[PDF] Théorème de Borel-Lebesgue - François DE MARÇAY

View - Download Théorème de Borel-Lebesgue - François DE MARÇAY

Previous PDF

Next PDF

Théorème de Borel-Lebesgue

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Saclay, France

1. Ensembles compacts et ensembles précompacts

Définition 1.1.Unespace métrique(E;d)est un ensembleEmuni d"unefonction dis- tance :d:EE!R+ (x;y)7!d(x;y); sujette à satisfaire les trois axiomes suivants : (i)Symétrie :d(x;y) =d(y;x)>0pour tousx;y2E; (ii)Vraie distance :d(x;y) = 0seulement lorsquex=y; (iii)Inégalité triangulaire :Pour tousx;y;z2E: d(x;z)6d(x;y) +d(y;z): Dans un espace métrique, les ouverts-modèles sont lesboules ouvertes :

B(x;r) :=y2E:d(x;y)< r;

de rayons variésr >0centrées en des points quelconquesx2E.

Généralement, un sous-ensemble

OE; est unouvertsi en chacun de ses points, on peut centrer une boule ouverte de rayon assez petit pour qu"elle soit entièrement contenue dansO. Définition 1.2.Un espace métrique(E;d)est ditcompacts"il satisfait la propriété, ditede Bolzano-Weierstrass, d"après laquelle, si on se donne une suite quelconque :xn 1 n=1 de pointsxn2E, on peut toujoursextraireau moins une sous-suite :xnk 1 k=1avec16n1< n2<< nk< nk+1<; qui admet une limite : limk!1xnk=:x12E appartenant encore àE. Par exemple, on démontre que tout intervalle fermé borné[a;b]Rest compact. En dimension quelconqued>1, on démontre aussi que tout sous-ensemble fermé borné KRdest compact, et réciproquement d"ailleurs, que les compacts deRdne sont autres que les sous-ensembles fermés et bornés. 1

2 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceDéfinition 1.3.Un espace métrique(E;d)est ditprécompactlorsque, pour tout" >0

arbitrairement petit, il existe un entierN=N">1et des points : x

1;:::;xN2E;

tels queEest recouvert par lesNboules ouvertes de rayon"centrées en ces points :

E=B(x1;")[ [B(xN;"):

Or la langue française nous dit que tout ce qui est "pré-» - par exemple un prélimi-

naire qui précède prématurément le présage des préposés concernant l"examen prépara-

toire - se situe avant la chose. Alors pour garantir que notre belle langue française ne se sente pas froissée, on a heureusement une : Proposition 1.4.Tout espace métrique compact(E;d)est précompact. Démonstration.Raisonnons par l"absurde en supposant qu"il existe" >0tel queEn"est recouvert paraucunefamille finie de boules ouvertes de rayon". Partant donc d"un point quelconquex12E, il existe un pointx22Ehors de la boule

B(x1;"), et ainsi de suite indéfiniment :

9x22EB(x1;");

9x32EB(x1;")[B(x2;");

9xn+12EB(x1;")[B(x2;")[ [B(xn;");

Mais commeEest compact, de cette suite infiniexn

1 n=1, on doit pouvoir extraire au moins une certaine sous-suite :xnk 1 k=1 qui converge vers un certain pointx12E: lim k!1xnk=x1: En particulier, cette sous-suite doit être de Cauchy puisqu"elle converge :

9K=K"1

k>K=)dxnk+1; xnk6"2 Mais comme pour tous les entiers compris entrenketnk+1> nk, à savoir les entiers : n k+ 1; nk+ 2;; nk+11; nk+1; on a su choisir choisir : x nk+162B(x1;")[ [B(xnk;"); x nk+262B(x1;")[ [B(xnk;")[B(xnk+1;"); x nk+162B(x1;")[ [B(xnk;")[B(xnk+1;")[ [B(xnk+11;"); il vient que la distance entrexnketxnk+1,lequel n"appartient pas àB(xnk;"), restaitde factotoujours supérieure à": dxnk+1;xnk>"; ce qui est la contradiction recherchée.

1.Ensembles compacts et ensembles précompacts 3Proposition 1.5.Dans un espace métrique compact(E;d), soit une famille d"ouverts :

Oi i2I paramétrée par un ensemble quelconque d"indicesI, qui le recouvrent complètement : E=[ i2IO i: Alors il existe un rayon strictement positifr >0assez petit pour que toute boule ouverte de rayonrsoit contenue dans au moins un ouvert de la famille :

8x2E9i=ix2I B(x;r)Oi:

Démonstration.Raisonnons encore par l"absurde, et supposons au contraire que pour tout rayon arbitrairement petitr >0de la forme : r=1n avecn>1entier, il existe un certain mauvais point : x n2E; autour duquel la boule de rayon 1n n"est contenue dansaucunouvert de la famille : B xn;1n

6Oi;(1.6)

quel que soiti2I. Bien entendu, la compacité deEnous permet alors d"extraire de cesxnune certaine sous-suite :xnk 1 n=1 convergente : lim k!1xnk=:x12E: Mais alors, puisqueEest recouvert par les ouvertsOi, ce point-limite appartient à au moins l"un d"entre eux :

9i12I;tel quex12Oi1:

Or par ouverture deOi1, il existe >0assez petit pour que :

B(x1;)Oi1:

Maintenant, nous pouvons choisir un entierK1assez grand pour avoir simultané- ment : k>K=)8 >:1n k63 d xnk; x1)63 Pour de tels indicesk>K, l"inégalité triangulaire : d y;x16dy;xnk+d(xnk;x1)

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Saclay, FranceB(x1;)x

1x 1 x nk

B(x1;)x

1x nkB(xnk;=3)B(xnk;=3) y permet alors de vérifier - exercice mentalo-visuel - que :

Bxnk;1n

kBxnk;3

B(x1; )

Oi1; ce qui contredit manifestement le choix desxnfait par (1.6) ci-dessus! Nous pouvons maintenant énoncer un théorème tellement fondamental qu"il est utilisé des milliers de fois dans tous les exercices d"Analyse en L1, en L2, en L3, en M1, en M2, sur la Lune, et sur Mars!

Théorème 1.7.

[Bor el-Lebesgue]De tout recouvrement d"un espace métrique compact (E;d): E=[ i2IO i; par une famillequelconqued"ouverts non vides : O iE; indexée par un ensembleIde cardinal éventuellement arbitrairement grand, on peutex- traireun sous-recouvrementfini, à savoir il existe un nombre finin>1d"indices : i

1;:::;in2I

tels que, en fait :

E=Oi1[ [Oin:|{z}

un nombre fini d"ouverts suffit en fait pour recouvrir

Démonstration.Soit doncOi

i2Iun tel recouvrement ouvert deE. La Proposition 1.5 fournit un rayonr >0tel que toute boule ouverteB(x;r)de rayon ret de centre quelconquex2Eest contenue dans au moins un ouvertOi:

8x2E9i(x)2Itel queB(x;r)Oi(x):

Mais de surcroît, avec ce même rayonr >0, la précompacité deEassure d"après la Proposition 1.4 que parmi l"infinité de boules :B(x;r) x2E; un nombre fini suffit en fait pour recouvrirE, à savoir il existe un nombre finin>1de pointsx1;:::;xn2Etels que :

E=B(x1;r)[ [B(xn;r):

3.Exercices 5Alors il devient tout à fait clair que :

E=B(x1;r)[ [B(xn;r)

Oi(x1)[ [Oi(xn);

est effectivement recouvert par une sous-famille finie d"ouverts! En exercice, nous proposons d"établir la réciproque, classique, de ce théorème.

2. Paradoxes historico-épistémologiques

3. Exercices

Exercice 1.On dit qu"un espace métrique(E;d)satisfait la propriété de Borel-Lebesguelorsque, de tout

recouvrement : E=[ i2IO i par des ouvertsOiE, on peut extraire un sous-recouvrement ouvertfini :

E=Oi1[ [Oin:

Montrer qu"un tel espace est toujours nécessairement compact.Indication:Montrer d"abord qu"une inter-

section dénombrable de sous-ensembles fermés non videsFnFn+1emboîtés les uns dans les autres de

manière décroissante est au final non vide : 1\ n=1F n6=;: Partant d"une suite quelconque(xk)1k=1de pointsxk2E, introduire ensuite les fermés : F n:= xk2E:k>n (n>1); et montrer que tout point : x 121\
n=1F n est limite d"une certaine sous-suite(xkl)1l=1.

Exercice 2.EE

quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

[PDF] dtu ragréage

[PDF] weber niv lex

[PDF] peut on faire 2 couches de ragréage

[PDF] master développement economique et ingénierie des programmes

[PDF] mortier de nivellement

[PDF] ragréage fibré autolissant

[PDF] ragréage autonivelant

[PDF] weber niv dur

[PDF] ragréage autolissant

[PDF] de civitate dei pdf

[PDF] saint augustin la cité de dieu texte intégral

[PDF] la cite de dieu livres 1 a 5

[PDF] gliese 581 système planétaire

[PDF] gliese 581 b

[PDF] distance entre gliese 581 g et la terre