[PDF] MAT311 Cours 2 : Continuité et compacité 1

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MAT311, Cours 2 : Continuit

´e et compacit´e1

x1. Applications continues

1.1. Notion de continuit

´e d"une application

1.1.1 D

´efinition m´etrique et caract´erisation topologique de la continuit ´e Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques et soitf:X!Yune application. D ´efinition 1.1.On dit quefest continue enx02Xsi

8e>0;9d>0d(x0;x) On dit quefestcontinue (surX)sifest continue en tout point de X.

Proposition 1.1.On a´equivalence entre :

(i)L"applicationfest continue surX. (ii)L"image r´eciproque parfd"un ouvert de(Y;d0)est un ouvert de(X;d). (iii)L"image r´eciproque parfd"un ferm´e de(Y;d0)est un ferm´e de(X;d).

1.1.2 Caract

´erisation topologique de la continuit´e (preuve) Preuve.Supposons quefest continue surXet donnons-nous un ouvertUdeY. Soitx2f1(U). Par d´efinition,y=f(x)2Uqui est ouvert. Il existe donce>0tel queBY(y;e)U. La continuit´e defenxnous assure qu"il existed>0tel que f(BX(x;d))BY(y;e)U; ce qui montre que B

X(x;d)f1(U):

Par cons

´equent,f1(U)est un ouvert deX.

Inversement, supposons que l"image r

´eciproque de tout ouvert

deYest un ouvert deX. Pour toutx2Xet pour toute>0, l"image r ´eciproque deBY(f(x);e)parfest un ouvert deXqui contientx, donc il existed>0tel que B

X(x;d)f1(BY(f(x);e)):

Autrement dit, l"image deBX(x;d)parfest incluse dans B Y(f(x);e), ce qui d´emontre la continuit´e defau pointx.

1.1.3 Caract

´erisation topologique de la continuit´e (preuve, suite) L" ´equivalence entre (ii) et (iii) est une cons´equence du fait que l"image r ´eciproque du compl´ementaire d"une partieAdansYest egale au compl´ementaire dansXde l"image r´eciproque deA, i.e. f

1(YA) =Xf1(A):

Ce qui termine la d

´emonstration.1.1.4 Stabilit

´es de la continuit´e

La compos´ee d"applications continues est aussi une applica- tion continue: sif:X!Yest continue au pointx2Xet sig:Y!Zest continue au pointf(x)2Y, alorsgfest continue au pointx.

Sif:X!Eetg:X!Esont deux applications continues

enx2X,`a valeurs dans un espace vectoriel norm´e(E;k k) et sia;b:X!Ksont deux fonctions continues enx2X, alorsaf+bgest continue enx2X.

1.2. Renforcements de la continuit

´e

1.2.1 Continuit

´e uniforme

D ´efinition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques. Une applicationf:X!Yest dite uniform´ement continue surXsi Remarque.La fonctionx7!pxest uniform´ement continue sur [0;+¥[en vertu de l"in´egalit´e px 0px

6pjx0xj;

pour tousx;x0>0, mais la fonction continuex7!x2n"est pas uni- form

´ement continue surR.

1.2.2 Applications lipschitziennes

D ´efinition 1.3.On dit qu"une applicationf:X!Yd´efinie entre deux espaces m

´etriques, estlipschitziennede rapportk>0(ou

encorek-lipschitzienne) si d

0(f(x);f(y))6kd(x;y)

pour tousx;y2X.

Une application lipschitzienne est uniform

´ement continue car la

distance entre deux points images est dans ce cas major

´ee par une

fonction lin

´eaire de la distance des points`a la source.

1.2.3 La fonction distance est1-lipschitzienne

Soit(X;d)un espace m´etrique etx02X. On a

d(x;x0)d(y;x0)6d(x;y); et en ´echangeant le rˆole dexet dey, on conclut que jd(x;x0)d(y;x0)j6d(x;y): Ceci montre que l"applicationd(;x0):X!Rest1-lipschitzienne.

Cas particulier : dans un espace vectoriel norm

´e(E;k k), on a

kykkxk6kyxk; pour tousx;y2E. Ceci montre quex7! kxkest1-lipschitzienne.

1.3. Suites et continuit

´e1

Bertrand R´emy (´Ecole polytechnique). Palaiseau, 3 mai 2017. 1

1.3.1 Caract

´erisation s´equentielle des applications continues Proposition 1.2.Soient(X;d)et(Y;d0)deux espaces m´etriques etx2X. Une applicationf:X!Yest continue au pointxsi et seulement si pour toute suite(xn)n>0qui converge versxdansX, on a lim n!+¥f(xn) =f lim n!+¥xn Preuve.Supposons quefest continue enxet soit(xn)n>0 une suite qui converge versx.

Pour toute>0, il existed>0tel que

d(x;y)n0, et donc d

0(f(xn);f(x))n0.

1.3.2 Preuve du crit

`ere s´equentiel de continuit´e (suite)

Supposons quefn"est pas continue enx.

Il existee>0tel que, pour toutd>0, il existey2Xtel que d(y;x)e: En prenantd=1=n, on construit ainsi une suite(xn)n>1telle que d(xn;x)<1=netd0(f(xn);f(x))>e: La suite(xn)n>1converge versxet la suite(f(xn))n>1ne con- verge pas versf(x).

1.4. Continuit

´e des applications lin´eaires

1.4.1 Crit

`eres de continuit´e pour les applications lin´eaires en- tre evn Proposition 1.3.Soient(E;kkE)et(F;kkF)deux espaces vec- toriels norm ´es etL:E!Fune application lin´eaire. Alors, les propositions suivantes sont

´equivalentes :

(i)l"application lin´eaireLest continue surE; (ii)l"application lin´eaireLest continue en0; (iii)il existe une constanteC>0telle que kL(x)kF6CkxkE; pour toutx2E. Remarque.Comme annonc´e, le dernier crit`ere est`a rapprocher de la d ´efinition des normes subordonn´ees donn´ee au premier cours.

1.4.2 Preuve des crit

`eres de continuit´e pour les applications lin

´eaires

Preuve.On supposeLcontinue en0(assertion la plus faible des trois). Il existed>0tel que, pour toutx2E, on ait : kxkE6d) kL(x)kF61:Par homog

´en´eit´e, six6=0on a :

kL(x)kF=kxkEd

LdkxkEx

F61d kxkE: Finalement,L´etant lin´eaire, on peut´ecrire : kL(x)L(y)kF=kL(xy)kF6CkxykE; ce qui montre queLest lipschitzienne (assertion la plus forte des trois).

1.4.3 Espaces d"applications lin

´eaires continues

On noteL(E;F)l"espace vectoriel des applications lin´eaires de EdansFetL(E;F)le sous-espace vectoriel des applications lin

´eairescontinuesdeEdansF.

SiL2L(E;F), on peut d´efinir

kLkL(E;F):=sup x2Ef0gkL(x)kFkxkE=sup kxk61kL(x)kFkxkE=sup kxk=1kL(x)kF:

En particulier

kL(x)kF6kLkL(E;F)kxkE: On v ´erifie que l"on d´efinit ainsi une norme surL(E;F). x2. Compacit´e

2.1. Notion de compacit

´e

2.1.1 Notion de compacit

´e

La compacit

´e est une notion omnipr´esente dans tous les domaines des math

´ematiques.

D ´efinition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique. Les assertions suivantes sont

´equivalentes.

(i)De tout recouvrement deXpar des ouverts, on peut extraire un sous-recouvrementfini. (ii)Toute famille de ferm´es deXd"intersection vide admet une sous-famillefinied"intersection vide. Si(X;d)poss`ede les propri´et´es ci-dessus, on dit qu"il est compact Justification.L"´equivalence entre (i) et (ii) se fait par passage aux compl

´ementaires :

une r

´eunion d"ouverts[

i2IO i=Xdevient une intersection de ferm´es\ i2IF i=?; o `uFi=XOi, et vice versa.

2.1.2 Motivation et exemples pour les espaces compacts

Motivation.Le grand int´erˆet de la compacit´e s"explique en partie parce que cette notion fournit des

´enonc´es d"existence : la formu-

lation (ii) ci-dessus est un ´enonc´e d"existence tr`es g´en´eral qui se d ´ecline dans de multiples situations. Pour ce faire, il peutˆetre utile de se ramener, dans (i) ou (ii), `a des familles de parties ouvertes ou ferm ´ees avec de bonnes propri´et´es vis-`a-vis de l"inclusion (crois- sance ou d

´ecroissance).

2

La compacit

´e assure aussi l"existence de limites pour des (sous- )suites bien choisies (crit `ere de Bolzano-Weierstrass). Exemples.On va voir que toutes les parties ferm´ees et born´ees desK-espaces vectoriels de dimension finie(K=RouC) sont des espaces compacts (pour la topologie induite par n"importe quelle norme).

En revanche, la question de la compacit

´e de parties ferm´ees et

born ´ees dansK-espaces vectoriels de dimension infinie (par exem- ple des boules ou des sph `eres dans des espaces de fonctions) est plus d

´elicate.

2.1.3 Non-exemple d"espace compact

Non-exemple :l"espace m´etrique(]0;1[;jj)n"est pas compact. Justification.Remarquer que l"on a une r´eunioncroissante(et donc qu"une r ´eunion partielle finie est un intervalle de la suite) : ]0;1[=[ n>3] 1n ;11n et que, pour toutn>3, l"intervalle]1n ;11n [est un ouvertstrictde (]0;1[;jj). Justification alternative.Remarquer que l"on a une intersec- tiond´ecroissante(et donc qu"une intersection partielle finie est un intervalle de la suite) : n>2]0;1n et que, pour toutn>2, l"intervalle]0;1n ]est un ferm´enon videde (]0;1[;jj).

2.1.4 Caract

´erisation s´equentielle des compacts

On dispose d

´ej`a de crit`eres s´equentiels pour v´erifier la fermeture d"une partie et la continuit ´e d"une application ; en voici un (c´el`ebre) pour la compacit

´e.

Th ´eor`eme 2.1(th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass).Soit(X;d)un espace m ´etrique. AlorsXest compact si, et seulement si, de toute suite d" ´el´ements deXon peut extraire une sous-suite qui converge. R ´ef´erence.On renvoie au polycopi´e de cours pour la preuve : th

´eor`eme 3.1 p. 36.

Exemple :(]0;1[;jj)n"est pas compact.

Justification (encore une).La suite(1n

)n>2n"admet aucune sous-suite convergente dans(]0;1[;jj).

2.2. Sous-espaces compacts d"un espace m

´etrique

2.2.1 Sous-espaces compacts d"un espace m

´etrique quel-

conque

On part d"un espace m

´etrique(X;d)et on se donne une partieY

deX. L"ensembleYest un espace m´etrique pour la distancedY, restriction ded`aYY(et que parfois on notera encored). La question de la compacit

´e deYpour la topologie induite pardest

naturelle. Elle se pose en termes d"ouverts deYpour la topologie induite, mais on peut se ramener aux ouverts de l"espace ambiant X:Lemme 2.1.SoitYun sous-ensemble d"un espace m´etrique(X;d). Alors(Y;dY)est un espace compact si, et seulement si, de tout re- couvrement deYpar des ouverts deXon peut extraire un sous- recouvrement fini deY. Preuve.D´ecoule du fait que les ouverts de(Y;dY)sont les traces des ouverts de(X;d).

Terminologie.SiYest un sous-ensemble d"un espace

m ´etrique(X;d), on dira queYest uncompactdeXsi(Y;dY)est un espace m

´etrique compact pour la topologie induite.

2.2.2 Les parties compactes sont ferm

´ees

Proposition 2.1.Soit(X;d)un espace m´etrique et soitYXun compact deX, autrement dit une partie telle que(Y;dY)soit un espace m

´etrique compact. AlorsYest ferm´e dansX.

Preuve.Fixonsx2XY. Pour touty2Y, choisissons (grˆace`a la distanced) deux ouverts disjointsUx;yetUy;xcontenant respec- tivementxety. On extrait du recouvrement deYpar lesUy;x, pour y2Y, un sous-recouvrement fini :

YV:=n[

i=1U yi;x: Par construction, l"intersection finieU:=Tni=1Ux;yiest un ouvert qui contientxet ne rencontre pasV.A fortioriUne rencontre pas Y. Commex´etait arbitraire dansXY, on voit donc queXYest ouvert dansX.

2.2.3 Intersections d

´ecroissantes d"espaces compacts

Proposition 2.2.Soit(X;d)un espace m´etrique. Une intersection d ´ecroissantede compacts non vides deXest non vide. Preuve.Soit(Kn)n>0une suite de compacts, qu"on suppose d ´ecroissante (i.e.Kn+1Kn) et d"intersection vide. ChaqueKn est ferm ´e dansK0et l"intersection desKnest, par hypoth`ese, vide.

Par compacit

´e, il existe donc une intersection partielle,finie, vide. Par d ´ecroissance de la suite de compacts, cela revient`a dire qu"il existeN2N(par exemple le plus grand indice intervenant dans l"intersection partielle finie) tel que N n=0K n=?: En particulierKN=?. Cela prouve la proposition par contraposi- tion.

2.3. Constructions d"espaces compacts

2.3.1 Parties ferm

´ees dans les espaces compacts

Proposition 2.3.Soit(X;d)un espace m´etrique. SiXest compact etYXest ferm´e, alorsYest compact pour la topologie induite. Preuve.On se doute que le crit`ere le plus adapt´e`a la situation est celui impliquant les ferm

´es... Soit(Fi)i2Iune famille de ferm´es

de(Y;d)d"intersection vide. L"ensembleY´etant ferm´e, lesFisont aussi des ferm ´es deX. Par compacit´e deX, on peut donc extraire de la famille(Fi)i2Iune sous-famille finie d"intersection vide. Remarque.On va bientˆot voir que le segment[0;1]est un es- pace compact pour la distance de la valeur absolue : cela peut se voir par un argument de dichotomie, combin

´e au crit`ere s´equentiel

de Bolzano-Weierstrass. 3

2.3.2 Images continues d"espaces compacts

Proposition 2.4.L"image d"un compact par une application con- tinue est un compact. Preuve.Soit(X;d)et(Y;d0)des espaces m´etriques, soit f:X!Yune application continue et soitZXun compact. On va utiliser ici le lemme pr ´ec´edent (sur la topologie induite), en se don- nant(Vi)i2Iun recouvrement def(Z)par des ouverts deY. Alors (f1(Vi))i2Iest un recouvrement deZpar des ouverts deX:

Zf1f(Z)[

i2If1(Vi):

Par compacit

´e deY, on peut en extraire un sous-recouvrement Z[ j2Jf1(Vj)avecJIfini. Finalement, on obtient bien un sous-recouvrement fini def(Z): f(Z)[ j2JV j.

2.3.3 Produit d"espaces m

´etriques compacts

Si(X;d)et(X0;d0)sont deux espaces m´etriques, on peut munir l"espace produitXX0de ladistance somme: d ou bien de ladistance produit(Lipschitz-´equivalente`a la pr

´ec´edente):

d Corollaire 2.1.Le produitXYde deux espaces m´etriques com- pacts(X;d)et(Y;d0)(muni de la distance produit ou de la distance somme) est un espace m

´etrique compact.

Preuve.Soit((xn;yn))n>0une suite d"´el´ements deXY. La compacit ´e de(X;d)permet d"extraire de la suite(xn)n>0, une sous- suite(xj(n))n>0qui converge versx. La compacit´e de(Y;d0)permet d"extraire de la suite(yj(n))n>0, une sous-suite(yj(y(n)))n>0qui converge versy. En particulier,(x;y)est une valeur d"adh´erence de la suite((xn;yn))n>0.

2.3.4 Compacit

´e de[0;1]

Lemme 2.2.On supposeRmuni de la topologie usuelle, i.e. issue de la valeur absolue usuelle. Alors l"intervalle[0;1]est un compact deR. Preuve.Soit(Ui)i2Iune famille d"ouverts qui recouvrent[0;1].

On note :

W:=fs2[0;1]:[0;s]admet un recouvrement fini par desUig: On aW6=?car02W. De plus, par constructionWest un sous- intervalle de[0;1]: doncW= [0;c[ouW= [0;c]pourc=supW.

Sic<1, on remarque qu"il existej2Itel quec2Uj.

L"ensembleUj´etant ouvert, on peut trouvers´e.

Preuve.D´ej`a, un compactXest un ferm´e. En outreXest n ´ecessairement born´e : autrement, on pourrait construire une suite (xn)n>0d"´el´ements deXtelle quekxnk>n(une telle suite ne peut pas admettre de sous-suite convergente dansRN). Inversement, commenc¸ons par remarquer que pour touta>0 l"intervalle[a;a]est compact, comme image de[0;1]par une fonc- tion affine. De plus, le pav

´e[a;a]Nest un compact comme produit

d"espaces compacts. Par d ´efinition dekk¥, un ensembleXest born´e s"il est inclus dans un pav ´e[a;a]N, qui est compact. Si de plusXest ferm´e, c"est un ferm

´e dans un compact, donc il est compact.

2.4. Compacit

´e et continuit´e,´equivalence de normes

2.4.1 Bornes sup

´erieure et inf´erieure d"une fonction continue Th ´eor`eme 2.2.Une fonction continue`a valeurs r´eelles, d´efinie sur un espace m ´etrique compact, est born´ee et atteint ses bornes. Preuve.L"image d"un compactXpar une application continue est un compact, donc un ferm

´e born´e deR. En particulierinfXfet

sup

Xfappartiennent`a l"image deXparf.

Remarque.On a vu qu"un espace m´etrique contient naturelle- ment des fonctions continues, `a savoir les fonctions partielles d(x;)hhdistance`a un pointii: ce sont en effet des fonctions1- lipschitziennes. Une variante de cette remarque permet de constru- ire des ouverts disjoints contenant des ferm

´es disjoints donn´es au

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