremum local et extremum global CORRIGÉS DES EXERCICES. Le ...
Exercice 1
extrémum local en l'origine : ... de α pour que la fonction f admette un minimum local en l'origine. Solution: Par définition f admet un minimum local ( ...
Recueil dexercices de calcul différentiel
23 mars 2022 mum local maximum global
Exercices corrigés
1. Trouver les extrema locaux de f sur R2. 2. Montrer que f poss`ede un minimum global sur R2 et qu'elle ne poss`ede pas de maximum global. Corrigé.
´Eléments de calculs pour létude des fonctions de plusieurs
Les exercices `a faire en TD se trouvent `a la suite du cours et les corrections `a la 4.2 Extrémum local d'une fonction de plusieurs variables .
Extremums locaux gradient
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00065.pdf
ANALYSE RÉELLE OPTIMISATION LIBRE ET SOUS CONTRAINTE
doivent être préparés : écouter le corrigé d'un exercice sans avoir préalablement essayé Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes sur R2.
TD4 – Extrema libres Exercice 1. Trouver les points critiques et
Donc les points Phk sont des points de maximum local pour f. f) f(x
Exercices corrigés Fonctions de deux variables Fonctions convexes
1. Trouver les extrema locaux de f sur R2. 2. Montrer que f poss`ede un minimum global sur R2 et qu'elle ne poss`ede pas de maximum global. Corrigé.
Topologie et Calcul Différentiel 2MA216
5.1 Extremum local et extremum global . Ce polycopié est parsemé d'exercices dont les corrigés sont fournis en annexe (accessibles par.
Exercices de mathématiques - Exo7
[005557]. Exercice 6 **T. Trouver les extrema locaux de Correction de l'exercice 1 ? ... On admet que f admet un maximum global sur le triangle fermé.
Exercices corrigés
aussi un maximum global en (1 1) sur D. Comme f n'a pas d'autres points critiques sur D (qui est ouvert)
Corrigé des concours et propositions de concours national daccès
f(00) = 1 n'est pas un extremum. (?1
TD 2 - Corrigé - Mathématiques 1 - Warning: TT: undefined - Studocu
telle que pour qu’au voisinage de (0;0) les coordonnées x et y du point (x;y) satisfassent à l’équation yex +ey sin(2x) = 0 il faut et il suf?t que y = h(x); de même il existe une fonction k de la variable y dé?nie au voisinage de 0 telle que h(0)=0 et telle que pour qu’au voisinage de (0;0) les coordonnées x et y du point (x;y
1 D e nitions : local ou global
et si le point critique aest un maximum (resp minimum) local alors pour tout v; Q(v) 60: (resp pour tout v Q(v) >0) Par contrapos ee on peut formuler di eremment ce crit ere : si on trouve deux vecteurs vet wtels que Q(v)Q(w)
Quel est le maximum global d'un extremum ?
Il n’y a pas de maximum global. Exercice 2 (extremum local) :Etudierla présence d'un extremum (au moins) local pour les fonctions suivantes : Rappels de cours :
Comment calculer un extremum local ?
1. Si f (c) est un extremum local de f, alors f ?(c)= 0. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. Vous devez disposer d'une connexion internet pour accéder à cette ressource. 2. Si f ? s'annule en c en changeant de signe, alors f (c) est un extremum local de f.
Comment calculer les extremums par étude de fonction ?
Exercice 1 (extremums par étude de fonction) : Réaliser l’étude complète de la fonction suivante et en déduire tous les extremums (locaux et globaux) : 2 ( ) ( 7 11) x f x ? ? ?x x e Rappel de cours : Etudier une fonction (ou faire l’étude d’une fonction) f c’est : • Déterminer son domaine de définition
Comment savoir si un extremum est globaux ?
Il y a deux points critiques : 0 et 2. Pour savoir s’il s’agit d’extremums, on utilise les conditions du 2 e ordre. f x''( ) 6??x 6 donc f''(0)? ? ?6 0et f''(2) 6 0? ? Conclusion : f admet un minimum (au moins) local en x = 2 et un maximum (au moins) local en x = 0. Remarque : Ces deux extremums ne sont pas globaux car 3 lim ( ) lim lim () xx x
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Exercices corrig´es
Merci de me signaler toute coquille pr´esente dans ce document :selim.cornet@dauphine.frExercices du polycopi´e
Exercice 8.6
Soientb > a >0 etf: [a,b]→Rune fonction de classeC1et convexe sur [a,b]. 1. Rapp elezla d ´efinitionde f est con vexesu r[ a,b]. 2.En d ´eduireque
?(Q,Q0)?[a,b]2,f(Q)Q -f(Q0)Q0≥?
1-Q0Q f ?(Q0)-f(Q0)Q 0? (8.2) 3.Consid ´eronsun bien Adont le coˆut total de fabrication est li´e `a la quantit´e produiteQ?[a,b] par la relation
C=f(Q).
(a) Rapp elezla d ´efinitiondu c oˆutmo yenet du co ˆutmarginal. (b)On su pposequ"il existe une quan tit´eQ?pour laquelle le coˆut moyen et le coˆut marginal s"´egalisent. D´eduire
de (8.2) que le coˆut moyen atteint son minimum enQ?.Corrig´e
1.fest convexe si sa courbe repr´esentative est au-dessus de toutes ses tangentes sur [a,b], c"est-`a-dire si
?Q0?[a,b],?Q?[a,b],f(Q)≥f(Q0) +f?(Q0)(Q-Q0) 2. Soien tQ0,Q?[a,b]. CommeQ >0 etQ0>0, on d´eduit de la relation pr´ec´edente : f(Q)Q ≥f(Q0)Q 1-Q0Q f ?(Q0) f(Q)Q -f(Q0)Q0≥f(Q0)Q
-f(Q0)Q 0+? 1-Q0Q f ?(Q0) f(Q)Q -f(Q0)Q0≥?
1-Q0Q f ?(Q0)-f(Q0)Q 0? La relation (8.2) est d´emontr´ee pour tout (Q0,Q)?[a,b]2. 3. (a)Le co ˆutmo yenest donn ´epar fM(Q) =f(Q)Q
, et le coˆut marginal parfm(Q) =f?(Q). (b)En Q?, on a doncf(Q?)Q
?=f?(Q?). En rempla¸cantQ0parQ?dans la relation (8.2), on a alors ?Q?[a,b],f(Q)Q -f(Q?Q 1-Q?Q f ?(Q?)-f(Q?)Q = 0c"est-`a-direfM(Q)-fM(Q?)≥0 pour toutQ?[a,b]. Par d´efinition du minimum global, la fonctionfM
poss`ede donc un minimum global sur [a,b] enQ?. 1 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019Exercice 13.5
Soit la fonctionfd´efinie par
f(x,y) =xαyβo`uαetβsont des r´eels non nuls. SoitC={(x,y)?R2,x >0,y >0}.On admet queCest ouvert.´Etudier la convexit´e
(ou la concavit´e) defsurCen discutant selon les valeurs deαetβ.Corrig´e
Commen¸cons par remarquer que pour tout (x,y)? C, on a ln(f(x,y)) =αln(x)+βln(y). Ainsi, siα <0,β <0, ln◦fest
convexe (par les propri´et´es d"extension et d"addition), doncfest convexe. Calculons les d´eriv´ees partielles def. On a, pour tout (x,y)? C,∂f∂x (x,y) =αxα-1yβ,∂f∂y (x,y) =βxαyβ-1, puis ∂2f∂x2(x,y) =α(α-1)xα-2yβ,∂2f∂x∂y
(x,y) =αβxα-1yβ-1,∂2∂y2(x,y) =β(β-1)xαyβ-2. Le d´eterminant de la matrice
hessienne en (x,y) vaut doncrt-s2=αβ(α-1)(β-1)x2α-2y2β-2-(αβ)2x2α-2y2β-2=αβ(1-α-β)x2α-2y2β-2.
Celui-ci est du signe deαβ(1-α-β). Ainsi : •Siα <0,β >0 etα+β >1, on art-s2<0 etr≥0, doncfn"est ni convexe ni concave. •On peut faire la mˆeme analyse dans le cas sym´etriqueα >0,β <0. On r´esume tous ces r´esultats dans le tableau ci-dessous.αβα+βfest<0<0-convexe <0>0>1ni convexe ni concave >0<0>1ni convexe ni concave >0>0>1ni convexe ni concaveExercice 13.8
Soit la fonctionfd´efinie parf(x,y) = (y-1)ln(y-1)-ln(x) +x2-xy+ 2y2-7y-32 x+ 3. 1. Donner le domaine de d ´efinitionDfdefet faire un dessin de cet ensemble. 2.L"ensem bleDfest-il convexe ? Est-il ouvert ?
3.Mon trerque fest de classeC2surDf.
4. Mon trerque la fonction ?:u?→uln(u) est convexe sur son ensemble de d´efinition. 5.En d ´eduirela con vexit´ede fsurDf.
2 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019Corrig´e
1.Les quan tit´es` al"in t´erieurdes logarithmes doiv entˆ etrestricte mentp ositives.fest donc d´efinie surDf={(x,y)?
R2,x >0,y >1}.Oxy
D f2.Dfest convexe et ouvert car c"est l"intersection de deux demi-plans ouverts. 3.La fonction ?est d´efinie et de classeC1sur ]0,+∞[. Pour toutu?]0,+∞[, on a??(u) =u×1u
+ ln(u) = 1 + ln(u) qui est une fonction croissante,?est donc convexe sur ]0,+∞[. 4.La fonction ln ´ etantde classe C2surR+, la fonction (x,y)?→ -ln(x) est de classeC2par extension. La fonction
(x,y)?→ln(y-1) est aussi de classeC2car compos´ee d"une fonction affine par la fonction logarithme qui est de classe
C2. Par produit avec une fonction affine, la fonction (x,y)?→(y-1)ln(y-1) est de classeC2.fest par cons´equent
de classeC2, comme somme de fonctions de classeC2et d"une fonction polynomiale qui est aussi de classeC2.
5.P arcomp ositiond"une fonction c onvexepar une fonction affine ,( x,y)?→(y-1)ln(y-1) =?(y-1) est convexe
surDf. De plus, par application du crit`ere de convexit´e des fonctions polynomiales de degr´e 2, la fonction (x,y)?→
x2-xy+ 2y2-yy-32
x+ 3 est convexe surDf(car 4ac-b2= 4×1×2-(-1)2= 3>0 eta= 1>0). Enfin, lafonction-ln ´etant convexe, la fonction (x,y)?→ -ln(x) est convexe d"apr`es la propri´et´e d"extension. La fonctionf
est une somme de fonctions convexes, elle est par cons´equent convexe surDf.Exercice 14.4
On consid`ere la fonctionfd´efinie surR2par
f(x,y) =xye-x2+y22 1. On consid `erela fonction φd´efinie surRparφ(u) =ue-u22 . Montrer queφest de classeC2surRet calculerφ?et 2.D ´eterminerles extrema de φsurRet donner les plus grands intervalles (au sens de l"inclusion) sur lesquelsφest
convexe. 3.P ourtout ( x,y)?R2, exprimerf(x,y) en fonction deφ(x) etφ(y). En d´eduire une expression des d´eriv´ees partielles
premi`eres defen fonction deφet deφ?. 4. D ´eterminerles cinq p ointscritiqu esde fsurR2. 5.T oujours` al"aide des fonctions φ,φ?etφ??, donner la matrice hessienne defen un point quelconque (x,y) deR2.
6.Donner la nature lo caledes p ointscritiques.
7. On p oseD={(x,y)?R2,x >0 ety >0}. On admet que c"est un ouvert deR2. 3 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 (a)Mon trerque Dest un sous-ensemble convexe deR2.
(b)Mon trerque la fonction h= ln◦fest bien d´efinie surDet ´etudier la convexit´e ou la concavit´e dehsurD.
(c)En d ´eduiresans calcul les extrema de fsurD.
(d)Mon trerque fest born´ee surD.
Corrig´e
1.La fonction u?→e-u22
est de classeC2surRcomme compos´ee de la fonction exponentielle par une fonctionpolynomiale. Par produit avec une fonction polynomiale, la fonctionφest donc de classeC2surR. On calcule, pour
toutu?R, ?(u) = (1-u2)e-u22 etφ??(u) = (u3-3u)e-u222.•On aφ?(u) = 0?u? {-1,1}. De plusφ??(1) = 2e-1/2>0,φ??(1) =-2e-1/2<0. La fonctionφposs`ede
donc un minimum local en-1, de valeurφ(-1) =-e-1/2, et un maximum local en 1 de valeurφ(1) =e-1/2.
e-1/2. De mˆeme, comme limu→+∞φ(u) = 0, il existeb?Rtel que pour toutu≥b,|φ(u)|< e-1/2. On a
n´ecessairementa <-1 etb >1. Commeφest continue, elle admet un minimum et un maximum globalsur [a,b], qui sont n´ecessairement atteints en des points critiques ou sur le bord. Maisφ(a)>-e-1/2=
φ(-1),φ(b)> e-1/2=φ(-1), le minimum global n"est donc pas atteint sur le bord mais enu=-1. De mˆeme,
plus, ´etant donn´e le choix deaetb, ces in´egalit´es sont ´egalement vraies pour toutu /?[a,b]. En conclusion,
maximum global en 1. •On a, pour toutu?R,φ??(u) =u(u-⎷3)(u+⎷3)e-u22 . L"exponentielle ´etant toujours positive, un tableau designes nous donne queφ??(u)≥0 pouru?[-⎷3,0] etu?[⎷3,+∞[. Ces deux intervalles sont donc les plus
grands sur lesquelsφest convexe. 3. On a, p ourtout ( x,y)?R2,f(x,y) =φ(x)φ(y). On en d´eduit que, pour tout (x,y)?R2, ∂f∂x (x,y) =φ?(x)φ(y) et∂f∂y (x,y) =φ(x)φ?(y) 4.On r ´esoutle syst `eme
?φ?(x)φ(y) = 0 φ(x)φ?(y) = 0. La premi`ere ligne donneφ?(x) = 0 ouφ(y) = 0. •Siφ?(x) = (1-x2)e-x22 = 0, alors n´ecessairementx=-1 oux= 1. Commeφ(1)?= 0,φ(-1)?= 0, la deuxi`eme ligne impose doncφ?(y) = 0 soit, de la mˆeme mani`ere,y=-1 ouy= 1.•Siφ?(x)?= 0, alorsφ(y) = 0 ce qui imposey= 0. Commeφ?(0)?= 0, la deuxi`eme ligne impose alorsφ(x) = 0
doncx= 0. En conclusion,fposs`ede 5 points critiques qui sont (-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1) et (0,0). 5.On a, p ourtout ( x,y)?R2,
2f∂x
2(x,y) =φ??(x)φ(y)∂2f∂y
2(x,y) =φ(x)φ?(y)∂2f∂x∂y
(x,y) =φ?(x)φ?(y)D"o`u la matrice hessienne en (x,y) :
Hf(x,y) =?φ??(x)φ(y)φ?(x)φ?(y)
?(x)φ?(y)φ(x)φ??(y)? 4 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 6.On calcule, en ( x,y)?R2,
xy(x3-3x)(y3-3y)-(1-x2)2(1-y2)2? e-x2-y2Ainsi :
•En (-1,-1), on art-s2= 4e-2>0 etr=-2e-1<0. La fonctionfa donc un maximum local en (-1,-1). •En (-1,1), on art-s2= 4e-2>0 etr= 2e-1>0. La fonctionfa donc un minimum local en (-1,1). •En (1,-1), on art-s2= 4e-2>0 etr= 2e-1>0. La fonctionfa donc un minimum local en (1,-1). •En (1,1), on art-s2= 4e-2>0 etr=-2e-1<0. La fonctionfa donc un maximum local en (1,1). •En (0,0), on art-s2=-1<0. La fonctionfa donc un point-col en (0,0). 7. (a) Dest convexe car c"est l"intersection de deux demi-plans ouverts. (b)La fonction fest strictement positive surD.
Ainsih= ln◦fest bien d´efinie surD, et pour tout (x,y)? D,h(x,y) = ln(f(x,y)) = ln(x) + ln(y)-x2+y22
Les fonctions ln etu?→ -u22
sont concaves surR?+, donc par extension les fonctions (x,y)?→ln(x),(x,y)?→ ln(y),(x,y)?→ -x22 et (x,y)?→ -y22 sont concaves surD. La fonctionhest donc concave comme somme de fonctions concaves. (c)La fonction ln ´ etantstrictemen tcroissan te,les fonctions fethont les mˆemes extrema locaux aux mˆemes
points. Or on sait d´ej`a que le seul point critique defsurDest (1,1) et quefa un maximum local en ce point.
La fonctionha donc ´egalement un maximum local en (1,1). Mais commehest concave, on peut donc affirmer
queha mˆeme un maximum global en (1,1) surD. Commefethont les mˆemes extrema, la fonctionfa donc
aussi un maximum global en (1,1) surD. Commefn"a pas d"autres points critiques surD(qui est ouvert), elle n"a pas d"autres extrema locaux surD. (d) On a, p ourtout ( x,y)? D,f(x,y)≥0. De plus, commefa un maximum global en (1,1) surD, on a pour fonctionfest donc born´ee surD.Exercice 14.8
Soient les fonctionsfetgd´efinies par
f(x,y) =xy g(x,y) =1x +1y 1. D ´eterminerles extrema de fsurR2puis sous la contrainteg(x,y) =23 2. D ´eterminerles extrema d egsurDgpuis sous la contraintef(x,y) = 9.Corrig´e
1.Optimisation de fsurR2(qui est ouvert).
Commen¸cons par d´eterminer les points critiques. On r´esout le syst`eme : ∂f∂x (x,y) = 0 ∂f∂y (x,y) = 0??y= 0 x= 0 fposs`ede donc un seul point critique qui est (0,0). D´eterminons sa nature. Pour tout (x,y)?R2,2f∂x
2(x,y) =∂2f∂y
2(x,y) = 0 et∂2f∂x∂y
(x,y) = 1 5 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019D"o`u en (0,0), on art-s2= 0×0-12=-1<0. La fonctionfa donc un point-col en (0,0), etfn"a pas d"extrema
locaux surR2.Optimisation defsous contrainte explicite.
La contrainte
1x +1y =23 imposex?= 0,y?= 0 ainsi quex?=32 ,y?=32 (car la contrainte ne peut pas ˆetre v´erifi´ee si xouyprend la valeur32 ) et se r´e´ecrit1y =23 -1x . Il s"ensuity=12 3 -1x =3x2x-3.On pose doncF(x) =f?
x,3x2x-3? =3x22x-3. Pour toutx /?? 0,32 , on a F ?(x) =6x(2x-3)-2×3x2(2x-3)2=6x2-18x(2x-3)2=6x(x-3)(2x-3)2La fonctionF?s"annule enx= 0 oux= 3, mais le casx= 0 est exclu ; la fonctionFposs`ede donc un seul point
critique qui estx= 3. D´eterminons sa nature. Pour toutx /?? 0,32 , on a F ??(x) = 6(2x-3)(2x-3)2-(x2-3x)×2×2×(2x-3)(2x-3)4=54(2x-3)3On a doncF??(3) =543
3=5427
>0. La fonctionFposs`ede donc un minimum local en 3. La valeur correspondantedeyesty=3×32×3-3= 3. La fonctionfposs`ede donc un minimum local sous la contrainte en (3,3), de valeur
f(3,3) = 9. 2.Optimisation de gsurDg.
On aDg={(x,y)?R2,x?= 0,y?= 0}et cet ensemble est ouvert. Cherchons les points critiques deg. Pour tout
(x,y)? Dg,?∂g∂x (x,y) = 0 ∂g∂y (x,y) = 0?? -1x 2= 0 -1y 2= 0et ce syst`eme n"a pas de solutions. La fonctiongn"a donc pas de points critiques, et pas d"extrema locaux surDg.
Optimisation degsous contrainte explicite.
Pour tout (x,y)? Dg, la contraintexy= 9 se r´e´ecrity=9x (carx?= 0). On pose, pour toutx?= 0,G(x) =g?
x,9x =1x +x9 . Cherchons ses points critiques. Pour toutx?= 0,G?(x) =-1x 2+19 et cette fonction s"annule enx=-3 etx= 3.De plus, pour toutx?= 0,G??(x) =2x
3, d"o`uG??(-3)<0,G??(3)>0. La fonctionGposs`ede donc un maximum
local en-3 et un minimum local en 3. Par cons´equent, sous la contrainte, la fonctiongadmet un maximum local
en (-3,-3), de valeur-23 , et un minimum local en (3,3), de valeur23Exercice 14.9
Soit la fonctionhd´efinie parh(x,y) =-x2-4y2.
D´eterminer les extrema dehsurR2et sous la contraintex+ 2y2-2 = 0.Corrig´e
•OptimisonshsurR2. On calcule, pour tout (x,y)?R2,∂h∂x (x,y) =-2x,∂h∂y (x,y) =-8y. Le seul point critique de maximum global en (0,0), de valeur 0. 6 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 •La contrainte se r´e´ecritx= 2-2y2. On pose alors h(y) =h(2-2y2,y) =-(2-2y2)2-4y2=-4 + 8y2-y4-4y2=-4 + 4y2-y4=-(y2-2)2Pour touty?R, on a?h?(y) =-2(y2-2)×2y. Ainsi?h?(y) = 0?y? {-⎷2,0,⎷2}. On remarque d´ej`a que
?h(-⎷2) = ⎷2, de valeur 0. Reste `a ´etudier la nature du point critique 0. On a ?h??(y) =-12y2+ 4 donc?h??(0) = 4>0. La fonction?hposs`ede donc un minimum global en 0, de valeur?h(0) =-4. Comme limy→+∞?h(y) =-∞, ce minimum
n"est pas global.En conclusion, sous la contrainte,hposs`ede un maximum global en (-2,-⎷2) et (-2,⎷2), de valeur 0, et un
minimum local en (2,0), de valeur-4.Exercice 14.10
D´eterminer les extrema (locaux ou globaux) de la fonction suivante sous la contrainte indiqu´ee.
f(x,y) =x2+y2sousx24 -y216 -1 = 0Corrig´e
La contrainte se r´e´ecrity2= 4x2-16. Celle-ci n"est pas enti`erement explicite, mais comme la d´efinition defne
fait intervenir quey2(et pasy), cette reformulation suffit. Elle impose en particulier 4x2-16≥0, doncx≥2 ou
x?]- ∞,-2[?]2,+∞[,F?(x) = 10xqui ne s"annule pas sur ]- ∞,-2[?]2,+∞[. La fonctionFne poss`ede donc pas de
point critique sur l"int´erieur de son domaine de d´efinition, et les seuls candidats pour donner des extrema locaux sont
par cons´equent les bords, doncx=-2 etx= 2. De plus, on aF(-2) =F(2) = 4, etFest d´ecroissante sur ]- ∞,-2]
et croissante sur [2,+∞[ (cette information ´etant donn´e par le signe deF?). La fonctionFposs`ede par cons´equent un
minimum global en-2 et en 2. En conclusion, sous la contrainte, la fonctionfposs`ede un minimum global en (-2,0) et
(2,0), de valeur 4.Exercices d"annales
Exercice 1
Soient les fonctionsf,g,hd´efinies de la mani`ere suivante : f(x) =?2-3x5-2x, g(x) =⎷2x-5 eth(x) = ln(4x-3)2 1.D ´eterminerleur domaine de d ´efinition.
2. D ´eterminerle domaine d ed ´efinitiondes fonctions marginales de f,g,het les calculer. 3.Donner un p ointx0appartenant aux trois domaines de d´efinition des fonctions marginales def,geth.
4. Calculer l" ´elasticit´edes fonctions f,g,hetfg/henx0. 5.On consid `ereque la fonction hrepr´esente le chiffre d"affaires d"une entreprise en fonction du temps de travailx≥1.
(a) Mon trerque le c hiffred"affaires est stricte mentcroissan tpar r apportau temps de tra vail. (b) Donner un d ´eveloppementli mit´e` al"ordre 2 de hau point 1. (c) En d ´eduirela p ositionde la tangen teau p ointd"abscisse x= 1.Corrig´e
1.La fonction
⎷·´etant d´efinie surR+, dressons un tableau de signe pour d´eterminer le domaine de d´efinition def.
7 Universit´e Paris-Dauphine L1 DEGEAD - Math´ematiques - Groupe 4 2018 - 2019 x]- ∞,2/3][2/3,5/2[]5/2,+∞[2-3x+--5-2x++-
2-3x5-2x+-+
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