[PDF] CHAPITRE 2 TOPOLOGIE

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TOPOLOGIE

2.1. Espace métrique

Définition 2.1. - SoitXun ensemble. On appellemétrique surXtoute applica- tiond:XX!R+qui satisfait aux conditions suivantes : (1) (symétrie)8(x;y)2XX,d(x;y) =d(y;x), (2) (inégalité triangulaire)8(x;y;z)2XXX,d(x;z)6d(x;y) +d(y;z), (3) (séparation)8(x;y)2XX,d(x;y) = 0si et seulement six=y. Le couple(X;d)s"appelle unespace métrique. SiAest un sous-ensemble deX, alors la restriction dedàAAdéfinit une métrique surA, appelémétrique induitesur A. L"ensembleAmuni de la métrique induite est appelé unsous-espace métrique de(X;d). On dit qu"un sous-ensembleAdeXestbornés"il existeC >0tel que d(x;y)6Cpour tout(x;y)2A2. Exemple 2.2. - SoitEun espace vectoriel surkmuni d"une normek.k. SiXest un sous-ensemble non-vide deE, alors la fonctiond:XX!R+,d(x;y) :=kxyk est une métrique surX. Définition 2.3. - Soient(X;d)un espace métrique,x2Xet" >0. On appelle boule ouverte centrée enxet de rayon"l"ensembleB(x;") :=fy2Xjd(x;y)< "g. Sixest un point deX, on appellevoisinagedextout sous-ensemble deXcontenant une boule ouverte centrée enx. On dit qu"un sous-ensembleUdeXestouvertsi, pour toutx2U,Uest un voisinage dex.

Proposition 2.4. -Soit(X;d)un espace métrique.

(1)?etXsont des sous-ensembles ouverts deX. (2) SiUetVsont deux sous-ensembles ouverts deX,U\Vl"est aussi. (3) Si(Ui)i2Iest une famille de sous-ensembles ouverts deX, alorsS i2IUiest un sous-ensemble ouvert deX.

10SÉANCE 2. TOPOLOGIE

(4) Toute boule ouverte est un sous-ensemble ouvert deX. (5) Tout sous-ensemble ouvert deXest une réunion de boules ouvertes.

Démonstration. - (1) est trivial.

(2) Soitxun élément deU\V. CommeUetVsont ouverts, il existe"1>0 et"2>0tels queB(x;"1)UetB(x;"2)V. Soit"= min("1;"2). On a alors

B(x;")U\V.

(3) Soitxun élément deU:=S i2IUi. On suppose quex2Ui, oùi2I. Il existe alors" >0tel queB(x;")UiU. (4) Soientx2Xet" >0. Siyest un élément deB(x;"), on ad(x;y)< ". Donc il existe2Rtel que0< < "et qued(x;y)< ". Montrons queB(y;)est contenu dansB(x;"). En effet, pour toutz2B(y;)on ad(y;z)< , d"où d(x;z)6d(x;y) +d(y;z)< "+=": (5) SoitUun sous-ensemble ouvert deX. Pour toutx2U, il existe"x>0tel que

B(x;"x)U. On a alorsU=S

x2UB(x;"x).Définition 2.5. - Soit(X;d)un espace métrique. On dit qu"un sous-ensembleF deXestfermési son complémentaire dansXest ouvert. On déduit de la proposition 2.4 les énoncés suivants.

Corollaire 2.6. -Soit(X;d)un espace métrique.

(1)?etXsont des sous-ensembles fermés deX. (2) SiFetF0sont deux sous-ensembles fermés deX, alorsF[F0l"est aussi. (3) Si(Fi)i2Iest une famille de sous-ensembles fermés deX, alorsT i2IFiest un sous-ensemble fermé deX.

Exemple 2.7. - Soit(X;d)un espace métrique. Six2Xet si" >0, alorsB(x;") :=fy2Xjd(x;y)6"gest un sous-ensemble fermé. En effet, sizest un

point en dehors deB(x;"), alors on ad(x;z)> ". Il existe alors un >0tel que d(x;z)> "+. Par conséquent, siy2B(z;), alors d(y;x)>d(x;z)d(y;z)> "+ > ": En particulier, le cerclefy2Xjd(x;y) ="gest aussi un sous-ensemble fermé deX car il est égal àB(x;")\B(x;")c. Définition 2.8. - Soient(X;d)un espace métrique etAXun sous-ensemble. On appellepoint adhérentdeAtout élémentx2Xtel que, pour tout" >0, on aitA\B(x;")6=?. On désigne parAl"ensemble des points adhérents deA, appelé l"adhérencedeAdansX. SiAest un sous-ensemble deXet sixest un élément deX, on définit d(x;A) := infy2Ad(x;y);

2.2. CONVERGENCE11

appelédistancedexàA. On voit aussitôt de la définition quexappartient àAsi et seulement sid(x;A) = 0. Proposition 2.9. -Soient(X;d)un espace métrique etAun sous-ensemble deX. AlorsAest le plus petit sous-ensemble fermé contenantA. Démonstration. - Montrons d"abord queAest un sous-ensemble fermé deX. Soit xun élément deXnA. On ad(x;A)>0. Il existe alors" >0tel qued(x;A)> ". Soitx0un élément deB(x;"=2). Pour touty2Aon a d(x0;y)>d(x;y)d(x;x0)> "=2; d"oùd(x0;A)>"=2. On en déduitB(x;"=2)XnA, ce qui montre queXnAest un sous-ensemble ouvert. Montrons ensuite que tout sous-ensemble fermé deXcontenantAcontient néces- sairementA. SoitFun sous-ensemble fermé deX,FA. Sixest un point en dehors deF, il existe" >0tel queB(x;")(XnF). Cela montre qued(x;y)> "pour tout y2AF. On en déduitd(x;A)>" >0et doncx62A.2.2. Convergence Définition 2.10. - Soit(X;d)un espace métrique. On dit qu"une suite(xn)n2Nde points dansXconvergeversx2Xsi (2.1)limn!+1d(xn;x) = 0:

Le pointx2Xest appelélimitede la suite(xn)n2N.

Remarque 2.11. - Soit(xn)n2Nune suite dans un espace métrique(X;d), qui converge vers un pointx2X. Pour tout voisinageVdex, il existe" >0tel que B(x;")V. Par la relation (2.1), on obtient qu"il existeN2Ntel quexn2Vpour toutn2N,n>N. Proposition 2.12. -Soient(X;d)un espace métrique et(xn)n2Nune suite dans X. Si cette suite admet une limite, alors sa limite est unique. Démonstration. - Soientxetydeux éléments deXqui sont des limites de la suite (xn)n2N. Pour toutn2Non a (d"après l"inégalité triangulaire)

06d(x;y)6d(x;xn) +d(xn;y):

En prenant la limite quandn!+1, on obtientd(x;y) = 0et doncx=y.Proposition 2.13. -Soient(X;d)un espace métrique,Aun sous-ensemble deX

etxun point deX. Alorsxappartient àAsi et seulement s"il peut s"écrire comme la limite d"une suite dansA.

12SÉANCE 2. TOPOLOGIE

Démonstration. - On suppose quexest la limite d"une suite(xn)n2NdansA. Comme d(xn;x)converge vers0quandntend vers l"infini, on obtient qued(x;A) = 0et donc x2A. Réciproquement, six2A, pour toutn2N, il existe un pointxn2Atel que d(xn;x)<1=(n+ 1). On a alorslimn!+1d(xn;x) = 0.2.3. Continuité Définition 2.14. - SoientXetYdeux espaces métriques,f:X!Yune appli- cation. On dit quefestcontinueenx2Xsi, pour toute suite(xn)n2NdansXqui converge versx, la suite(f(xn))n2NdansYconverge versf(x). Si l"applicationfest continue en tout pointx2X, on dit quefestcontinue. Exemple 2.15. - Soient(X;d)un espace métrique etyun élément deX. Alors l"applicationd(y;.) :X!Rest continue. En effet, si(xn)n2Nest une suite dansX qui converge versx2X. On ad(x;xn)6d(y;x)d(y;xn)6d(x;xn). En prenant la limite quandn!0, on obtient lim n!+1jd(y;xn)d(y;x)j= 0 Proposition 2.16. -SoientXetYdeux espaces métriques,f:X!Yune appli- cation etxun point deX. L"applicationfest continue enxsi et seulement si l"image réciproque parfde tout voisinage def(x)est un voisinage dex. Démonstration. - "Nécessité" : On suppose queVest un voisinage def(x)tel que f

1(V)n"est pas un voisinage dex. Pour toutn2N, il existe alors un élément

x n2B(x;1=(n+ 1))nf1(V): La suite(xn)n2Nconverge versxet donc la suite(f(xn))n2Nconverge versf(x). Cependant, aucun des pointsf(xn)n"est dans l"ensembleV. Cela est absurde carV est un voisinage def(x). "Suffisance" : On suppose que l"image réciproque de tout voisinage def(x)est un voisinage dex. Soit(xn)n>0une suite dansMqui converge versx. Pour tout" >0, la boule ouverteB(f(x);")est un voisinage def(x). Par conséquent,f1(B(f(x);")) est un voisinage dex, et donc contient une boule ouverteB(x;)centrée enx, où >0. Comme la suite(xn)n2Nconverge versx, il existe un entierN2Ntel que x n2B(x;)pour toutn2N,n>N. On en déduit quef(xn)2B(f(x);")pour toutn>N.Corollaire 2.17. -SoientXetYdeux espaces métrique, etf:X!Yune appli- cation. Les énoncés suivants sont équivalents : (a)fest une application continue. (b) L"image réciproque de tout ouvert deYest un sous-ensemble ouvert deX.

2.4. ESPACE SÉQUENTIELLEMENT COMPACT13

(c) L"image réciproque de tout fermé deYest un sous-ensemble fermé deX. Démonstration. - Pour tout sous-ensembleAdeY, on af1(YnA) =Xnf1(A). Donc les énoncés (b) et (c) sont équivalents. On suppose quefest une application continue. SoitVun sous-ensemble ouvert deY. Pour toutx2f1(V), on af(x)2V. CommeVest un sous-ensemble ouvert deY, il est un voisinage def(x). On en déduit quef1(V)est un voisinage dex. Commexest arbitraire, on obtient quef1(V)est un sous-ensemble ouvert deX. Réciproquement, on suppose que l"image réciproque de tout sous-ensemble ouvert deYparfest un sous-ensemble ouvert deX. Pour toutx2Xet tout voisinageVde f(x), il existe" >0tel queB(f(x);")V. CommeB(f(x);")est un sous-ensemble ouvert deY,f1(B(f(x);"))est un sous-ensemble ouvert deXcontenantx. On en

déduit quef1(V)est un voisinage ouvert dex. Doncfest continue enx.Proposition 2.18. -SoientEetFdeux espaces vectoriels normé surk=RouC,

etf:E!Fune application linéaire. L"applicationfest continue si et seulement si kfk:= sup x2Enf0gkf(x)kkxk<+1 Démonstration. - "(=" : Si(xn)n>0est une suite dansVqui converge vers un point x, alors on alimn!+1kxnxk= 0, d"oùlimn!+1kf(xn)f(x)k= 0car kf(xn)f(x)k=kf(xnx)k6kfk kxnxk: "=)" : Commefest une application continue, l"image réciproque deB(0;1)F est un voisinage de0. Donc il existe" >0tel queB(0;")f1(B(0;1)). On pose

C= 2"1. Soientxun vecteur non-nul dansVet

y="2kxkx:

On akyk="2

< ". Donckf(y)k<1. Or kf(y)k="2kxkkf(x)k: On obtient alorskf(x)k<2"1kxk=Ckxk.2.4. Espace séquentiellement compact Définition 2.19. - SoitXun espace métrique. On dit queXestséquentiellement compactsi toute suite dansXadmet une sous-suite convergente. Dans ce cours, on admet que tout sous-ensemble deRest séquentiellement compact si et seulement s"il estfermé et borné(théorème de Bolzano-Weierstrass). Proposition 2.20. -Soitf:X!Yune application continue entre deux espaces métrique. SiAest un sous-espace métrique séquentiellement compact deX, alors f(A)est un sous-espace métrique séquentiellement compact deX.

14SÉANCE 2. TOPOLOGIE

Démonstration. - Soit(yn)n2Nune suite dansY. Pour toutn2N, soitxnun élé- ment deXtel quef(xn) =yn. CommeXest séquentiellement compact, on obtient qu"il existe une sous-suite(xnl)l2Nde(xn)n2Nqui converge vers un pointx2A. Commefest continue, on obtient que la suite(ynl)l2Nconverge versf(x). Par consé-

quent,f(A)est séquentiellement compact.Proposition 2.21. -SoientXun espace métrique etAun sous-ensemble séquen-

tiellement compact deX. AlorsAest fermé et borné. Démonstration. - Il suffit de montrer queA=A, i.e., tout point adhérent deAap- partient àA. Soit(xn)n2Nune suite dansAqui converge vers un pointx2X. Comme Aest séquentiellement compact, il existe une sous-suite de(xn)n2Nqui converge dans A. Cela montre quex2A. Sixest un point deA, alorsfd(x;y)jy2Agest séquen- tiellement compact dansRcard(x;.)est une fonction continue. On en déduit queA est bornée.Proposition 2.22. -SoitXun espace métrique séquentiellement compact. SiA est un sous-ensemble fermé deX, alors il est aussi séquentiellement compact. Démonstration. - Soit(xn)n2Nune suite dansA. CommeXest séquentiellement compact, il existe une sous-suite de(xn)n2Nqui converge vers un pointx2X.

CommeAest fermé, on obtientx2A. DoncAest séquentiellement compact.Proposition 2.23. -SoitXun espace métrique séquentiellement compact. Toute

fonction continuef:X!Rest bornée, et atteint ses valeurs maximale et minimale. Démonstration. - D"après la proposition 2.20, l"image defest un sous-ensemble séquentiellement compact deR, donc est un sous-ensemble fermé et borné. Par consé- quent,f(X)est borné, etsupx2Xf(x)etinfx2Xf(x)appartiennent àf(X).2.5. Continuité uniforme Soitf:X!Yune application entre des espaces métriques. On dit quefest uniformément continuesi lim !0sup (x;x0)2X2 d(x;x0)0et deux suites(xn)n2N et(x0n)n2NdansXtels quelimn!+1d(xn;x0n) = 0et que (2.2)infn2Nd(f(xn);f(x0n))>":

2.6. COMPLÉTUDE15

CommeXest séquentiellement compact, quitte à prendre des sous-suites, on peut supposer que(xn)n2Net(x0n)n2Nconvergent vers la même limitex. Commefest continue, les suites(f(xn))n2Net(f(x0n))n2Nconvergent versf(x), ce qui contredit (2.2).2.6. Complétude Soit(X;d)un espace métrique. On dit qu"une suite(xn)n>0dansXest unesuite de Cauchysi lim

N!+1sup

n;m>Nd(xn;xm) = 0: On dit que l"espace métrique(X;d)estcompletsi toute suite de Cauchy dansXest convergente. Proposition 2.25. -Toute suite convergente dans un espace métrique(X;d)est une suite de Cauchy. Démonstration. - Soit(xn)n2Nune suite dansXqui converge versx2X. Pour toutN2Net tout(m;n)2N2,m>N,n>N, on a d(xn;xm)6d(xn;x) +d(xm;x)62 sup l>Nd(xl;x): Cela implique quesupn;m>Nd(xn;xm)62supl>Nd(xl;x). En prenant la limite quandN!+1, on obtientlimN!+1sup n;m>Nd(xn;xm) = 0Proposition 2.26. -Soit(xn)n2Nune suite de Cauchy dans un espace métrique. Si une sous-suite de(xn)n2Nconverge vers un pointx, alors la suite(xn)n2Nconverge vers le même point. Démonstration. - Soit(xnl)l2Nune sous-suite de(xn)n2Nqui converge versx, où (nl)l2Nest une suite strictement croissante d"indices. D"après l"exemple 2.15, pour tout entierN2Non a d(xN;x) = liml!+1d(xN;xnl)6sup n;m>Nd(xn;xm):

En prenant la limite quandN!+1, on obtient que(xn)n2Nconverge versx.Corollaire 2.27. -Tout espace métrique séquentiellement compact est complet.

Démonstration. - Soit(X;d)un espace métrique séquentiellement compact. Soit (xn)n2Nune suite de Cauchy dansX. CommeXest séquentiellement compact, il existe une sous-suite de(xn)n2Nqui converge dansX. Par la proposition 2.26, on

obtient que la suite(xn)n2Nconverge.Proposition 2.28. -SoientEun espace vectoriel de rang fini surRet(ej)rj=1une

base deE. Soitk.kla norme surEtelle queka1e1++arerk= max(ja1j;:::;jarj).

16SÉANCE 2. TOPOLOGIE

(a) L"espace normé(E;k.k)est complet. (b) Tout sous-espace borné et fermé de(E;k.k)est séquentiellement compact. Démonstration. - Soit(xn)n2Nune suite dansE, oùxn=an;1e1++an;rer. La suite(xn)n2Nconverge vers un pointx=a1e1++arersi et seulement si(an;j)n2N converge versajpour toutj2 f1;:::;rg. (a) Soit(xn)n2Nune suite de Cauchy, oùxn=an;1e1++an;rer. Pour tout (m;n)2N2, on a kxnxmk= maxj2f1;:::;rgjan;jam;jj: En particulier, pour toutj2 f1;:::;rg, la suite(an;j)n2Nest une suite de Cauchy dansR. CommeRest complet, cette suite converge dansR. On e déduit que la suite (xn)n2Nconverge. (b) SoitAun sous-ensemble fermé et borné deE. Soit(xn)n2Nune suite de Cauchy, oùxn=an;1e1++an;rer. Pour toutj2 f1;:::;rg, la suite(an;j)n2Nest bornée. On obtient qu"il existe une sous-suite convergente de(xn)n2Ndont la limite appartient

àApuisqueAest fermé. Le sous-espaceAest donc séquentiellement compact.Théorème 2.29. -SoitEun espace vectoriel de rang fini surR. Soientk.ket

k .k0deux normes sur l"espace vectorielRd. Il existe une constanteC >0telle que C

1k.k6k.k06Ck.k. Comme des conséquences, les énoncés suivants sont vrais.

(a) Tout sous-ensembleUdeEest ouvert par rapport àk.ksi et seulement s"il ouvert par rapport àk.k0. (b) Tout espace vectoriel normé de rang fini surRest complet. (c) Tout sous-ensemble fermé et borné d"un espace vectoriel normé de rang fini sur

Rest séquentiellement compact.

Démonstration. - Soit(ej)rj=1une base deE. Sans perte de généralité, on peut supposer queka1e1++arerk0= maxj2f1;:::;rgjajj. Pour tout(1;:::;d)2Rd, on a k1e1++rerk6rX j=1jjj kejk6k1e1++rerk0rX j=1kejk: Cela montre en outre que l"application linéaireId : (Rd;k.k0)!(Rd;k.k)est continue. Comme le cercle unité de(E;k.k0)est fermé et borné, il est séquentiellement compact (d"après la proposition 2.28). Il est donc un sous-ensemble séquentiellement compact dans(E;k.k)(car elle est l"image d"un sous-ensemble séquentiellement compact par une application continue). Donc elle est une partie fermée et bornée dans(E;k.k)qui ne continent pas0. On en déduit donc inf y2Rd;kyk0=1kyk>0:quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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