Compacité
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou plus généralement n'importe quelle partie fermée
Compacité II
Plus généralement les compacts des K-espaces vectoriels normés de dimension finie sont les fermés bornés. Ce résultat est faux en dimension infinie. Exemple :
8 Parties et espaces compacts
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée. particulier un espace métrique compact est borné (il est toujours fermé dans lui-même).
Cours 2 : continuité et compacité
atteint ses bornes. Preuve. L'image d'un compact X par une application continue est un compact donc un fermé borné de R. En particulier infX f et supX f
Cours dAnalyse Fonctionnelle
tersection de toute famille d'ensembles fermés est un fermé de E. Exemple (d'ensemble fermé borné non compact). Soit E = C([01])
1 Lespace Rn
1.6 Ensembles compacts. Définition. X ? Rn est compact si X est fermé et borné (borné veut dire qu'il existe R > 0 tel que X ? B(0 R)). Exemples.
Chapitre 3 - Espaces métriques compacts
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle. Ceci peut se voir.
Chapitre 4 Espaces métriques compacts
Un espace métrique compact est borné. Preuve. Exercice 4.2. Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée. Preuve. Exercice 4.10. ? 2.3.2.
Topologie
dire qu'ils n'ont pas de borne fermée. Un produit cartésien de bornés est borné. ? Théorème de base : l'image continue d'un compact est un compact.
Théorème de Borel-Lebesgue - François DE MARÇAY
dimension quelconque d ? 1 on démontre aussi que tout sous-ensemble fermé borné. K ? Rd est compact
[PDF] Compacité - Licence de mathématiques Lyon 1
Un exemple fondamental d'espace compact est donné par un intervalle fermé borné (un segment) de R ou plus généralement n'importe quelle partie fermée bornée de
[PDF] Espaces métriques compacts
Tout intervalle fermé et borné est un compact en ce sens que toutes ses suites ont une suite extraite convergeant dans l'intervalle Ceci peut se voir
[PDF] 3 Compacité - Jamiati
Propriété Soit E un espace normé A? E Si A est compacte alors A est fermée et bornée Propriété Soit (E E) un espace vectoriel normé et X un compact de
[PDF] 8 Parties et espaces compacts
Toute partie compacte d'un espace métrique est fermée et bornée Attention ! La réciproque est fausse en général (cf B) Elle est par contre vraie dans (R·)
[PDF] MAT311 Cours 2 : Compacité complétude connexité 1
On va voir que toutes les parties fermées et bornées des K-espaces vectoriels de dimension finie (K = R ou C) sont des espaces compacts (pour la topologie
[PDF] Cours 2 : compacité complétude connexité - Bertrand RÉMY
On munit RN de la norme ·? Alors un sous-ensemble de RN est compact si et seulement si il est fermé et borné Preuve Déj`a
[PDF] TD 4 Compacité
Cette fonction est continue sur un compact donc bornée et atteint ses bornes Exercice 15 Dans un espace métrique (X d) on considère un fermé non-vide F et
[PDF] Chapitre 4 Compacité
Toute partie compacte d'un espace topologique séparé est fermée Proposition 4 1 10 Dans un espace topologique compact les parties compactes sont
[PDF] Chapitre 4 Espaces métriques compacts
Un espace métrique compact est borné Preuve Exercice 4 2 Si A est une partie compacte de E A est fermée et bornée Preuve Exercice 4 10 ? 2 3 2
[PDF] 2 - Compacité Exercice 1 (Questions prélimi
4) Montrer que dans un espace métrique tout compact est fermé et borné 5) Montrer que les parties compactes de R sont les parties fermées et bornées
C'est quoi un intervalle compact ?
Dans un espace compact, toute partie infinie poss? au moins un point limite. Plus généralement, tout espace X quasi-compact est dénombrablement compact, c'est-à-dire que toute partie infinie de X poss? au moins un point d'accumulation ou encore que, dans X, toute suite a au moins une valeur d'adhérence.Comment montrer qu'une partie est bornée ?
Une partie d'un espace métrique est dite bornée si la distance entre ses points est majorée par un réel fixé, autrement dit si son diamètre est fini. En ce sens, les bornés de la droite réelle sont bien les parties majorées et minorées, c'est-à-dire les parties incluses dans des intervalles bornés.Comment montrer qu'un opérateur est compact ?
Un opérateur T de X dans Y est dit compact lorsque T est continu et que toute partie bornée de X est envoyée sur une partie relativement compacte de Y. (Lorsque T est linéaire, la seconde condition suffit pour qu'il soit borné, donc continu si de plus X est un espace vectoriel normé.)- Par définition de ·?, un ensemble X est borné s'il est inclus dans un pavé [?a,a]N, qui est compact. Si de plus X est fermé, c'est un fermé dans un compact, donc il est compact.
Chapitre 3
Compacité
Définition 3.1.Soit(X,d)un espace métrique. On dit que(X,d)estcompacts"il a la propriété suivante :
pour toute suite(xn)d"éléments deX, il existe une sous-suite(xnk)qui converge dansX.Un exemple fondamental d"espace compact est donné par un intervalle fermé borné (unsegment) deRou,
plus généralement n"importe quelle partie fermée bornée deR. On verra plus loin, Théorème 3.9 et Corollaire
3.13, qu"en fait les compacts deRnsont exactement ses parties fermées bornées.
Théorème 3.2.Toute partie fermée bornée deR, en particulier tout segment, est compacte.Preuve:
Considérons une suite(xn)d"éléments d"une partieFfermée bornée deR. Par le lemme 1.22, il
existe une suite extraite(xnk)qui est monotone. Comme cette sous-suite est bornée et monotone, elle converge. Sa limite est dansFcarFest fermé. Proposition 3.3.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques compacts. AlorsX×Y, muni de la distance produit, est encore un espace métrique compact.Preuve:
Soit(xn,yn)une suite d"éléments deX×Y. Par compacité de(X,d), on peut extraire une sous- suite(x?1(k))qui converge versx?X. Et par compacité de(Y,D), on peut extraire de(y?1(k))i une nouvelle sous-suitey?1(?2(l))iiqui converge versy?Y.Notonsψ=?1◦?2. Alors la suite(xψ(l),yψ(l))est telle quexψ(l)converge versxetyψ(l)converge
versy, autrement dit, cette suite est une suite extraite de(xn,yn)qui converge vers(x,y). Corollaire 3.4.Pour toutn?N, et touta1,...,an,b1,...,bn, l"ensemble?[ai,bi]est un compact deRnmuni de la distance induite par? · ?∞.Preuve:
Chacun des espaces[ai,bi]est compact, et par récurrence on montre facilement à partir de la pro-
position précédente qu"un produit fini d"espaces métriques compacts est compact.Théorème 3.5.Soit(X,d)un espace métrique, etAun sous-ensemble compact deX(c"est-à-dire que(A,d)
est un espace métrique compact). AlorsAest fermé dansX.Preuve:
Soit(xn)une suite d"éléments deAqui converge versx?X; on doit prouver quex?A. CommeA est compact, il existe une sous-suite(xnk)qui converge versa?A; et(xnk)converge toujours vers x. Par unicité de la limite,x=a?A. Réciproquement, on a le résultat suivant.i. Pourquoi n"extrait-on pas de(yn)? ii. Pourquoi?1(?2(l))et pas?2(?1(k))?11Proposition 3.6.Soit(X,d)un espace métrique compact etAune partie fermée deX. Alors(A,d)est un
espace métrique compact.Preuve:
Soit(an)une suite d"éléments deA. CommeXest compact et(an)est aussi une suite d"éléments de
X, il existe une sous-suite(ank)qui converge versx?X; commeAest fermé,x?A, ce qui montre que(an)a une sous-suite convergente dansA:(A,d)est compact.La compacité est importante pour nous en particulier parce que les fonctions continues sur les espaces
compacts ont des propriétés très fortes.Théorème 3.7.Soit(X,d)un espace métrique compact, etf:X→Rune fonction continue. Alorsfest
bornée et atteint ses bornes.Preuve:
Montrons quefatteint sa borne supérieureM= sup({f(x):x?X})(l"argument pour la borneinférieure est symétrique, ou découle du résultat pour la borne supérieure appliqué à-f). Par
définition d"une borne supérieure, il existe une suite(xn)d"éléments deXtelle quef(xn)converge
versM. Comme(X,d)est compact,(xn)admet une sous-suite convergente(xnk); appelonsxsa limite. Alorsf(xnk)converge à la fois versM(c"est une sous-suite d"une suite qui converge versM) et versf(x)(par continuité def). Par conséquent,f(x) =M. La proposition suivante est une conséquence facile de ce théorème.Proposition 3.8.Tout espace métrique compact(X,d)estborné, c"est-à-dire qu"il existeMtel que pour tout
x,xPreuve:
La fonctiond:X×X→Rest continue lorsqu"on munitXde la distance produitD; en effet, elle est lipschitzienne : |d(x1,x2)-d(x?1,x?2)|=|d(x1,x2)-d(x1,x?2) +d(x1,x?2)-d(x?1,x2)|Comme(X×X,D)est compact, la proposition précédente nous permet de conclure quedest bornée,
ce qui revient à dire que(X,d)est un espace métrique borné.Théorème 3.9.DansRnmuni de la distanced∞induite par? · ?∞, les compacts sont les fermés bornés.
Preuve:
SiA?Rnest tel que(A,d)soit compact, alors on sait que(A,d)doit être fermé dansRn, et borné d"après la proposition précédente. Réciproquement, siAest fermé borné dansRn, alors il existeMtel queAsoit contenu dans [-M,M]n; on a vu que cet ensemble est compact, etAy est fermé, donc(A,d)est compact.Théorème 3.10.Soit(X,d)un espace métrique compact,(Y,D)un espace métrique, etf:X→Yune fonction
continue. Alorsf(X)est un sous-ensemble compact deY.Notons que, une fois qu"on sait que les sous-ensembles compacts deRsont les fermés bornés, ce résultat
généralise le théorème 3.7.Preuve:
Soit(yn)une suite d"éléments def(X). Pour toutnon peut choisirxntel quef(xn) =yn, et ensuite on peut extraire une sous-suite convergente(xnk)de la suite(xn). Par continuité def, la suiteynk=f(xnk)converge versy=f(x).Théorème 3.11(Théorème de Heine).Soit(X,d)un espace métrique compact,(Y,D)un espace métrique, et
f:X→Yune fonction continue. Alorsfest uniformément continue. 12Preuve:
On va montrer la contraposée : sifn"est pas uniformément continue, alorsfn"est pas continue. Supposons donc quefne soit pas uniformément continue, c"est-à-dire qu"il est faux que ?ε >0?δ >0?x,x??X d(x,x?)< δ?D(f(x),f(x?))< ε .Autrement dit, notre hypothèse est que
?ε >0?δ >0?x,x??X d(x,x?)< δetD(f(x),f(x?))≥ε . Fixonsε >0comme ci-dessus. Pour toutn?N?, on sait qu"il existexn,x?ntels qued(xn,x?n)< 1n etD(f(xn),f(x?n))≥ε. Comme l"espace produitX×Xest compact, on peut extraire une sous-suite convergente(xnk,x?n k) de la suite(xn,x?n); la suitexnkconverge versx?X, et la suitex?n kconverge versx??X.Puisquenk→+∞etd(xnk,x?n
k, on doit avoirx=x?. Mais on a aussiD(f(xnk),f(x?n k))≥ε pour toutk: il est impossible que les deux suitesf(xnk)etf(x?n k)convergent versf(x), par conséquentfn"est pas continue enx. Théorème 3.12.Toutes les normes surRnsont équivalentes.Preuve:
SoitNune norme surRn. On va montrer queNest équivalente à? · ?∞; alors toutes les normes
sont équivalentes à? · ?∞, donc elles sont toutes équivalentes. x= (x1,...,xn):N(x) =N(x1e1+...+xnen)
Cela nous donne une des deux inégalités nécessaires pour montrer queNest équivalente à? · ?∞;
cette inégalité implique aussi queN: (Rn,d∞)→Rest lipschitzienne et donc continue : On a vu que les fermés bornés de(Rn,d∞)sont compacts; par conséquent, l"ensembleS={x?[-1,1]n:?kxk=±1}
(la sphère unité pour? · ?∞) est compact, et commeNy est continue, elle y atteint son minimum
m; notons que, comme0??S,m >0. Soit maintenantx?Rnun vecteur non nul; le vecteurx?x?∞appartient àS, et on a doncN(x?x?∞)≥m.
x= 0), et on a fini de prouver queNet? · ?∞sont équivalentes.Corollaire 3.13.Pour n"importe quelle distance induite par une norme surRn, les compacts deRnsont les
fermés bornés.Exercice 3.14.Soit(X,d)un espace métrique, et(xn)une suite d"éléments deXqui converge versx?X.
Montrer que l"ensemble{xn:n?N} ? {x}est compact.
Définition 3.15.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques. Une fonctionf:X→Yest unhoméomorphisme
sifest une bijection telle que les fonctionsfetf-1soient continues.Proposition 3.16.Soit(X,d),(Y,D)deux espaces métriques compacts, etf:X→Yune bijection continue.
Alorsf-1est nécessairement continue, autrement dit,fest un homéomorphisme.13Preuve:
On doit montrer que la fonctiong=f-1est continue. SoitFun fermé deX; il nous suffit de montrer queg-1(F)est fermé dansY. Pour cela, notons que g -1(F) ={y?Y:g(y)?F}={y?Y:f-1(y)?F}=f(F).D"après le théorème 3.10,f(F)est compact; comme les compacts sont fermés, on en déduit bien
queg-1(F) =f(F)est fermé, ce qu"il fallait démontrer. 14quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43[PDF] weber niv lex
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