[PDF] Continuité On a équivalence entre : (i)

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ÉCOLE POLYTECHNIQUE - Continuite

ContinuiteFrank Pacard 1 / 15

Continuite

Soient (X;d) et (Y;d0) deux espaces metriques etf:X!Y.Denition festcontinue enx02Xsi

8" >0;9 >0 (d(x0;x)< =)d0(f(x0);f(x))< "):festcontinue (sur X)si fest continue en tout point deX.ContinuiteFrank Pacard 2 / 15

Caracterisation des applications continues

Soient (X;d) et (Y;d0) deux espaces metriques etf:X!Y.Proposition

On a equivalence entre :

(i)fest continue surX. (ii)L'image reciproque parfd'un ouvert de(Y;d0)est un ouvert de(X;d). (iii)L'image reciproque parfd'un ferme de(Y;d0)est un ferme de(X;d).ContinuiteFrank Pacard 3 / 15

Caracterisation des applications continues

Dem :Supposons quefest continue surXet donnons nous un ouvertUdeY. Soitx2f1(U). Par denition,y=f(x)2Uqui est ouvert. Il existe donc" >0 tel que B

Y(y;")U.

La continuite defenxnous assure qu'il existe >0 tel que f(BX(x;))BY(y;")U; ce qui montre que B

X(x;)f1(U):

Par consequent,f1(U) est un ouvert deX.ContinuiteFrank Pacard 4 / 15

Caracterisation des applications continues

Inversement, supposons que l'image reciproque de tout ouvert deYest un ouvert deX. Pour toutx2Xet pour tout" >0, l'image reciproque deBY(f(x);") parfest un ouvert deXqui contientx, donc il existe >0 tel que B

X(x;)f1(BY(f(x);")):

Autrement dit, l'image deBX(x;) parfest incluse dansBY(f(x);"), ce qui demontre la continuite defau pointx.ContinuiteFrank Pacard 5 / 15

Caracterisation des applications continues

L'equivalence entre (ii) et (iii) est une consequence du fait que l'image reciproque du complementaire dansYd'un ensembleAest egale au complementaire dansXde l'image reciproque deA f

1(YA) =Xf1(A):

Ce qui termine la demonstration.ContinuiteFrank Pacard 6 / 15

Proprietes

La composee d'applications continues est aussi une application continue : sif:X!Y est continue au pointx2Xet sig:Y!Zest continue au pointf(x)2Y, alorsgf est continue au pointx. Sif:X!Eetg:X!Esont deux applications continues enx2X, a valeurs dans un espace vectoriel norme (E;k k) et si;:X!Ksont deux fonctions continues en x2X, alorsf+gest continue enx2X.ContinuiteFrank Pacard 7 / 15

Continuite uniforme

Denition

festuniformement continue surXsi

8" >0;9 >0;8x;x02X;d(x;x0)< =)d0(f(x);f(x0))< ":Attention :Ne pas confondre continuite et continuite uniforme. Clairement, une fonction

uniformement continue surXest continue surX, mais la reciproque n'est pas forcement vraie.

ContinuiteFrank Pacard 8 / 15

Continuite

Exemple :La fonctionx7!x2est continue surRmais n'est pas uniformement continue surR. Exemple :La fonctionx7!pxest uniformement continue sur [0;+1[ en vertu de l'inegalitepx 0px pjx0xj; pour tousx;x0>0.ContinuiteFrank Pacard 9 / 15

Applications lipschitziennes

Denition

On dit qu'une applicationf:X!Ydenie entre deux espaces metriques, estlipschitzienne de rapportk>0(ou encorek-lipschitzienne), si d

0(f(x);f(y))kd(x;y);

pour tousx;y2X.Une application lipschitzienne est uniformement continue.

ContinuiteFrank Pacard 10 / 15

Exemple

Exemple :Soit (X;d) un espace metrique etx02X. On a d(x;x0)d(y;x0)d(x;y):

En echangeant le r^ole dexet dey, on conclut que

jd(x;x0)d(y;x0)j d(x;y):

Ce qui montre que l'application

f x0:X!R; denie parfx0(x) :=d(x;x0) est 1-lipshitzienne.ContinuiteFrank Pacard 11 / 15

Applications lipschitziennes

Exemple :Dans un espace vectoriel norme (E;k k), on a kyk kxk kyxk; pour tousx;y2E. Ce qui montre quex7! kxkest 1-lipschitzienne.ContinuiteFrank Pacard 12 / 15

Caracterisation des applications continues

Proposition

Soient(X;d)et(Y;d0)deux espaces metriques etx2X. Une applicationf:X!Yest continue au pointxsi et seulement si pour toute suite(xn)n0qui converge versxdansX, on a lim n!+1f(xn) =f lim n!+1xn

ContinuiteFrank Pacard 13 / 15

Caracterisation des applications continues

Dem :Supposons quefest continue enxet soit (xn)n0une suite qui converge versx.

Pour tout" >0, il existe >0 tel que

d(x;y)< )d0(f(x);f(y))< ":

Il existen02Ntel que,d(xn;x)< pour toutnn0.

Finalement,d0(f(xn);f(x))< ", pour toutnn0.ContinuiteFrank Pacard 14 / 15

Caracterisation des applications continues

Supposons quefn'est pas continue enx.

Il existe" >0 tel que, pour tout >0, il existey2Xtel que d(y;x)< etd0(f(y);f(x))": En prenant= 1=n, on construit ainsi une suite (xn)n1telle que d(xn;x)<1=netd0(f(xn);f(x))":

La suite (xn)n1converge versxet la suite (f(xn))n1ne converge pas versf(x).ContinuiteFrank Pacard 15 / 15

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