[PDF] TD 2 - Corrigé - Mathématiques 1 - Warning: TT: undefined - Studocu

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Enoncés : Stephan de Bièvre

Corrections : Johannes HuebschmannExo7

Extremums locaux, gradient, fonctions implicites

Exercice 1

Pour chacune des fonctions suivantes étudier la nature du point critique donné :

1.f(x;y) =x2xy+y2au point critique(0;0);

2.f(x;y) =x2+2xy+y2+6 au point critique(0;0);

3.f(x;y) =x3+2xy2y4+x2+3xy+y2+10 au point critique(0;0).

Trouver les points critiques de la fonctionfsuivante et déterminer si ce sont des minima locaux, des maxima

locaux ou des points selle. f(x;y) =sinx+y22y+1 1.

Soit fune fonction réelle d"une variable réelle de classe C2dans un voisinage de 02Rtelle quef(0)=0

etf0(0)6=0. Montrer que la fonction réelleFdes deux variablesxetydéfinie dans un voisinage de(0;0)

parF(x;y) =f(x)f(y)n"a pas d"extremum relatif en(0;0). Est-ce que le point(0;0)est quand même critique? Si oui caractériser sa nature. 2. Déterminer les points critiques, puis les minima et les maxima locaux de f(x;y) =sin(2px)sin(2py):

Remarque: en utilisant la périodicité de la fonction, on peut limiter le nombre de cas à étudier.

Déterminer l"équation du plan tangent à la surface de niveau sin(pxy)+sin(pyz) =1; au point de coordonnées(1;16 ;1). Identifier, en ce point, un vecteur perpendiculaire à la surface. Votre résultat est-il compatible avec la figure ci-dessous ? Expliquer. 1 0.4

0.8x1.2

1.6 2

1.61.20.8y0.4

0.6 0.8 1z 1.2 SoitCla courbe plane d"équationf(x;y) =yex+eysin(2x) =0. 1. Appliquer le théorème des fonctions implicites à la courbe Cau point(0;0). 2. Déterminer la limite de y=xquand(x;y)tend le long la courbeCvers(0;0). 1.

Déterminer les points stationnaires de la fonction fde deux variables définie parf(x;y) =x(x+1)2y2

et préciser la nature de chacun d"eux. 2.

T racerla courbe constituée des points tels que f(x;y) =0 etx>0. (Indication: Étudier la fonction

x7!px(x+1)pourx>0). 3. Montrer que le point (1;0)est un point isolé de la partie

C=f(x;y);f(x;y) =0g

du plan, c"est-à-dire, le point(1;0)appartient à cette partie et il existe un nombre réele>0 tel que

D e\C=f(1;0)goùDeest le disque ouvert centré en(1;0)et de rayone. 4. Énoncer le théorème des fonctions implicites. 5. Montrer que, quel que soit le point (x0;y0)deCdistinct de(1;0), au moins une des deux alternatives (i) ou (ii) ci-dessous est vérifiée: (i)

Il e xisteune fonction hde classeC1de la variablexdéfinie dans un intervalle ouvert approprié telle

queh(x0) =y0et telle que, pour qu"au voisinage de(x0;y0)les coordonnéesxetydu point(x;y) satisfassent à l"équationf(x;y) =0 il faut et il suffit quey=h(x). (ii)

Il e xisteune fonction kde classeC1de la variableydéfinie dans un intervalle ouvert approprié telle

queh(y0) =x0et telle que, pour qu"au voisinage de(x0;y0)les coordonnéesxetydu point(x;y) satisfassent à l"équationf(x;y) =0 il faut et il suffit quex=k(y).

Indication pourl"exer cice1 NRappel: Pour qu"un point critique non dégénéré présente un maximum relatif (resp. minimum relatif) il faut et

il suffit que la forme hessienne en ce point soit négative (resp. positive) ; pour qu"un point critique non dégénéré

présente un point selle il faut et il suffit que la forme hessienne en ce point soit (non dégénérée et) indéfinie.Indication pourl"exer cice2 NVoir l"exercice précédent.

Indication pour

l"exer cice

3 NVoir les exercices précédents.

Indication pour

l"exer cice

4 NLe plan tangent à la surface d"équationf(x;y;z) =0 au point(x0;y0;z0)est donné par l"équation

de classe C

1de la variable x définie dans un intervalle ouvert approprié telle que h(x0) =y0et telle que, pour

qu"au voisinage de(x0;y0)les coordonnées x et y du point(x;y)satisfassent à l"équation f(x;y) =0il faut et

il suffit que y=h(x)et, s"il en est ainsi, h

Dès que l"intervalle de définition de la fonction h est fixé la fonction h est unique.Indication pourl"exer cice6 NVoir l"exercice précédent.

3 Correction del"exer cice1 N1.d f= (2xy)dx+(2yx)dyet Hessf=21 1 2 d"où (u;v)Hessf(0;0)u v = (u;v)21 1 2 u v =u(2uv)+v(2vu) =2(u2uv+v2) =2uv2 2+34 v2

Par conséquent la forme hessienne au point(0;0)est positive et ce point présente donc un minimum

local.

2.f(x;y) =x2+2xy+y2+6= (x+y)2+6 d"où le point(0;0)présente un minimum local.

3.d f= (3x2+2x+2y2+3y)dx+(4xy4y3+3x+2y)dyet

Hess f=6x+2 4y+3

4y+312y2+4x+2

d"où (u;v)Hessf(0;0)u v = (u;v)2 3 3 2 u v = (2u+3v)u+(3u+2v)v=2(u2+3uv+v2) =2u+3v2 254
v2

Par conséquent la forme hessienne au point(0;0)est non dégénérée et indéfinie et ce point présente un

point selle.Correction del"exer cice2 NPuisqued f=cosxdx+(2y2)dy, les points critiques sont les points((k+1=2)p;1)(k2Z). En plus, Hessf=sinx0

0 2 et sin((k+1=2)p) = (1)k+1 d"où Hess f((k+1=2)p;1) =(1)k+10 0 2 . Par conséquent, sikest impaire, le point((k+1=2)p;1)présente

un minimum local et, sikest paire, le point((k+1=2)p;1)présente un point selle.Correction del"exer cice3 N1.dF=f(y)f0(x)dx+f(x)f0(y)dyet

Hess f(x;y) =f(y)f00(x)f0(x)f0(y) f

0(x)f0(y)f(x)f00(y)

(2) d"où Hess f(0;0) = (f0(0))20 1 1 0 et (u;v)Hessf(0;0)u v = (f0(0))2(u;v)0 1 1 0 u v =2(f0(0))2uv

Par conséquent la forme hessienne au point(0;0)est non dégénérée et indéfinie et ce point ne peut pas

présenter un extremum relatif. En effet, le point(0;0)est critique mais un point selle. 4

2.D"après la partie (1.) et la périodicité, les points de la forme

(x;y) = (k;l)2R2;k;l2Z;(3) présentent des points selle. Également d"après la partie (1.), Par conséquent, pour que le point(x;y)soit critique il faut et il suffit qu"il soit de la forme (k;l);(k+12 ;l);(k;l+12 );(k+12 ;l+12 );k;l2Z; ou (k+14 ;l+14 );(k+14 ;l+34 );(k+34 ;l+14 );(k+34 ;l+34 );k;l2Z: D"après la périodicité, il suffit d"examiner les huit points (0;0);(12 ;0);(0;12 );(12 ;12 );(14 ;14 );(14 ;34 );(34 ;14 );(34 ;34 et, d"après (1.), l"origine présente un point selle. D"après ( 2 Hess f(0;12 ) =f(12 )f00(0)f0(0)f0(12 f

0(0)f0(12

)f(0)f00(12 =16p201 1 0 Hess f(12 ;0) =f(0)f00(12 )f0(12 )f0(0) f 0(12 )f0(0)f(12 )f00(0) =16p201 1 0 Hess f(12 ;12 ) =f(12 )f00(12 )f0(12 )f0(12 f 0(12 )f0(12 )f(12 )f00(12 =16p20 1 1 0 d"où les points(0;12 ),(12 ;0)et(12 ;12 )présentent des points selle. Il est géométriquement évident que le comportement de la fonction sin entraîne que les points(14 ;14 )et(34 ;34 )présentent des maxima et que les points(14 ;34 )et(34 ;14 )présentent des minima.Correction del"exer cice4 NSoitf:R3!Rla fonction définie par f(x;y;z) =sin(pxy)+sin(pyz)1:

Ses dérivées partielles sont

et, après simplification, au point(1;16 ;1), l"équation (1) du plan tangent à la surface de niveau en discussion devient (x1)+12(y1=6)+(z1) =0:

Ainsi, en ce point, le vecteur(1;12;1)est perpendiculaire à la surface.Correction del"exer cice5 N5

1.Puisque

conséquent, il existe une fonctionhde la variablexdéfinie au voisinage de 0 telle queh(0) =0 et

telle que, pour qu"au voisinage de(0;0)les coordonnéesxetydu point(x;y)satisfassent à l"équation

ye x+eysin(2x) =0 il faut et il suffit quey=h(x); de même il existe une fonctionkde la variabley

définie au voisinage de 0 telle queh(0) =0 et telle que, pour qu"au voisinage de(0;0)les coordonnéesx

etydu point(x;y)satisfassent à l"équationyex+eysin(2x) =0 il faut et il suffit quex=k(y). En plus,

h 2.

Puisque le point (0;0)appartient à la courbeC, en 0, les fonctionshetkprennent les valeursh(0) =0 et

k(0) =0. Par conséquent, lim (x;y)!(0;0);(x;y)6=0 ye x+eysin(2x)=0y=x=h0(0) =2:Correction del"exer cice6 N1.Puisque les points stationnaires defsont les points(1;0)et(1=3;0). En plus, Hess f(x;y) =6x+4 0 02 d"où Hess f(1;0) =2 0 02 et Hess f(1=3;0) =2 0 02 . Par conséquent la forme hessienne au

point(1;0)est définie négative et ce point présente un maximum local; de même, la forme hessienne

au point(1=3;0)est non dégénérée et indéfinie et ce point présente un point selle. 2. La courbe y=px(x+1)pourx>0 passe par les points(0;0),(13 ;43 p3),(1;2), et(2;3p2); elle a une tangente verticale à l"origine, le point(13 ;43 p3)est un point d"inflexion, la pente en ce point vautp3, et c"est la pente minimale de la courbe. Ces faits se déduisent des expressionsy0=32 px+12 (px)1et y 00=34 x12 14 x32 . La courbe constituée des points tels quef(x;y) =0 etx>0 s"obtient par réflexion de la courbey=px(x+1)pourx>0 par rapport à l"axe desx. 3.

Dans la boule ouv erte

f(x;y;z);(x+1)2+y2+x2<1g R3; le graphez=f(x;y)de la fonctionfne rencontre le plan desxetyqu"au point(1;0). Par conséquent,quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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